Метка: функция

Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$, но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  $$\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$$ Предположим, что вектор [latex]l=(\cos\alpha ,\cos\beta, \cos\gamma )[/latex] и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора [latex]l[/latex] с помощью градиента : $$\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$$ и как мы говорили ранее, что в [latex]l[/latex]-единственный вектор, следовательно мы имеем$$\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta $$ ($\delta$ — угол образованный вектором [latex]l[/latex] и [latex]\nabla\varphi[/latex] не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $$\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$$

(2)

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Признак сравнения несобственных интегралов

Признак сравнения в форме неравенств

Теорема

Пусть функции $f$ и $g$ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$. Предположим, что $f(x)\leq g(x)$ для любого $x\in [a,b)$. Тогда:

  1. из сходимости интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ следует сходимость интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$;
  2. из расходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ следует расходимость интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$;
Спойлер
  1. Из $ 0\leq f(x) \leq g(x)$ следует, что $\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}\leq \int_{a}^{\xi}{g(x)dx}$ $(1)$, $\xi \in [a,b)$. Если сходится интеграл $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$, т.е. существует конечный $\lim_{\xi \rightarrow b-0} \int_{a}^{\xi}{g(x)dx}=I_{2}$, где $I_{2}=sup_{a\leq\xi <b} \int_{a}^{\xi}{g(x)dx}$, то из $(1)$ следует, что $\forall \xi \in [a,b)$ выполняется неравенство $\int_{a}^{\xi}{f(x)dx} \leq I_{2}$. Таким образом для неотрицательной функции $f(x)$ выполняется условие $\exists C: \forall \xi \in [a,b) \rightarrow \int_{a}^{\xi}{f(x)dx}\leq C$ (критерий сходимости интегралов от неотрицательных функций). Следовательно, интеграл $I_{2}$ сходится.
  2. Пусть $I_{1}$ расходится. Предположим, что  $I_{2}$ сходится, тогда по первому пункту сходится и $I_{1}$, что противоречит условию, следовательно $I_{2}$ тоже расходится.

[свернуть]

Спойлер

Сходится ли интеграл? $$I_{1}=\int\limits_{1}^{+\infty}{\frac{\cos^{4}3x}{\sqrt[5]{1+x^{6}}}dx}$$

Так как $$0\leq \frac{\cos^{4}3x}{\sqrt[5]{1+x^{6}}}\leq \frac{1}{\sqrt[5]{1+x^{6}}}\leq \frac{1}{x^{6/5}}$$ при $x\geq 1$ $I_{2}=\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{x^{6/5}}dx} < \infty$ (сходится), т.к. $\alpha =\frac{6}{5}>1$. Тогда, если интеграл $I_{2}$ сходится, то из сходимости интеграла $I_{2}$ следует сходимость интеграла $I_{1}$.
Ответ: $I_{1}$ сходится.

[свернуть]

Признак сравнения в предельной форме

Теорема

Пусть функции $f(x) $ и $g(x) $ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$. Тогда, если для $\forall x \in [a,b)$ выполняются условие $f(x)\sim g(x)$ при $x\rightarrow b-0$  $(\lim_{x \rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=1)$. Тогда интегралы $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ и $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ сходятся или расходятся одновременно (ведут себя одинаково).

Спойлер

Согласно условию $\lim\limits_{x \rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=1:$ $$\forall \varepsilon >0 \exists \delta _{\varepsilon}>0: b-\delta <x<b \Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-1 \right| < \varepsilon$$ или, что то же самое $$\forall \varepsilon >0 \exists \delta (\varepsilon)\in [a,b):\forall x \in[\delta (\varepsilon ),b) \rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-1 \right| < \varepsilon $$ Выберем $\varepsilon =\frac{1}{2}$, найдем $\delta (\frac{1}{2})=c$ такое, что $b-c<x<b$ $$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1 \right|<\frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}-1<\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}g(x)<f(x)<\frac{3}{2}g(x), \forall x \in [b-c,b]$$ Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют особых точек на промежутке $[a,b)$, то интегралы $I_{1}$ и $I_{2}$ сходятся тогда и только тогда, когда сходятся интегралы соответственно от функций $f(x)$ и $g(x)$ на промежутке $[b-c,b)$. Если сходится интеграл $I_{2}$ (а значит и $\int_{b-c}^{b}{g(x)dx}$), то из равенства $f(x)<\frac{3}{2}g(x)$ по признаку сравнения в форме неравенств следует сходимость интеграла $\int_{b-c}^{b}{f(x)dx}$, а это равносильно сходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$. Аналогично, из $\frac{1}{2}g(x)<f(x)$ заключаем, что из сходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ следует сходимость интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$.
Если же один из интегралов расходится, например, $I_{1}$. Тогда предположим, что $I_{2}$ сходится, следовательно, по доказанному выше $I_{1}$ тоже должен сходиться, что противоречит условию, следовательно $I_{2}$ тоже расходится. Т.е. если один из интегралов расходится, то расходится и другой.

