Processing math: 100%

Ф1803. О вычислении угла полета камня в промежутке ускорения

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 6 выпуск)

Условие

Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы расстояние от него до точки бросания в течение полета все время возрастало? Камень бросают с небольшой скоростью, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение

Если бросить камень почти вертикально, то расстояние до него вначале будет увеличиваться, а затем начнет уменьшаться. Ясно, что нужно найти «граничное» значение угла бросания αΓ. Ясно также, что «подозрительная» точка траектории находится на спадающем ее участке. В этой точке вектор скорости ¯v перпендикулярен радиусу-вектору ¯R (см. рисунок).

Тогда yx=vxvy,илиv0tsinαΓgt22v0tcosαΓ=v0cosαΓgtv0sinαΓ.

Отсюда получаем квадратное уравнение:

t23v0sinαΓgt+2v20g2=0.

У этого уравнения есть корень при условии, что дискриминант D0. Тогда условие задачи будет выполнено, если это уравнение не имеет корней, т.е. если

9v20sin2αΓg28v20g20.

Для граничного угла находим

sinαΓ=89=223.

Если α<αΓ=arcsin223=70,5o, то все хорошо.

З.Рафаилов

Ф1759. О силе тяги, времени и предельной скорости

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен L (см. рисунок). Масса локомотива m, а его порядковый номер первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже m.

  1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной F , найдите время, за которое в движение будет вовлечено N вагонов.
  2. Полагая, что состав очень длинный (N), определите предельную скорость v локомотива.

train

Решение

  1. Пусть vi — скорость части состава из i вагонов сразу после вовлечения в движение i-го вагона, а vi — скорость части состава из i вагонов перед ударом с (i+1)-м вагоном. Из закона сохранения импульса (i+1)mvi+1=imvi=piПо второму закону Нютона aa+1=F(i+1)m а по известному кинематическому соотношению ai+1L=v2i+1v2i+12Отсюда получим v2i+1=2FL(i+1)m+(ii+1)2v2i+1 или p2i+1=2(i+1)mFL+p2iИз этой рекуррентной формулы следует p2N=2mFLNi=1i+p20 или, так как p0=0, p2N=2mFLN(N+1)2 откуда vN=FLmN+1NНайдём теперь время tN вовлечения в движение N вагонов: vivi=aiti, ti=viviai=mF(iviivi)=mF(ivi(i1)vi1), tN=mFN1i=1(ivi(i1)vi1)=mF((N1)vN10v0)= =mFvN1(N1).Используя полученное ранее выражение для vN, окончательно получим tN=mLFN11N.
  2. Из выражения для vN находим, что при N скорость состава nFL/m.

П. Бойко, Ю. Полянский

Ф1316. О нагреве полупроводникового терморезистора

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 10 выпуск)

Условие

Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида R=R0(1αt). Когда терморезистор нагрет до температуры t, он рассеивает в окружающую среду мощность P=B(ttокр). Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением U?

Решение

Пусть при напряжении U ток через терморезистор составит I. Тогда запишем R=UI=R0(1αt) P=UI=B(ttокр). Для того чтобы найти связь между током и напряжением, нужно исключить из этих уравнений температуру t: t=tокр+UIB, UI=R0(1αtокрαUIB), U=R0(1αtокр)αR0IB+1I. При малых токах, когда мощность мала и температура терморезистора почти не отличается от окружающей, он ведет себя как обычный резистор с сопротивлением R=R0(1αtокр). С увеличением тока температура резистора увеличивается и при больших токах приближается к критическому значениюtкр=1α. Но вопрос в задаче поставлен несколько иначе: каким будет ток при подаче напряжения U? Сложность в том, что одному значению U соответствуют два (либо — при больших напряжениях — ни одного) значения тока. Легко найти граничное напряжение Uгр, выше которого решения нет, — оно соответствует минимальному значению знаменателю при токе I=Iкр:Uгр=U(Iкр)=U(αR0B)=R0(1αtокр)B(αR0)(1+(αR0B)2). Выше этого напряжения решений нет. Но все же — какой ток потечет по цепи, если подключить к ней напряжение большее, чем Uгр? Какой-нибудь наверняка потечет, только мы его не сможем подсчитать, исходя из условий задачи — они становятся противоречивыми. Ясно, что «настоящий» терморезистор имеет другую — более сложную — зависимость сопротивления от температуры (она не дает отрицательных значений сопротивления при t>tкр=1α), и там подобной проблемы не будет.
Теперь о той области напряжений, для которой возможны два значения тока. Если медленно повышать напряжение, то и ток будет повышаться, т. е. реализуется меньшее из двух значений тока. Но возможно равновесие и при втором — большем значении, если резистор заранее «подогреть». Подумайте сами, будет ли такое равновесие устойчивым.

А. Зильбеман