Теорема Кантора

Если функция $f$ определена и непрерывна на сегменте $[a,b]$ , то она равномерно непрерывна на $[a,b]$ .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $f$ не равномерно непрерывна на $[a,b]$ , тогда

$\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0$ $\exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b]$ , $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon$ .

Выберем последовательность $\delta_n = \frac{1}{n}$ , $n = \overline{1,+\infty}$ . Согласно допущению, найдутся такие последовательности $\left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty$ , $\left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty$ , что:

$x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b]$ , $|x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n}$ : $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon$ .

Последовательность $\left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty$ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $\left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty$ , которая сходится к элементу $x_0$ , причем что $x_0~\epsilon~[a,b]$ . Тогда для подпоследовательности $\left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty$ $x_0~\epsilon~[a,b]$ так же является пределом.

По условию теоремы $f$ — непрерывна на $[a,b]$ , поэтому

$\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}})$ .

Это противоречит тому, что $|f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0$ , $\forall i = \overline{1,+\infty}$ .

Это противоречие и доказывает теорему.

$\blacksquare$

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}}$ не является равномерно непрерывной на $(0,1)$ .

$f(x)$ — ограничена и непрерывна. Тогда $\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0$ $\exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1)$ $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon$ . Выберем такие подпоследовательности $x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1}$ .

$|f(x’) — f(x»)|$ $=$ $|\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1$ .
$|x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1}$ $=$ $|\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}|$ $=$ $\frac{1}{n(2n-1)}$ $\rightarrow 0$ .

$\exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta$ можно выделить такие подпоследовательности $x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1}$ $|x’_n-x»_n| < \frac{1}{n}$ .

$n > \frac{1}{\delta}$ : $|f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon$ . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $(0,1)$ .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция $f$ определенна на множестве $X\subset R^{n}$ называется равномерно непрерывной на $X,$ если $\forall\varepsilon > 0,$ $\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0,$ что для любых двух точек $x, y \in X,$ удовлетворяющих условию $\rho(x, y) < \delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ .

Теорема Кантора

Если функция $f$ определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Спойлер

Пусть функция $f$ определена и непрерывна на компактном множестве $M\subset R^{n}$ .

$\forall x_{0} \in M,$ $\forall \varepsilon’ > 0,$ $\exists \delta’ = \delta'(x_{0}, \varepsilon’)>0$

такое, что если $x\in M,$ то $\rho(x_{0}, x)<\delta’,$ то $|f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon’$ . Выберем произвольное $\varepsilon>0$ и положим $\varepsilon’=\frac{\varepsilon}{2}$ . Построим для каждой точки $x_{0}\in M$ окрестность

$U(x_{0}, \frac{\delta’}{2})=$ $U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon’)}{2})$

Объединение таких окрестностей покрывает множество $K$ . Поскольку $K$ — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}$ такое, что

$K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})$ .

Положим $\delta= min(\frac{\delta’_{1}}{2}, … , \frac{\delta’_{m}}{2})$ . Возьмем произвольные точки $x, y \in M,$ для которых $\rho<\delta$ . Поскольку $M$ покрывается системой $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m},$ то найдется такой номер $k_{0},$ что $x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta’_{k_{0}}}{2})$ . Тогда $\rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta’_{k_{0}}}{2}$ и $\rho(x_{k_{0}}, y) \le$ $\rho(x_{k_{0}}, x) +$ $\rho(x_{k_{0}}, y)<$ $\frac{\delta’_{k_{0}}}{2}+\delta<$ $\delta’_{k_{0}}$ . Следовательно

$|f(x)-f(y)|\le$ $|f(x)-f(x_{k_{0}})| +$ $|f(x_{k_{0}})-f(y)|<$ $\varepsilon’+ \varepsilon’ =$ $\varepsilon$

[свернуть]

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$ $latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ),$ $latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2…$ , тогда $latex \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n}$ , то есть $latex c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}$ . Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon$ , то такая точка одна.

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$ $latex A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ . Возьмём два числа $latex n,m\in \mathbb{N}$ :

$latex n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m}$ (по определению сегмента);
$latex n
$latex n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq …\leq b_{m+1}\leq b_{m}$

Таким образом $latex \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m}$ . Тогда по аксиоме непрерывности: $latex \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n}$ .

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки $latex {c},{c}’$ , принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ то есть:

$latex \forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c’\in I_{n}$ . Так, как $latex c\neq {c}’$ , то либо $latex c<{c}’$ либо $latex c>{c}’$ .

Не ограничивая общности, предположим, что $latex c<{c}’$ .

Тогда мы имеем: $latex \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c’\leq b_{n}$ . То есть $latex 0<c-{c}'<b_n-a_n$ . Так, как $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}’-c\leq 0\Rightarrow$ $latex {c}’-c=0\Rightarrow c={c}’$ .

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки $latex {c},{c}’$ , принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ неверно, значит $latex \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.$

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов $latex (0,\frac{1}{n})$ не имеет общих точек,поскольку $latex \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing$

Пример:

Доказать, что если система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$ $latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ),$ $latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2…\ ,$ причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon$ , то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ .

Спойлер

Исходя из доказательства теоремы Коши-кантора, а именно из того, что $latex \exists ! \ c \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}$ , следовательно $latex c=\sup \{a_n\}=\inf \{b_n\}$ по определению точных верхней и нижней грани. Вычтем $latex a_n$ из неравенства, и по теореме о трех последовательностях получим: $latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq c-a _{n} \leq \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{b_n-a_n}}}$ , следовательно, по теореме о сходящейся последовательности, имеем $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=c$ . Доказательство для последовательности $latex \left \{ b_{n} \right \} _{n=1}^{\infty}$ проводится аналогично.

Доказано, что обе последовательности сходящиеся и выполняется следующие равенство: $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ .

[свернуть]
Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве $latex \mathbb{Q}$ .

Спойлер

Возьмём множество рациональных чисел $latex \mathbb{Q}$ , как известно, $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}$ . Рассмотрим последовательность отрезков: $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} =$ $latex \left \{ \right. \left [ 1;2 \right ],\left [ 1.7;1.8 \right ],\left [ 1.73;1.74 \right ],… \left. \right \},$ построим её так, чтобы концы этих отрезков были десятичные приближения иррационального числа $latex \sqrt{3}$ с недостатком в нижней границе и избытком в верхней границе, с разностью $latex 1/10^n,\ n \in \mathbb{N} .$ По предыдущей теореме мы знаем, что $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ (пределы нижних и верхних границ совпадают с единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам). Также ясно, что пределы наших верхних и нижних границ стремятся к $latex \sqrt{3},$ однако $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}.$ Доказано, что на множестве, которое не является полным, теорема Коши-Кантора не выполняется.

[свернуть]

Литература:

Тест

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.

Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: Теорема Кантора

Теорема Кантора

Доказательство

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Теорема Кантора

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Источники

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

Формулировка

Доказательство

Существование:

Единственность:

Замечание:

Пример:

Литература:

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Подсказка

5.

Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

Средний результат
Ваш результат