[свернуть]

Замечание

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,\xi]$ при $\forall \xi \geq \alpha$ и если $f(x)\sim \frac{A}{x^{\alpha}}$ при $x\rightarrow +\infty$, где $A\neq 0$, то интеграл $\int_{\alpha }^{+\infty}{f(x)dx}$ сходится при $\alpha >1$ и расходится при  $\alpha \leq 1$.

Спойлер

Сходится ли интеграл? $$\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx}$$
$$\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx}=\left[\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}\sim \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x} \right]$$ (можем заменить функцию эквивалентной т.к. $\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}\rightarrow 0$). Тогда интеграл $\int_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}=\infty$ расходится (т.к. $\alpha =1$).
Ответ: интеграл расходится.

[свернуть]

Литература

Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

Этот тест покажет ваши знания по данной теме.

Таблица лучших: Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение

Пусть функция [latex]f[/latex] задана на полуинтервале [latex][a,b)[/latex], где $-\infty<a<b<+\infty$, и интегрируема по Риману на любом отрезке [latex][a,\xi][/latex], где $a<\xi<b$. Тогда, если существует конечный предел [latex]\lim_{\xi \to b-0}\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}[/latex], то несобственный интеграл $II$ рода [latex]\int_{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to b-0}\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}$$

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если существует конечный [latex]\lim_{\xi \to a+0}\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}[/latex], то несобственный интеграл $II$ рода [latex]\int_{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to a+0}\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}$$

В противном случае, если такого предела нет, расходящимся.

Замечание

Определение несобственного интеграла от непрерывных функций является содержательным лишь в случае, когда  [latex]f(x)[/latex] неограниченна  в окрестности точек [latex]b,a[/latex]. При этом, эти точки называются особыми.

Пример:

Курсовая
Рассмотрим функцию [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex]. Эта функция непрерывна на промежутке [latex][0,1)[/latex], но не ограничена на этом промежутке. При [latex]\forall\xi\in [0,1)[/latex] функция [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex] интегрируема на отрезке [latex][0,\xi][/latex], причем [latex]J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi})[/latex], откуда следует, что существует конечный [latex]\lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2[/latex]. В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex] на промежутке [latex][0,1)[/latex] равен [latex]2[/latex], т.е. [latex]\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2[/latex]. Число [latex]2[/latex] можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.

Литература

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Этот тест покажет насколько хорошо вы усвоили данную тему.

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Предел функции по множеству


Возьмём произвольные множества $X$, $Y$. Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$.

  • Множество $X$ — область определения.
  • Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$, определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$. Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$-мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
    Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$.Пусть $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2 $ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде:$f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
    $f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$.

    Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$.
    $f = (f^{1},…,f^{m}),$
    $f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$.

    Предел функции

    Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$.
    Точка $b\in \mathbb{R}^{m} $ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$. В этом случае пишут

    $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$

    и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, проходя множество $E$.

    Теорема

    Допустим функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$. Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$, отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$.

    Необходимость:

    Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a $, то есть фиксируем некоторую последовательность $0 $<$ \left | x — a \right | $<$ \delta $ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E $, удовлетворяющих условию $ 0 $<$ \left | x — a \right | < \delta $ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon $, так как $ x_{\kappa }\rightarrow a$ и $ x_{\kappa } \neq a $, то найдётся такой номер $N$, что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$.
    Поэтому для $ \kappa \geq N$ выполнено неравенство $ \left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon $. Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$

    Достаточность:

    Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$. Тогда найдется такое $ \varepsilon_{0} > 0 $ , что для любого $ \delta > 0 $ найдется точка $ x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta $, но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$. Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$, построим последовательность точек$x’_{\kappa}$, для которых $ 0 $<$ \left | x’_{\kappa } — a \right | $<$ \frac{1}{\kappa } $, но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0} $, тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a $, нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$, а это противоречит нашему условию.

    Определим функцию по Гейне:

    Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$,  $x_{\kappa } \neq a$, соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \} $ значений функции сходится к точке $b$.

    Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

    Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$: $ E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$, $a$- прeдельная точка множества $E$ и

    $\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$, $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$

    Тогда
    1)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$;

    2)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$;

    3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$

    Литература

  • В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
  • Конспект лекций Г.М. Вартаняна

    • предел функции на множестве

    Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.[/latex]

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Спойлер

  1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция [latex]sgn x[/latex] постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид [latex]F(x)=x+C[/latex] (или [latex]F(x)=-x+C[/latex]), где [latex]C[/latex] — некоторое число.
  2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_1=-x+C_1[/latex], а на интервале (0,1) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_2(x)=x+C_2[/latex].

При любом выборе постоянных [latex]C_1[/latex] и [latex]C_2[/latex] мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать [latex]C_1=C_2=C[/latex], то получим функцию [latex]F(x)=|x|+C[/latex], недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция [latex]sgn x[/latex] не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

 

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1[/latex]. По  теореме*  предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

* Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a[/latex].

[свернуть]

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных