Признак сравнения несобственных интегралов

Признак сравнения в форме неравенств

Теорема

Пусть функции $f$ и $g$ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$. Предположим, что $f(x)\leq g(x)$ для любого $x\in [a,b)$. Тогда:

  1. из сходимости интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ следует сходимость интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$;
  2. из расходимости интеграла $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ следует расходимость интеграла $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$;
Доказательство показать

Пример показать

Признак сравнения в предельной форме

Теорема

Пусть функции $f(x) $ и $g(x) $ неотрицательны на $[a,b)$ и интегрируемы на каждом отрезке, содержащемся в $[a,b)$. Тогда, если для $\forall x \in [a,b)$ выполняются условие $f(x)\sim g(x)$ при $x\rightarrow b-0$  $(\lim_{x \rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=1)$. Тогда интегралы $I_{1}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$ и $I_{2}=\int_{a}^{b}{g(x)dx}$ сходятся или расходятся одновременно (ведут себя одинаково).

Доказательство показать

Замечание

Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,\xi]$ при $\forall \xi \geq \alpha$ и если $f(x)\sim \frac{A}{x^{\alpha}}$ при $x\rightarrow +\infty$, где $A\neq 0$, то интеграл $\int_{\alpha }^{+\infty}{f(x)dx}$ сходится при $\alpha >1$ и расходится при  $\alpha \leq 1$.

Пример показать

Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

Этот тест покажет ваши знания по данной теме.

Таблица лучших: Тест по теме: Признак сравнения несобственных интегралов

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Замена переменных

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [a,b) и интегрируема в каждой части этого отрезка, не содержащей точки b, которая может быть и +\infty.

Рассмотрим теперь функцию x=\phi(t), которая является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной \phi'(t) на промежутке [\alpha,\beta). Допустим, что \phi(\alpha)=a и \phi(\beta)=b. Равенство \phi(\beta)=b следует понимать как \lim_{t \to \beta}\phi(t)=b. Если соблюдены все вышеперечисленные условия, то имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)=\int\limits_{a}^{b}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

при условии, что один из этих интегралов сходится. Из существования одного из двух интегралов в равенстве вытекает существование второго. Второй интеграл будет либо собственным,либо несобственным с единственной особой точкой \beta.

Доказательство

Пусть теперь x_0 и t_0 будут произвольными, но соответствующими значениям x и t и их промежуткам (a,b) и (\alpha, \beta). Тогда будем иметь:

$$\int\limits_{a}^{x_0}f(x)=\int\limits_{a}^{t_0}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

Если существует второй из интегралов, будем приближать произвольным образом x_0 к b, при этом t_0=\theta(x_0) устремится к \beta, существование второго интеграла доказано. Данное рассуждение одинаково применимо и к монотонно убывающей функции.

Пример показать

Литература

Тест : Замена переменных

Тест на знание метода замены переменных в случае несобственных интегралов

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Введём понятия абсолютно и условно сходящихся несобственных интегралов.

Пусть дан несобственный интеграл I=\int_{a}^{b}f(x)dx:

  • интеграл I называется абсолютно сходящимся, если сходится \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx;
  • интеграл I называется условно сходящимся, если интеграл I сходится, а  \widetilde{I} — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла I говорят, что функция f(x) абсолютно интегрируема на полусегменте \left[a,b\right).

Пример
... показать
Теорема 1

Пусть f\in{R([a,\xi))} для всех a<\xi<b. Тогда из сходимости несобственного интеграла \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx следует сходимость несобственного интеграла I=\int_{a}^{b}f(x)dx и справедливо неравенство:

\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx
... показать
Теорема 2

Если функция g(x) абсолютно интегрируема на промежутке \left[a;b\right), то несобственные интегралы I_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx и I_{2}=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx сходятся или расходятся одновременно.

... показать

Замечание

Ни на сходимость, ни на характер сходимости прибавление или вычитание под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет.

Пример

В качестве примера, исследуем интеграл на абсолютную и условную сходимость. Возьмём интеграл I=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx.

... показать
Литература
Тесты

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Проверьте свои знание по теме «Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов».