Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число A^{'} называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{'}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),

если

\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{'}|<\varepsilon

Аналогично, число A^{''} называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{''}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),

если

\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{''}|<\varepsilon

Односторонний предел по Гейне

Число A^{'} называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{'}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),

если

\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{'}[/latex]</p> <p>Аналогично, число [latex]A^{''} называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{''}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),

если

\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{''}

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке a, если

\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)).

Теорема

Функция f(x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке a.

Доказательство показать

Пример

Дана функция f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}\right.
signx
Выяснить существует ли предел в точке 0.

Решение показать

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы: 1 комментарий

  1. Доброго времени суток, не могли бы вы добавить еще определение односторонний пределов по Гейне?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *