непрерывность в точке

11.2 Непрерывные функции

Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и точка $x_0 \in E$ .

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$ , справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0)\rvert < \varepsilon$ .

Если $x_0$ – предельная точка множества $E$ , то непрерывность функции $f$ в точке $x_0$ равносильна тому, что $\lim_\limits{{x \to x_0}, {x \in E}} f(x) = f(x_0)$ .

Пусть точка $x_0$ не является предельной для $E$ . Это означает, что найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$ , в которой нет других точек множества $E$ . Такая точка называется изолированной точкой множества $E$ . Ясно, что каждая точка множества $E$ является либо предельной, либо изолированной. Очевидно, в изолированной точке множества $E$ любая функция $f$ непрерывна, это следует сразу из определения непрерывности.

Равносильное данному выше определение непрерывности в терминах окрестностей может быть сформулировано следующим образом.

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$ , если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$ , что образ $f(U \cap E)$ множества $U \cap E$ содержится в $V$ , т. е. $f(U \cap E) \subset V$ .

Используя определение предела по Гейне, можно также легко сформулировать определение непрерывности функции в точке в терминах последовательностей.

Пусть функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Для того чтобы $f$ была непрерывной в точке $x_0$ , необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными в точке $x_0$ все ее компоненты.

Эта теорема мгновенно вытекает из следующего неравенства: $\lvert f^i(x) — f^i(x_0)\rvert \leqslant \lvert f(x) — f(x_0)\rvert = \sqrt{\sum_{i=1}^m[f^i(x) — f^i(x_0)]^2}(i = 1,\ldots,m)$

Пусть функции $f,g \colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Если $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_0 \in E$ , то в этой точке непрерывны и функции $f + g$ , $f ·g$ . Если $f,g$ – действительные функции и $g(x) \neq 0$ на $E$ , то $\frac{f}{g}$ непрерывна в точке $x_0$ .

Действительно, если $x_0$ – изолированная точка, то в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $x_0$ – предельная точка множества $E$ , то для доказательства этой теоремы достаточно применить соответствующую теорему для пределов функции.

Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $g\colon N\to \mathbb{R}^{k}$ , $N \subset \mathbb{R}^{m}$ , причем $f(E) \subset N$ . Если $f$ непрерывна в точке $x_0 \in E$ , а функция $g$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0) \in N$ , то композиция $h \equiv g \circ f$ непрерывна в точке $x_0$ .

Пусть $\varepsilon > 0$ . В силу непрерывности функции $g$ в точке $y_0$ , найдется такое $\eta > 0$ , что для всех $y \in N$ , удовлетворяющих условию $\lvert y−y_0 \rvert < \eta$ , выполнено неравенство $\lvert g(y)−g(y_0) \rvert < \varepsilon$ . Так как $f$ непрерывна в точке $x_0$ , то для числа $\eta$ существует такое $\delta$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$ , справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0) \rvert < \eta$ . Окончательно, если $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$ , то, так как $y_0 = f(x_0)$ , получаем $\lvert h(x)−h(x_0)\rvert = \lvert g(f(x))−g(f(x_0))\rvert < \varepsilon$ .

Функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ называется непрерывной на множестве $E$ , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Рассмотрим $\pi^i(x) = x^i (x \in \mathbb{R}^{n}), \pi^i \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (i \in 1,\ldots,n)$ . Имеем $\lvert \pi^i(x)−\pi^i(x_0)\rvert = \lvert x^i −x^i_0\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert,$ так что функция $\pi^i$ непрерывна на всем $\mathbb{R}^{n}$ .

Пусть $f(x) = (x^i)^ν$ , где $ν \in \mathbb{N}$ . Тогда функция $f\colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ .

Действительно, рассмотрим функцию $g(t) = t^ν (t \in \mathbb{R})$ . Тогда $f = g \circ\pi^i$ и из теоремы о непрерывности сложной функции сразу получаем утверждение.

Функция $f(x) = \sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n} C_{i_1,\ldots,i_n}(x^1)^{i_1}\ldots(x^n)^{i_n}$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ . Это следует из двух предыдущих примеров.

Пусть $f(x) = \lvert x\rvert (x \in \mathbb{R}^{n})$ . Тогда из неравенства $\lvert f(x)−f(x_0)\rvert = \lvert \lvert x\rvert −\lvert x_0\rvert\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert (x, x_0 \in \mathbb{R}^{n})$ сразу следует непрерывность функции $f$ .

Множество $A \subset \mathbb{R}^{n}$ называется открытым относительно множества $B \subset \mathbb{R}^{n}$ , если существует такое открытое множество $G \subset \mathbb{R}^{n}$ , что $A = G \cap B$ .

Если функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ непрерывна на множестве $E,$ то прообраз любого открытого множества $H \subset \mathbb{R}^{n}$ открыт относительно $E$ .

Если $H \cap f(E) = \varnothing$ , то прообраз множества $H$ равен $\varnothing$ и утверждение теоремы в этом случае справедливо.

Пусть $H \cap f(E) \neq \varnothing$ . Для каждого $y_0 ∈ H \cap f(E)$ построим окрестность $V_{y_0} \subset H$ и, пользуясь непрерывностью функции $f$ , для каждого $x_0 \in E$ , такого, что $f(x_0) = y_0$ , построим такую окрестность $U_{x_0}$ , что $f(U_{x_0} \cap E) \subset V_{y_0}$ . Обозначим через $G$ объединение всех таких окрестностей $U_{x_0}$ , полученных, когда $y_0$ пробегает все множество $H \cap f(E)$ . Нетрудно видеть, что прообразом множества $H$ является множество $G \cap E$ .

Примеры решения задач

Будет ли функция $f(x,y) = x^6 + y^3 + 2x^4y^3 — 1$ непрерывной на $\mathbb{R}^{2}$ ?

Решение

Да, будет по вышеуказанной теореме, как сумма непрерывных функций $f_1(x,y) = x^6 + y^3$ и $f_2(x,y) = 2x^4y^3 — 1$ . Каждая из них в свою очередь, очевидно будет непрерывна, потому что для любого $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^{2}$ $\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_1(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} x^6 + y^3 = x_0^6+y_0^3 = f_1(x_0)$ $\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_2(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} 2x^4y^3 — 1 = 2x_{0}^4y_0^3 = f_2(x_0)$
Исследовать на непрерывность функцию $f(x,y)$ в точке $O(0, 0)$ .
$\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0\\ 0, x^2+y^2=0. \end{cases} \end{equation*}$

Решение

$\lim_{x\to 0} f(x,y) = \lim_{x\to 0}\dfrac{2\cdot 0 \cdot y}{0+y^2} = 0$ $\lim_{y\to 0} f(x,y) = \lim_{y\to 0}\dfrac{2y \cdot 0}{x^2+0} = 0$ Тем не менее, функция разрывна в $O(0, 0)$ , что показывается по Гейне. Выберем последовательности точек $(\dfrac1n, \dfrac1n)$ и $(\dfrac1n, -\dfrac1n)$ , сходящиеся к $O(0,0)$ . $\lim f(\dfrac1n, \dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot\dfrac1n}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = 1$ $\lim f(\dfrac1n, -\dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot(-\dfrac1n)}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = -1$
Так как $\lim f(\dfrac1{n}, \dfrac1{n}) \neq\lim_\limits{(x,y)\to(\frac1{n}, -\frac1{n})}f(x,y)$ , то функция не непрерывна в данной точке.
Показать, что функция $f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, \textrm{ если } x^2+y^2\neq 0$ и $f(0,0) = 0$ непрерывна в окрестности точки $(0, 0)$ .

Решение

Вне $0$ функция, очевидно, будет непрерывна, как композиция непрерывных. Найдём предел функции в точке $(0,0)$ : $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\dfrac{xy}{xy}}{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{xy}}=$ $=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac1{\sqrt{\dfrac1{y^2}+\dfrac1{x^2}}} = 0.$ Так как $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ , то функция непрерывна в $(0,0)$ . Что и требовалось доказать.

Литература

Непрерывные функции

Тест на проверку знаний по теме «Непрерывные функции».

Задание 1 из 4

1.
Вставьте пропущенные слова.
- Функция $f\colon E\to \mathbb R^m$ называется непрерывной на множестве $E$ , если она .
  
  Пусть функции $f,g \colon E\to \mathbb R^m$ , $E \subset \mathbb R^n$ . Если , то в этой точке непрерывны и функции $f + g$ , $f ·g$ . Если $f,g$ – и $g(x) \neq 0$ на $E$ , то $\frac fg$ непрерывна в точке $x_0$ .
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Выберите функцию, непрерывную на всей вещественной оси:
- $\dfrac{2xy}{x^2+y^2}$
- $\dfrac{\cos x - \cos y}{x-y}$
- $\dfrac{y^2}{y-x}$
- $\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Каким должно быть множество $G\subset\mathbb{R}^{n}$ , такое, что $A = G \cap B$ , чтобы множество $A\subset\mathbb{R}^{n}$ называлось открытым относительно множества $B\subset\mathbb{R}^{n}$ ?
- Пустым.
- Комплексным.
- Открытым.
- Конечным.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Восстановите определение непрерывной функции.
- $\forall\varepsilon > 0$
- $\exists\delta$
- $\forall x\in X$
- $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$
- $\lvert f(x) - f(x_0)\rvert < \varepsilon$
Правильно

Неправильно

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m[/latex][latex](f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R)[/latex] определена в некоторой окрестности точки [latex]x\in R^n[/latex] и [latex]\Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n})[/latex] — такой вектор независимых переменных, что точка [latex]x+\Delta x[/latex] тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции [latex]f[/latex]

[latex]\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)[/latex],

соответствующее приращение [latex]\Delta x[/latex] переменных в точке [latex]x[/latex]. Напомним, что

[latex]||\Delta x||=\sqrt{(\Delta x_{1})^2+\dots +(\Delta x_{n})^2}[/latex].

Определение. Функцию [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R[/latex], определенную в некоторой окрестности точки [latex]x[/latex], называют дифференцируемой в точке [latex]x[/latex], если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

[latex]\Delta f(x)=a_{1}\Delta x_{1}+a_{2}\Delta x_{2}+\dots +a_{n}\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|, \ \ \ (1)[/latex]

где коэффициенты [latex]a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}[/latex] не зависят от приращений [latex]\Delta x[/latex], а функция [latex]\alpha(\Delta x)[/latex] является бесконечно малой при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex].

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то у этой функции в точке [latex]x[/latex] существуют все частные производные [latex]f_{x_{i}}^{\prime}(x)[/latex], [latex]i=\overline{1,n} [/latex], причем коэффициенты [latex]a_{i}[/latex] в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке [latex]x[/latex]:

[latex]a_{i}=f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n}[/latex].

Доказательство
Для дифференцируемой в точке [latex]x[/latex] функции [latex]f[/latex] представление (1) верно для любого приращения [latex]\Delta x[/latex] имеет вид

[latex]\Delta x=(0,\dots, 0 ,\Delta x_{i}, 0,\dots, 0)[/latex], [latex]\Delta x_{i}\neq0[/latex],
где номер [latex]i[/latex] выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае [latex]||\Delta x||=|\Delta x_{i}|[/latex], соответствующее полное [latex]\Delta f(x)[/latex] функции [latex]f(x)[/latex] сводится к ее [latex]i-[/latex]му частному приращению [latex]\Delta_{i}f(x)[/latex], а равенство (1) принимает вид

[latex]\Delta f(x)=\Delta_{i}f(x)=a_{i}\Delta x_{i}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|[/latex].

Разделив последнее равенство на [latex]\Delta x_{i}[/latex] и перейдя к пределу при [latex]\Delta x_{i}\rightarrow 0[/latex], получим

[latex]\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{\frac{\Delta_{i}f(x)}{\Delta x_{i}}}=a_{i}+\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}})}=a_{i}[/latex],

поскольку функция [latex]\alpha(\Delta x)[/latex] бесконечно малая при [latex]\Delta x_{i}\rightarrow 0[/latex], а отношение [latex]\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}}=\pm 1[/latex] ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная [latex]f_{x_{i}}^{\prime}(x)[/latex] в точке [latex] x[/latex] существует и равна [latex]a_{i}[/latex].
Следствие. Если функция нескольких переменных [latex]f:R^n\rightarrow R[/latex] дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то ее полное приращение [latex]\Delta f(x)[/latex] можно представить в виде

[latex]\Delta f(x)=f_{x_{1}}^{\prime}(x)\Delta x_{i}+\dots +f_{x_{n}}^{\prime}(x)\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|[/latex],

где при [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex].

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 3

1.

Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ

Найти производные функций двух переменных по переменной [latex]y[/latex]:

Элементы сортировки

$4x^2+3y^2$
$x^y\ln x$
$xe^{xy}$
$-3\cos(2x-3y)$

$4x^2y+y^3-56$

$x^y$

$e^{xy}$

$\sin(2x-3y)$

Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 3

Рубрика: Математический анализ
Пусть функция нескольких переменных [latex]f:R^n\rightarrow R[/latex] определена в некоторой окрестности точки [latex]x\in R^n[/latex] и [latex]\Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n})^T[/latex] — такой вектор независимых переменных, что точка [latex]x+\Delta x[/latex] тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции [latex]f[/latex]
- $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$
- $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)$
- $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-\Delta f$
- $f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 3

Рубрика: Математический анализ
Если функция нескольких переменных [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R[/latex] дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то у этой функции в точке [latex]x[/latex] существуют все
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным

Примечание к статье
В последующих определениях точка это элемент $\mathbb{R}^n$ , то-есть $x=(x_1,\cdots,x_n)$ и $x^0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ , а значение функции в точке это элемент $\mathbb{R}^m$ , то-есть $f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$ и $f(x^0)=(f_1(x^0),\cdots,f_m(x^0))$ . Определим метрику $\rho_n(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ на пространстве $\mathbb{R}^n$ . Нумерация последовательности будет обозначаться верхним индексом в скобках.

Дадим три эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 1.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$ , где $X \subset \mathbb{R}^n$ , называется непрерывной в точке $x^0 \in X$ , если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ , что для всех $x \in X$ , удовлетворяющих условию $\rho_n(x,x^0)<\delta$ , выполняется неравенство $\rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$ В кванторах $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \: \forall x \in X:\rho_n(x,x^0)<\delta \Rightarrow \rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$ Как следует из определения точка $x^0$ не обязана быть предельной точкой множества $X$ (как того требует определение предела в многомерном случае), а может быть и изолированной точкой. Так же верным является и следующее определение.

Определение 2.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$ , где $X \subset \mathbb{R}^n$ , называется непрерывной в предельной точке $x^0 \in X$ , если $\lim_{x \to x^0,x \in X}f(x)=f(x^0).$

Из сказанного выше следует, что если функция $f$ , определена на множестве $X$ и непрерывна в точке $x^0 \in X$ , то $x^0$ либо предельная точка множества $X$ , либо изолированная.

Дадим определение понятия непрерывности функции в точке на языке последовательностей.

Определение 3.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$ , где $X \subset \mathbb{R}^n$ , непрерывна в предельной точке $x^0 \in X$ , если для любой последовательности точек $\{x^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$ , для которой $x^{(k)} \in X,\: x^{(k)}\neq x^0,\: x^{(k)} \to x^{0} \: (k \to \infty)$ $\lim_{k \to \infty}f(x^{(k)})=f(x^0).$

Теперь дадим определение функции непрерывной по отдельной переменной.

Определение 4
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$ , где $X \subset \mathbb{R}^n$ , непрерывна по переменной $x_i$ в точке $x^0 \in X$ , если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ , что для всех $x \in X$ , удовлетворяющих условию $|x_i-x_i^0|<\delta$ , выполняется неравенство $\rho_m(f(x_i)-f(x_i^0))<\varepsilon.$ Очевидно, что если функция является непрерывной, то она так же непрерывна и по каждой переменной в отдельности. Обратное не верно. Пример 1.
Покажем, что функция
$f(x,y)= \begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\ 0, & \text{если $x^2+y^2=0$,} \end{cases}$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной в точке $(0,0)$ .

Спойлер

Рассмотрим, непрерывна ли функция по переменной $x$ ? Пусть $y \neq 0$ и $x_0$ — любые фиксированный числа. Тогда $\lim_{x \to x_0}f(x,y)=\lim_{x \to x_0}\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2x_0y}{x_0^2+y^2}=f(x_0,y).$

Если же $y=0$ , то при любом $x_0 \neq 0$ , $\lim_{x \to x_0}f(x,0)=0=f(x_0,0)$ . Наконец, если $y=0$ и $x_0=0$ , то $\lim_{x \to 0}f(x,0)=0=f(0,0)$ .

Таким образом, при каждом фиксированном $y$ функция $f$ непрерывна по переменной $x$ . Ввиду симметрии функции относительно $x$ и $y$ при любом фиксированном $x$ функция $f$ непрерывна по переменной $y$ .

Однако функция $f$ не является непрерывной в точке $(0,0)$ . Действительно, обе последовательности $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \to (0,0)$ и $\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right) \to (0,0)$ при $n \to \infty$ , а соответствующие им последовательности значений функции стремятся к различным пределам:
$f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \to 1, \hspace{4pt} f\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{4}{n^2}}{\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \to \frac{4}{5} (n \to \infty).$

[свернуть]

Пример 2.
Показать, что функция

$f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\ 0, & \text{если $x^2+y^2=0$,} \end{cases}$
в точке

$O(0,0)$ непрерывна вдоль каждого луча

$x=t\cos{\alpha}, y=t\sin{\alpha}, (0 \le t < +\infty),$ проходящего через эту точку, т. е. существует

$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=f(0,0),$ однако эта функция не является непрерывной в точке

$(0,0)$ . [spoiler] Имеем

$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=\lim_{t \to 0}\frac{t\cos^2{\alpha}\sin{\alpha}}{t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}.$ Поскольку

$f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha}) \equiv 0$ при

$\alpha=\frac{k\pi}{2},k \in \mathbb{Z}_0$ , то при этих значениях

$\alpha$

$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0).$ Если

$0<\alpha<2\pi, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{N}$ ,то

$t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}>0$ и

$t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha} \to \sin^2{\alpha}>0$ при

$t \to 0$ . Следовательно,

$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0)$ . Таким образом, вдоль любого луча, проходящего через точку

$(0,0)$ , функция

$f$ непрерывна в этой точке.

То, что функция $f$ имеет разрыв в точке $(0,0)$ , следует из того, что последовательность $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right) \to (0,0) \: (n \to \infty)$ , а
$\lim_{n \to \infty}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0).$
[/spoiler]

Литература.

Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 2(1). (с.9)
Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, Часть 1. (с.252-253)
Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (с.15-17)
Берс Л.И. Математический анализ в 2-х томах, перевод с английского. М, Высшая школа. 1975. (с.325)
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (с.362-363)
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1.(с.327-329)

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

Тест на тему: «Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.»

Таблица лучших: Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]

При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:

Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 5
Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?
- $x^2$
- $|x|$
- $\frac{1}{x}$
- $4x^3$
- $e^x$
- $\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
- $\cos x$
- $\frac{1}{1+x^2}$
- $\ln\left(x-1\right)$
Правильно 5 / 5Баллы

Отлично!

Неправильно / 5 Баллы

Ай-ай, будьте внимательней.

Задание 2 из 3

2.

Количество баллов: 7

Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.

Элементы сортировки

не дифференцируема в точке 0
не дифференцируема в точке -1
дифференцируема на всей области определения
не является дифференцируемой

$sin\left(\frac{1}{x}\right)$

$\frac{1}{1+x^5}$

$e^{x^2}$

Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 4
Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?
- Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно в этой точке. Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке? .
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Литература

Непрерывные функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Тест: Определение дифференцируемой функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Тест:

Непрерывность в точке и существование производной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной