Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$ , но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то $\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$ Предположим, что вектор $l=(\cos\alpha ,\cos\beta, \cos\gamma )$ и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора $l$ с помощью градиента : $\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$ и как мы говорили ранее, что в $l$ -единственный вектор, следовательно мы имеем $\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta$ ( $\delta$ — угол образованный вектором $l$ и $\nabla\varphi$ не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$

В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$ . Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., 1-ый курс, семестр 2
Тер-Крикоров А.М., Шубин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов, 3-е издание, исправленное, 2001 г., стр 253-254
Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1, стр. 39

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 5
Найти производную функции $\varphi = x^{2}-3yz^{3}$ в точке $M_{0}(2,2,1)$ по направлению вектора $\bar{l}=-\bar{9i}-\bar{6j}+\bar{2k}$
- $0$
- $\frac{114}{11}$
- $-\frac{114}{11}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 2
При каком значении $\cos\varphi$ производная дифференцируемой функции достигает максимума в направлении градиента?
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Признак сравнения несобственных интегралов

Признак сравнения в форме неравенств

Теорема

Пусть функции $f$ и $g$ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$ . Предположим, что $f(x)\leq g(x)$ для любого $x\in [a,b)$ . Тогда:

из сходимости интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ следует сходимость интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ ;
из расходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ следует расходимость интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ ;

Спойлер

Из $0\leq f(x) \leq g(x)$ следует, что $\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}\leq \int_{a}^{\xi}{g(x)dx}$ $(1)$ , $\xi \in [a,b)$ . Если сходится интеграл $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ , т.е. существует конечный $\lim_{\xi \rightarrow b-0} \int_{a}^{\xi}{g(x)dx}=I_{2}$ , где $I_{2}=sup_{a\leq\xi <b} \int_{a}^{\xi}{g(x)dx}$ , то из $(1)$ следует, что $\forall \xi \in [a,b)$ выполняется неравенство $\int_{a}^{\xi}{f(x)dx} \leq I_{2}$ . Таким образом для неотрицательной функции $f(x)$ выполняется условие $\exists C: \forall \xi \in [a,b) \rightarrow \int_{a}^{\xi}{f(x)dx}\leq C$ (критерий сходимости интегралов от неотрицательных функций). Следовательно, интеграл $I_{2}$ сходится.
Пусть $I_{1}$ расходится. Предположим, что $I_{2}$ сходится, тогда по первому пункту сходится и $I_{1}$ , что противоречит условию, следовательно $I_{2}$ тоже расходится.

[свернуть]

Спойлер

Сходится ли интеграл? $I_{1}=\int\limits_{1}^{+\infty}{\frac{\cos^{4}3x}{\sqrt[5]{1+x^{6}}}dx}$

Так как $0\leq \frac{\cos^{4}3x}{\sqrt[5]{1+x^{6}}}\leq \frac{1}{\sqrt[5]{1+x^{6}}}\leq \frac{1}{x^{6/5}}$ при $x\geq 1$ $I_{2}=\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{x^{6/5}}dx} < \infty$ (сходится), т.к. $\alpha =\frac{6}{5}>1$ . Тогда, если интеграл $I_{2}$ сходится, то из сходимости интеграла $I_{2}$ следует сходимость интеграла $I_{1}$ .
Ответ: $I_{1}$ сходится.

[свернуть]

Признак сравнения в предельной форме

Теорема

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$ . Тогда, если для $\forall x \in [a,b)$ выполняются условие $f(x)\sim g(x)$ при $x\rightarrow b-0$ $(\lim_{x \rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=1)$ . Тогда интегралы $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ и $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ сходятся или расходятся одновременно (ведут себя одинаково).

Спойлер

Согласно условию $\lim\limits_{x \rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=1:$ $\forall \varepsilon >0 \exists \delta _{\varepsilon}>0: b-\delta <x<b \Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-1 \right| < \varepsilon$ или, что то же самое $\forall \varepsilon >0 \exists \delta (\varepsilon)\in [a,b):\forall x \in[\delta (\varepsilon ),b) \rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-1 \right| < \varepsilon$ Выберем $\varepsilon =\frac{1}{2}$ , найдем $\delta (\frac{1}{2})=c$ такое, что $b-c<x<b$ $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1 \right|<\frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}-1<\frac{1}{2}\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}g(x)<f(x)<\frac{3}{2}g(x), \forall x \in [b-c,b]$ Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют особых точек на промежутке $[a,b)$ , то интегралы $I_{1}$ и $I_{2}$ сходятся тогда и только тогда, когда сходятся интегралы соответственно от функций $f(x)$ и $g(x)$ на промежутке $[b-c,b)$ . Если сходится интеграл $I_{2}$ (а значит и $\int_{b-c}^{b}{g(x)dx}$ ), то из равенства $f(x)<\frac{3}{2}g(x)$ по признаку сравнения в форме неравенств следует сходимость интеграла $\int_{b-c}^{b}{f(x)dx}$ , а это равносильно сходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ . Аналогично, из $\frac{1}{2}g(x)<f(x)$ заключаем, что из сходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ следует сходимость интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ .
Если же один из интегралов расходится, например, $I_{1}$ . Тогда предположим, что $I_{2}$ сходится, следовательно, по доказанному выше $I_{1}$ тоже должен сходиться, что противоречит условию, следовательно $I_{2}$ тоже расходится. Т.е. если один из интегралов расходится, то расходится и другой.

[свернуть]

Замечание

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,\xi]$ при $\forall \xi \geq \alpha$ и если $f(x)\sim \frac{A}{x^{\alpha}}$ при $x\rightarrow +\infty$ , где $A\neq 0$ , то интеграл $\int_{\alpha }^{+\infty}{f(x)dx}$ сходится при $\alpha >1$ и расходится при $\alpha \leq 1$ .

Спойлер

Сходится ли интеграл? $\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx}$
$\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx}=\left[\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}\sim \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x} \right]$ (можем заменить функцию эквивалентной т.к. $\frac{\ln(1+x)}{x^{2}}\rightarrow 0$ ). Тогда интеграл $\int_{0}^{1}{\frac{dx}{x}}=\infty$ расходится (т.к. $\alpha =1$ ).
Ответ: интеграл расходится.

[свернуть]

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр. 369-373.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учеб. пособие. 13-е изд., 1997 г. стр. 223-230.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.87-89.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.659-665..

Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

Этот тест покажет ваши знания по данной теме.

Таблица лучших: Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

максимум из 15 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение

Пусть функция $f$ задана на полуинтервале $[a,b)$ , где $-\infty<a<b<+\infty$ , и интегрируема по Риману на любом отрезке $[a,\xi]$ , где $a<\xi<b$ . Тогда, если существует конечный предел $\lim_{\xi \to b-0}\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}$ , то несобственный интеграл $II$ рода $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ называют сходящимся и полагают

$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to b-0}\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}$

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если существует конечный $\lim_{\xi \to a+0}\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}$ , то несобственный интеграл $II$ рода $\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ называют сходящимся и полагают

$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to a+0}\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}$

В противном случае, если такого предела нет, расходящимся.

Замечание

Определение несобственного интеграла от непрерывных функций является содержательным лишь в случае, когда $f(x)$ неограниченна в окрестности точек $b,a$ . При этом, эти точки называются особыми.

Пример:

Курсовая
Рассмотрим функцию $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ . Эта функция непрерывна на промежутке $[0,1)$ , но не ограничена на этом промежутке. При $\forall\xi\in [0,1)$ функция $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ интегрируема на отрезке $[0,\xi]$ , причем $J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi})$ , откуда следует, что существует конечный $\lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2$ . В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ на промежутке $[0,1)$ равен $2$ , т.е. $\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2$ . Число $2$ можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.

Литература

Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр. 361-363.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учеб. пособие. 13-е изд., 1997 г. стр. 223-230.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.80-82.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.644-652.

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Этот тест покажет насколько хорошо вы усвоили данную тему.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 3
Определение неопределенного интеграла от непрерывных функций.
- Пусть функция f(x) (определена) на конечном промежутке [a,b) и (интегрируема) на отрезке [a,xi], где xi - любое из промежутка [a,b). Тогда, если существует (конечный) предел интеграла функции f(x) от a до xi, где xi->b-0, то символ интеграла функции f(x) от a до b называют несобственным интегралом от непрерывной функции.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
При каком условии можно определить несобственный интеграл?
- Сходимости в окрестности точек
- Неограниченности в окрестности точек
- Интегрируемости в окрестности точек
- Ограниченности в окрестности точек
Правильно

Да, исходя из замечания.

Неправильно

Прочитайте внимательнее замечание.
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Отметить интегралы которые имеют предел A, равный : $\left\{\left.\begin{matrix}A<\infty \\ A=\pm\infty\end{matrix}\right|\begin{matrix}\alpha < 1 \\ \alpha\geq1\end{matrix}\right.$
- $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x^\alpha}}$
- $\int\limits_{c}^{b}{\frac{dx}{(x-c)^\alpha}}, -\infty < c < b < +\infty$
- $\int\limits_{1}^{+\infty}{\frac{dx}{x^\alpha}}$
- $\int\limits_{c}^{b}{\frac{dx}{(b-x)^\alpha}},-\infty < c < b < +\infty$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 4
Отсортируйте по убыванию площадей под кривыми функций
- $\int\limits_{1}^{3}{\frac{dx}{\sqrt[3]{(x-3)^5}}}$
- $\int\limits_{0}^{1}{\ln x dx}$
- $\int\limits_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}}$
- $\int\limits_{-2}^{2}{\frac{dx}{x^3}}$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Если подынтегральная функция $f(x)$ неограниченна в окрестности точек $b,a$ , тогда такие точки называются:
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Предел функции по множеству

Возьмём произвольные множества $X$ , $Y$ . Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$ .

Множество $X$ — область определения.
Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$ , определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$ . Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$ -мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$ : $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$ .Пусть $f$ : $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде: $f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
$f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$ .

Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$ .
$f = (f^{1},…,f^{m}),$
$f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$ .

Предел функции

Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$ , $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$ : $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ .
Точка $b\in \mathbb{R}^{m}$ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$ . В этом случае пишут

$b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$

и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$ , проходя множество $E$ .

Теорема

Допустим функция $f$ : $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$ . Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ , отличных от $a$ , было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$ .

Необходимость:

Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a$ , то есть фиксируем некоторую последовательность $0$ < $\left | x — a \right |$ < $\delta$ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$ . Зададим $\varepsilon > 0$ . Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $0$ < $\left | x — a \right | < \delta$ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon$ , так как $x_{\kappa }\rightarrow a$ и $x_{\kappa } \neq a$ , то найдётся такой номер $N$ , что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$ .
Поэтому для $\kappa \geq N$ выполнено неравенство $\left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon$ . Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$

Достаточность:

Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$ . Тогда найдется такое $\varepsilon_{0} > 0$ , что для любого $\delta > 0$ найдется точка $x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta$ , но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$ . Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$ , построим последовательность точек $x’_{\kappa}$ , для которых $0$ < $\left | x’_{\kappa } — a \right |$ < $\frac{1}{\kappa }$ , но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0}$ , тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a$ , нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$ , а это противоречит нашему условию.

Определим функцию по Гейне:

Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ , если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$ , $x_{\kappa } \neq a$ , соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \}$ значений функции сходится к точке $b$ .

Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$ : $E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$ , $a$ - прeдельная точка множества $E$ и

$\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$ , $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$

Тогда
1) $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$ ;

2) $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$ ;

3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$

Литература
В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
Конспект лекций Г.М. Вартаняна

предел функции на множестве

Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 4
Определение предела функции: Точка $b\in \mathbb{R}^{m}$ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$ , если
- если для любого
- $\varepsilon > 0$
- найдётся такое
- $\delta > 0$
- что для всех
- $x \in E$
- отличных от точки $a$
- удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$
- справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$
- В этом случае пишут $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 3
Перечислите арифметические свойства: если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f-g)(x) = b-c$
- $\lim\limits_{x\to a, x \in E}((f+g)(x))^{n} = (b+c)^{n}$
Правильно

Неправильно

Подсказка

$\lim\limits_{x\to a, x \in E}((f+g)(x))^{n} = (b+c)^{n}$ — неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 4
Возьмём произвольные множества $X$ , $Y$ . Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$ .
Множество $X$ и множество всех $y\in Y$ называют соответственно
Правильно

Неправильно

Подсказка

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

${\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.$

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.

Спойлер

На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция $sgn x$ постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид $F(x)=x+C$ (или $F(x)=-x+C$ ), где $C$ — некоторое число.
Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции $sgn x$ имеет вид $F_1=-x+C_1$ , а на интервале (0,1) любая первообразная функции $sgn x$ имеет вид $F_2(x)=x+C_2$ .

При любом выборе постоянных $C_1$ и $C_2$ мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать $C_1=C_2=C$ , то получим функцию $F(x)=|x|+C$ , недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция $sgn x$ не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки $0$ . Как видно $lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1$ и $lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1$ . По теореме* предел функции в точке $0$ не существует.

* Функция $f(x)$ имеет предел в точке $a$ тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке $a$ .

[свернуть]

Источники

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Задание 1 из 1

1.
Количество баллов: 1
Почему функция $f(x)=sgn(x)$ не имеет производной?
- Недифференцируема в точке 0
- Предел функции в точке 0 не существует
- Не имеет первообразной в точке 0
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Определение

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

Признак сравнения в форме неравенств

Теорема

Признак сравнения в предельной форме

Теорема

Замечание

Литература

Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

6.

Таблица лучших: Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

Определение

Замечание

Пример:

Литература

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

предел функции на множестве

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Подсказка

Источники

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной