Таблица эквивалентных

Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [\frac{0}{0}]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базыx\rightarrow 0  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу x\rightarrow 0, для простоты записи  будем писать знак \sim вместо _{x\rightarrow 0}^{\sim}\textrm{}.

sinx \sim x e^{x}-1\sim x
tgx\sim x a^{x}-1\sim xlna
arcsinx\sim x ln(1+x)\sim x
arctgx\sim x (1+x)^{\alpha }-1\sim \alpha x
shx\sim x 1-cosx\sim \frac{x^{2}}{2}

Докажем некоторые утверждения:

1)    lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{x}{arcsinx}}=lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{siny}{y}} =1

2)  lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{\frac{x}{cosx}}=\frac{lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}}{lim_{x\rightarrow 0}cosx}=\frac{1}{1}=1

3)  lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}/2}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}/2}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{2(\frac{x}{2})^{2}}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\cdot 1=1

4) lim_{x\rightarrow 0}\frac{log_{a}(1+x)}{\frac{x}{lna}}=lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{1}{x}log_{a}(1+x)=lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot log_{a}(1+x)^{\frac{1}{x}}=lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{lna}=lim_{x\rightarrow 0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=ln\; lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=ln\; e=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Таблица эквивалентных: 1 комментарий

  1. откидывая = отбрасывая?
    Вы несколько формул объединяете в одну длинную. Это не позволяет сделать автоматический перенос и визуально все сливается. Желательно ставить $latex чаще

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *