Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

4.12 Эквивалентные функции. Символы Ландау

Определение. Пусть функции f и g отличны от нуля в проколотой окрестности точки x0 (равной, быть может, +, или ). Говорят, что функции f и g эквивалентны при xx0, если limxx0f(x)g(x)=1. Обозначают это так: f(x)g(x) (xx0).

В терминах этого определения найденные ранее (см. Первый замечательный предел, Второй замечательный предел) пределы можно переписать следующим образом (все соотношения формулируются для случая x0):
sinxx,tgxx,1cosx12x2,arcsinxx,arctgxx,ax1xlna,loga(1+x)xlna, (1+x)α1αx.

Эти соотношения останутся в силе, если в них вместо переменной x записать отличную от нуля функцию φ(x), стремящуюся к нулю при xx0. Например, sinx2x2 (x0), tg1x1x (x), tgsin(x1)2sin(x1)2(x1)2 (x1).

Теорема (применение эквивалентных функций для нахождения пределов). Пусть f(x)f1(x) и g(x)g1(x) при xx0 и пусть существует limxx0f1(x)g1(x)=A. Тогда существует limxx0f(x)g(x)=A.

По определению эквивалентных функций, используя арифметические свойства пределов, получаем
limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)f1(x)g1(x)g(x)f1(x)g1(x)=11A=A, и теорема доказана.

Доказанная теорема означает, что при вычислении пределов в произведении и в частном функции можно заменять эквивалентными. При этом существование предела и его величина не изменяются.

Пример.
limx0arcsinx(ex1)1cosx=limx0xxx22=2

Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых

Символами Ландау называются символы ¯o и O_. Дадим определение.

Определение Пусть функции f и g определены в проколотой окрестности точки x0 (конечного или бесконечного) и g(x)0. Говорят, что f(x) является ¯o-малой относительно g(x) при xx0, если limxx0f(x)g(x)=0. Обозначают это так: f(x)=¯o(g(x)) (xx0).

Если f(x)0, g(x)0 и f(x)=¯o(g(x)) при xx0, то говорят, что f(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем g(x), при xx0. Если же f(x), g(x) и f(x)=¯o(g(x)) при xx0, то говорят, что g(x) стремится к бесконечности быстрее, чем f(x), при xx0. Например, sin(x2)=¯o(x) (x0), tg3xsin1x=¯o(x2) (x0).

Определение. Пусть функции f и g определены в проколотой окрестности x0 (конечного или бесконечного) и g(x)0. Говорят, что f(x) является O_-большим относительно g(x) при xx0, если существует такая проколотая окрестность Uδ точки x0, что для всех xUδ справедливо неравенство |f(x)|c|g(x)|, где постоянная c не зависит от x (но может зависеть от окрестности Uδ). Обозначают это так: f(x)=O_(g(x)) (xx0).

Например, x2+2x3=O_(x2).

Теорема. Пусть существует limxx0|f(x)g(x)|=K, где 0K<+. Тогда f(x)=O_(g(x)).

Рассматриваем случай x0R. Зададим ε=1 и найдем такое δ>0, что для всех x, удовлетворяющих условию |xx0|<δ, справедливо неравенство ||f(x)g(x)|K|<1. Последнее неравенство равносильно тому, что
K1<|f(x)g(x)|<K+1. Умножая правое неравенство на |g(x)|, получаем утверждение теоремы.

Теорема (критерий эквивалентности функций). Для того, чтобы отличные от нуля функции f и g были эквивалентны при xx0, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство f(x)=g(x)+¯o(g(x)) (xx0).

Необходимость. Пусть f(x)g(x) при xx0. Тогда f(x)g(x)10 (xx0), т. е. f(x)g(x)1=h(x), где h(x)0 (xx0). Отсюда следует, что f(x)=g(x)+g(x)h(x). Но g(x)h(x)g(x)=h(x), т. е. g(x)h(x)=¯o(g(x)) (xx0).

Достаточность. Если f(x)=g(x)+¯o(g(x)) (xx0), то f(x)g(x)=1+¯o(g(x))g(x) и поэтому limxx0f(x)g(x)=1.

Используя эту теорему, набор эквивалентных функций, выписанный нами ранее, можно переписать в следующем виде (всюду x0):
sinx=x+¯o(x),tgx=x+¯o(x),1cosx=12x2+¯o(x2),arcsinx=x+¯o(x),arctgx=x+¯o(x),ax1=xlna+¯o(x),loga(1+x)=xlna+¯o(x),(1+x)α1=αx+¯o(x).

С помощью этой таблицы можно вычислять пределы. Покажем это на примерах.

Пример 1.limx0ex31+x2arctgxarcsinx=limx0ex1(31+x1)2arctgxarcsinx==limx0x+¯o(x)(13x+¯o(x))2(x+¯o(x))x+¯o(x)=limx023x+¯o(x)x+¯o(x)==limx023+¯o(x)x1+¯o(x)x=23

Пример 2. Раскрытие неопределенности [1]. Пусть α(x)0(α(x)0), β(x). Тогда, в силу непрерывности показательной функции,
limxx0(1+α(x))β(x)=limxx0eβ(x)ln(1+α(x))=elimxx0β(x)(α(x)+¯o(α(x))). Если существует limxx0α(x)β(x)=A, то
limxx0β(x)(α(x)+¯o(α(x)))==limxx0β(x)α(x)α(x)+¯o(α(x))α(x)==limxx0β(x)α(x)(1+¯o(α(x))α(x))=A. Поэтому
limxx0(1+α(x))β(x)=eA.

Упражнение. Пусть limxx0α(x)=0,limxx0β(x)=. Доказать, что limxx0(1+α(x))β(x)=0, если limxx0α(x)β(x)=. Если же limxx0α(x)β(x)=+, то limxx0(1+α(x))β(x)=+.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Найти предел limx1(x20182x+1)(ex11)(x1)sin(x1).
    Решение

    limx1(x20182x+1)(ex11)(x1)sin(x1)==[При x1ex11x1sin(x1)x1]==limx1(x20182x+1)(x1)(x1)(x1)==limx1x20182x+1x1==[(x20182x+1)|x=1=0(x20182x+1)(x1)Разделим многочлен(x20182x+1) на двучлен (x1)при помощи схемы Горнера:   1 0 0 0  0 2 11 1 1 1 1  1 1 0]==limx1(x1)(x2017+x2016+x2+x1)(x1)==limx1(x2017+x2016++x2+x1)=2016

  2. Найти предел limx+(cos1x)x.
    Решение

    limx+(cos1x)x=limx+exlncos1x=elimx+xlncos1x==[limx+xlncos1x==limx+xln(1+(cos1x1))==[При x+ln(1+(cos1x1))cos1x1==2sin212x2(12x)2=12x]==limx+x2x=12]=e12

  3. Найти предел limx0arctg((1+x)31)+2tgxex1+3ln(1+x).
    Решение

    limx0arctg((1+x)31)+2tgxex1+3ln(1+x)==[При x0arctg((1+x)31)==(1+x)31+¯o((1+x)31)==(1+x)31+¯o(x)==3x+¯o(x)+¯o(x)=3x+¯o(x)tgx=x+¯o(x)ex1=x+¯o(x)ln(1+x)=x+¯o(x)]==limx03x+¯o(x)+2x+¯o(x)x+¯o(x)+3(x+¯o(x))=limx05x+¯o(x)4x+¯o(x)==limx05+¯o(x)x4+¯o(x)x=54

    Здесь воспользовались простой леммой: если при xx0 f(x)g(x), то ¯o(f(x))=¯o(g(x)). Читателю в качестве упражнения предлагается доказать ее самостоятельно.

  4. Найти предел limxaaxxaxa, a>0.
    Решение

    limxaaxxaxa=limxa(axaa)(xaaa)xa==limxaaa(axa1)aa((xa)a1)xa==limxaaa(axa1)aa((1+(xa1))a1)xa==[При xaaxa1=(xa)lna+¯o(xa)(1+(xa1))a1==a(xa1)+¯o(xa1)==(xa)+¯o(xa)]==limxaaa((xa)lna+¯o(xa))aa((xa)+¯o(xa))xa==limxaaa(xa)(lna1)+¯o(xa)xa==aa(lna1)

  5. Доказать, что nN x+x++xn корнейx при x+
    Решение

    Докажем утверждение методом математической индукции по n — количеству корней.

    База индукции. При n=1 имеем xx, что, очевидно, верно в силу рефлексивности бинарного отношения эквивалентности функций.

    Предположение индукции. Пусть утверждение верно для всех nk, k1.

    Шаг индукции. Докажем теперь утверждение для n=k+1. Покажем, что x+x++xk+1 кореньx, что равносильно тому, что limx+x+x++xk+1 кореньx=1. Имеем: x+x++xk+1 кореньx=x1+x+x++xk корнейxx==1+x+x++xk корнейx.
    По индуктивному предположению x+x++xk корнейx, что по критерию эквивалентности означает, что x+x++xk корней=x+¯o(x)=¯o(x). Тогда переходя к пределу имеем: limx+x+x++xk+1 кореньx=limx+1+¯o(x)x=1.

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 116-121.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — С. 253-271.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 136-146.

Эквивалентные функции и символы Ландау

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме

Таблица эквивалентных

Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [00]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базыx0  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу x0, для простоты записи  будем писать знак вместо x0.

sinxx ex1x
tgxx ax1xlna
arcsinxx ln(1+x)x
arctgxx (1+x)α1αx
shxx 1cosxx22

Докажем некоторые утверждения:

1)    limx0arcsinxx=limx01xarcsinx=limy01sinyy=1

2)  limx0tgxx=limx0sinxxcosx=limx0sinxxlimx0cosx=11=1

3)  limx01cosxx2/2=limx02sin2x2x2/2=limx02sin2x22(x2)2=limx0sinx2x2sinx2x2=limx0sinx2x2limx0sinx2x2=11=1

4) limx0loga(1+x)xlna=limx0lna1xloga(1+x)=limx0lnaloga(1+x)1x=limx0lnaln(1+x)1xlna=limx0ln(1+x)1x=lnlimx0(1+x)1x=lne=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если ˙Uδ(x0)в которой определены f,g  и h:f(x)=g(x)h(x),
причём limxx0h(x)=1f и g- эквивалентные при xx0 и пишут fxx0g
limx0f(x)g(x)=h(x)=1
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при xx0

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  α  и β были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было limβα=1
Положив  βα=γ, будем иметь  βα1=γα
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   βα1 , то γα0  , то естьγ есть бесконечно малая высшего порядка, чем  α и  βα . Обратно, если дано, что βα , то γα0 , а тогда  βα1.
С помощью этого критерия, например, видно, что при x0 бесконечно малая  sinx  эквивалентна x, а 1+x1=12x.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  [00] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  βα. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Еслиff1 , а gg1 , при xx0 , то если limxx0f1(x)g1(x) , то  limxx0f(x)g(x) и limxx0f1(x)g1(x)=limxx0f(x)g(x)
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) limx0arcsinx(ex1)cosxcos3x=[arcsinxxex1xcosxcos3x=2sinxsin2x ]limx0xx4x2=14

2) limxx(e1x1)=[1x=txt0]=limt01t(et1)=limt01tt=limt01=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»