Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$, где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей суммы операторов будет сумма матриц этих операторов.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\:Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для него можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Be_{1}& = & b_{11}g_{1} & + & b_{21}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n1}g_{n},\\ Be_{2}& = & b_{12}g_{2} & + & b_{22}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Be_{m}& = & b_{1m}g_{1} & + & b_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & b_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Be_{j} =\sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $$B_{ge} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $C = A + B,\:$ где $C\in\Omega \left(X,\: Y\right).$ Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению оператора суммы) $$= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$)$$=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения оператора на число будет матрица этого оператора, умноженная на это число.

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $ C = \lambda A,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Y\right)$, $\:\forall \lambda \in P$. Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения оператора на число) $$= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения операторов будет произведение матриц этих операторов.

Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$, $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(Y,\:Z\right)$. Для него можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Bg_{1}& = & b_{11}t_{1} & + & b_{21}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k1}t_{k},\\ Bg_{2}& = & b_{12}t_{2} & + & b_{22}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Bg_{n}& = & b_{1n}t_{1} & + & b_{2n}t_{2} & + & \cdots & + & b_{kn}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Bg_{i} =\sum_{f=1}^{k}b_{fi}t_{f},$$ где $i = \overline{1,\:n}$. Тогда, в базисах $\left \langle g \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $$B_{tg} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $C = BA,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Z\right)$. Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}t_{1} & + & c_{21}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k1}t_{k},\\ Ce_{2}& = & c_{12}t_{2} & + & c_{22}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}t_{1} & + & c_{2m}t_{2} & + & \cdots & + & c_{km}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{te} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{k1} & c_{k2} & \cdots & c_{km}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения операторов) $$= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$$ (используя равенство для $Bg_{i}$)$$= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$$Следовательно, получили равенство: $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$, то получаем следующее:$$c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$, с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$-ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$-ого столбца матрицы $A_{ge}$. Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$

Примеры решения задач

Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{2}+x_{3},\:2x_{1}+x_{3},\:3x_{1}-x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}-x_{2}-x_{3},\:x_{1}-2x_{2}+x_{3},\:x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу суммы операторов $C = A + B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $C = A + B.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = A_{e} + B_{e}$, тогда имеем:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\3 & -2 & 2 \\4 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot$$

[свернуть]
Пусть задан оператор дифференцирования $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$. Найти матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ $\left( F\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right) \right)$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:\displaystyle x,\:\displaystyle x^{2},\:\displaystyle x^{3},\:\displaystyle x^{4}\right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$D_{e} = \left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$. По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = \sqrt{2}D_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = \sqrt{2}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\sqrt{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\sqrt{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$$

[свернуть]
Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}-x_{2}+x_{3},\:x_{3},\:x_{2}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}+3x_{2},\:x_{1},\:x_{2}-x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(2,\:0,\:-1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right)\right \rangle.$$Найти матрицу произведения операторов $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $C = BA.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = B_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & 5 \\4 & -1 & 1 \\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\cdot$$

[свернуть]
Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(2x_{1}-x_{2},\:3x_{1}+x_{3},\:2x_{2}-2x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (x_{1}+x_{3},\:x_{2}-x_{1},\:3x_{2}+x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу оператора $C = 2BA + 3A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $D = BA.$ По лемме матрица оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $D_{e} = B_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $F = 2D.$ По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = 2D_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = 2\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $G = 3A.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = 3A_{e}$, тогда имеем:$$G_{e} = 3\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right)\cdot$$

Тогда, по лемме матрица оператора $C$ определяется равенством: $C_{e} = F_{e} + G_{e},$ получим:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & -1 & -4 \\11 & 2 & 5 \\18 & 10 & -4\end{array}\right)\cdot$$

[свернуть]
Пусть заданы три линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\:2x_{1}-x_{2},\:3x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{2}-3x_{3},\:x_{1}+x_{3},\:2x_{1}-3x_{2}\right ),$$$$C\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1},\:x_{2}-4x_{3},\:2x_{1}+6x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу оператора $D = A^{2} — 5B + 6C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $F = A^{2}.$ Матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = A_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $G = -5B.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = -5B_{e}$, тогда имеем:$$G_{e} = -5\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right)\cdot$$

Найдем матрицу оператора $H = 6C.$ По лемме матрица оператора $H$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $H_{e} = 6C_{e}$, тогда имеем:$$H_{e} = 6\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)\cdot$$

Тогда, по лемме матрица оператора $D$ определяется равенством: $D_{e} = F_{e} + G_{e} + H_{e},$ получим:$$D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)=$$$$=\displaystyle\left(\begin{array}{rrr}31 & 8 & 15 \\-29 & 3 & -24 \\50 & 34 & 66\end{array}\right)\cdot$$

[свернуть]

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Тест на знание темы «Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами».

Смотрите также

Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, cтр. 194-196
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 384 стр. М.: Наука, 1984, стр. 189-190

Извлечение корней из комплексных чисел

Корень степени $n$ из комплексного числа

Определение Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда корнем степени $n$ из комплексного числа $z$ называется комплексное число $w$, для которого верно равенство $w^n=z.$

Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$

Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$ $$\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$ Воспользуемся формулой Муавра:$$ \rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $$\rho = \sqrt[n]{r}$$ $$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$$ Тогда: $$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$. Рассмотрим лемму.

Лемма. $w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$

$w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны $$\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$$ $$ 2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$$

$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$. В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$$ $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$$Общий вид корня степени $n$ $$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

Замечание. $\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.

Следствие. Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$-угольник.

Квадратный корень из комплексного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему

Теорема. Если $z = a + bi,\:\left(a^2+b^2\neq 0\right),$ то существует ровно 2 корня

$b = 0,\:a > 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{a}$
$b = 0,\: a < 0 \Rightarrow w = \pm i\sqrt{a}$
$b \neq 0 \Rightarrow w = \pm \left(\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2} + a} {2}}+i \, \mathop{\rm sign} \, b \sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Пусть $w=x+yi,$ где $x,\:y\in \mathbb{R}$ $$w^2=z \Rightarrow (x+yi)^2=a+bi$$ $$x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ Получили $$x^2-y^2=a$$ $$2xy=b$$ Если $b=0$, тогда или $x=0$, или $y=0$.

$b=0,\:y=0.$ Тогда получим $x^2=a \Rightarrow \: x\pm \sqrt{a}$
$b=0,\:x=0.$ Тогда получим $-y^2=a \Rightarrow a<0.$ Тогда $y^2=-a \Rightarrow y^2=ai^2\Rightarrow y=\pm\sqrt{a}i$
$b \neq 0,\: x \neq 0.$
Выразим $y$ из равенства $$y=\frac{b}{2x}$$Подставим значение $y$ в равенство, получим: $$x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a$$ Домножим обе части равенства на $4x^2$ $$4x^4-4x^2a-b^2=0$$

Воспользуемся формулой дискриминанта, тогда $$x_{1,2}^{2}=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2},\: x_{1,2}^{2}\in \mathbb{R}$$ $$x_{1}^{2}=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}>0$$ $$x_{2}^{2}=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}<0,$$так как $x_{2}^{2}\in \mathbb{R} \Rightarrow$ не имеет решений $$x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$$

Выразим $y^2$ из равенства $$y^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}-a= \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}$$ Тогда $$y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$$ Из равенства следует, что $\mathop{\rm sign}\,xy=\mathop{\rm sign}\,b.$ Значит, если $\mathop{\rm sign}\,b>0$ то $\mathop{\rm sign}\,x=\mathop{\rm sign}\,y,$ если же $\mathop{\rm sign}\,b<0$, то $\mathop{\rm sign}\,x=-\mathop{\rm sign}\,y.$ Откуда следует: $$w=\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\mathop{\rm sign}\,b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$$

Примеры решения задач

Найти общий вид корней третьей степени из $z=-\sqrt{3}+i$

Решение

Запишем $z$ в тригонометрической форме $$z=2\left ( \cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней третьей степени будут иметь вид:$$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[3]{z}=\frac{5 \pi }{18}+\frac{2 \pi k }{3},\:k=0,1,2$$ $$\left | \sqrt[3]{z} \right |=\sqrt[3]{2}$$Тогда общий вид корней будет таков $$w_k=\left \{ \sqrt[3]{2}\left ( \cos\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right )+i\sin\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2$$

[свернуть]
Найти значения квадратных корней из $z=3-4i$

Решение

$$w_{1,2}=\pm \sqrt[2]{z},\:w=x+iy$$ $$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $$y^2=\frac{1}{2}\left (-3+5 \right )=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}\left ( 3+5 \right )=4 $$ Откуда $$x=\pm 2,\:y=\pm 1$$ Значит $$w_{1,2}=\pm \left(2-i\right)$$

[свернуть]
Решите уравнение $z^2=2i$

Решение

$$z=\pm \sqrt{2i}$$Уравнение будет иметь два корня $w_{1,2}$. Найдем их
$$w_{1,2}=\pm z,\:w=x+iy$$ $$\left | z^2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $$y^2=\frac{1}{2}\left (0+2 \right )=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1 $$ Откуда $$x=\pm 1,\:y=\pm 1$$ Значит корни уравнения будут равны $$w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$$

[свернуть]
Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$?

Решение

Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме$$z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$$ $$\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$$ Тогда общий вид корней будет таков $$w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2,3$$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $$w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$

[свернуть]

Извлечение корней из комплексных чисел

Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»

Смотрите также

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида — это эффективный алгоритм для нахождения НОД. Для натуральных чисел, таких как $9$ и $6,$ достаточно было просто перебирать числа для нахождения НОД. Если же перебирать числа для более сложных примеров, как, например, $52152$ и $9875,$ то процесс нахождение НОД будет слишком долгим. Поэтому, вместо того чтобы перебирать числа, можно просто выполнить ряд простых действий.

Определение. Даны числа $A, B \in \mathbb{Z}^{+},$ где $A \geqslant B$ и $r_{k}, q_{k} \in \mathbb{Z}^{+},$ при $k = 1,2,3…n,$ где $r_k$ — остаток, а $q_{k}$ — частное. Находим ряд равенств: $$A = Bq_{1} + r_{1}$$ $$B = r_{1}q_{2}+r_2$$ $$r_{1} = r_{2}q_{3}+r_{3}$$ $$……$$ $$r_{n-1} = r_{n}q_{n+1}+0,$$ где $r_{n}$ и будет НОД целых чисел $A$ и $B$. Все ранее написанное и называется алгоритмом Евклида.

Другими словами, мы представляем деление $A$ на $B,$ как $A = Bq + r$ и пока остаток $r \neq 0$ мы делим делитель на остаток от деления. А так как остаток всегда меньше делителя двух целых чисел ($r_{1} < B$ или $r_{n} < r_{n-1}$), то рано или поздно остаток будет равен нулю. А НОД двух чисел будет последний делитель.

Выполним те же действия, но на этот раз запишем деление в столбик.

Спойлер

Евклид не открывал этот алгоритм. Этот алгоритм был придуман Аристотелем. Евклид лишь описал этот алгоритм в двух книгах «Начал», а конкретно в VII и X книгах. В первой он описал алгоритм как нахождение НОД двух натуральных чисел, а во второй как нахождение общей меры.

[свернуть]

НОД двух многочленов

Как и с большими целыми числами, алгоритм Евклида очень удобен для поиска НОД двух многочленов.

Теорема. Наибольший общий делитель двух многочленов существует.

Пусть даны два многочлена $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P[x],$ где $\deg \left(f\left(x\right)\right) \geqslant \deg \left(g\left(x\right)\right)$. Находим ряд равенств: $$f\left(x\right) = g\left(x\right)q_1\left(x\right)+r_1\left(x\right)$$ $$g\left(x\right) = r_{1}\left(x\right)q_{2}\left(x\right)+r_{2}\left(x\right)$$ $$r_{1}\left(x\right) = r_{2}\left(x\right)q_{3}\left(x\right)+r_{3}\left(x\right)$$ $$……$$ $$r_{n-1}\left(x\right) = r_{n}\left(x\right)q_{n+1}\left(x\right)+0,$$ где $r_{k}, q_{k} \in P[x]$ при $k = 1,2,3,…,n,$ где $r_{k}$ — остаток, а $q_{k}$ — частное. В случае с целыми числами, остатки в алгоритме убывают, при многочленах же убывают степени остатка ($\deg \left(r_{n}\left(x\right)\right) < \deg \left(r_{n-1}\left(x\right)\right) < \deg \left(r_{n-2}\left(x\right)\right) < …$), это означает, что наступит момент деления без остатка. Поэтому НОД двух многочленов, по алгоритму Евклида, будет последний отличный от нуля остаток(в нашем случае $r_{n}$).

В доказательстве мы явно описали принцип работы алгоритма Евклида для нахождения НОД двух многочленов над одним полем.

Запишем тот же алгоритм делением в столбик.

Примеры решения задач

Решим пару простых задач, где используется алгоритм Евклида. Рекомендую решить задания самостоятельно, а потом смотреть решение.

Найти НОД $784$ и $552$ используя алгоритм Евклида.

Решение

Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$784 = 552 \times 1 + 232$$ $$552 = 232 \times 2 + 88$$ $$232 = 88 \times 2 + 56$$ $$88 = 56 \times 1 + 32$$ $$56 = 32 \times 1 + 24$$ $$32 = 24 \times 1 + 8$$ $$24 = 8 \times 3 + 0,$$ где число $8$ — НОД $784$ и $552,$ так как это последний делитель.
Найти НОД $868$ и $923$ используя алгоритм Евклида.

Решение

Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$923 = 868 \times 1 + 55$$ $$868 = 55 \times 15 + 43$$ $$55 = 43 \times 1 + 12$$ $$43 = 12 \times 3 + 7$$ $$12 = 7 \times 1 + 5$$ $$12 = 7 \times 1 + 5$$ $$7 = 5 \times 1 + 2$$ $$5 = 2 \times 2 + 1$$ $$2 = 1 \times 2 + 0,$$ где число $1$ — НОД $868$ и $923,$ так как это последний делитель.
Найти НОД $52800$ и $54108$ используя алгоритм Евклида.

Решение

Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$54108 = 52800 \times 1 + 1308$$ $$52800 = 1308 \times 480 + 480$$ $$1308 = 480 \times 2 + 348$$ $$480 = 348 \times 1 + 132$$ $$348 = 132 \times 2 + 84$$ $$132 = 84 \times 1 + 48$$ $$84 = 48 \times 1 + 36$$ $$48 = 36 \times 1 + 12$$ $$36 = 12 \times 3 + 0,$$ где $12$ — НОД $52800$ и $54108$.
Найти НОД $x^5-10x^3-20x^2-15x-4$ и $x^4-6x^2-8x-3$ используя алгоритм Евклида.

Решение

Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$x^5-10x^3-20x^2-15x-4 = x\left(x^4-6x^2-8x-3\right) — 4x^3-12x^2-12x-4$$ $$x^4-6x^2-8x-3 = \left(- 4x^3-12x^2-12x-4\right)\left(- \frac{x}{4}\right) — 3x^3-9x^2x-9x-3$$ $$- 4x^3-12x^2-12x-4 =\left(-3x^3-9x^2x^2-9x-3\right)\left(-\frac{4}{3}\right) + 0,$$ где $3x^3-9x^2-9x-3$ — НОД многочленов $x^5-10x^3-20x^2-15x-4$ и $x^4-6x^2-8x-3,$ так как это последний делитель в алгоритме.

Проверка на освоение материала «Алгоритм Евклида».

Смотрите также

Конспект Г.С.Белозерова. Глава 3 — 15с. — С. 3-5.
Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 7-11.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. — Москва, 1952. — 181 с. — С. 8-12.

Сопряженные числа и их свойства

Определение Пусть дано комплексное число $z = a + bi$, число имеющее противоположный знак при мнимой части называется сопряженным числом с $z$ и обозначается $\overline{z}$. В общем случае, сопряженным к $z = a + bi$ (где $a,\:b\in \mathbb{R}$) является $\overline{z} = a-bi$

Геометрическая интерпретация

На комплексной плоскости сопряженные числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси.

В полярной системе координат сопряженные числа имеют следующий вид — $re^{i\phi }$ и $re^{-i\phi }$, следует из формулы Эйлера

Корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом является пара сопряженных чисел.

Перейдем к рассмотрению свойств комплексно сопряженных чисел

Свойства

$\overline{\overline{z}}=z$

Пусть $z = a + bi$. $$\overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi$$ $$\overline{\overline{z}} = \overline{a-bi} = a + bi =z$$
$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
$$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}=\overline{\left(a+c+ \left (b+d\right)i\right)}=a+c-\left( b+d\right)i$$ $$\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} = \overline{\left(a+bi\right)}+\overline{\left(c+di\right)} = a-bi+c-di = a+c-\left(b+d\right)i = \overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}$$
$\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} =\overline{z_{1}\cdot z_{2}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
$$\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)}\cdot \overline{\left(c+di\right)}=\left(a-bi\right)\left(c-di\right)=ac-bd-\left(bc+ad\right)i$$ $$\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}=\overline{\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i}=$$ $$=ac-bd-\left(bc+ad\right)i=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}$$
$\overline{\left(\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$ $$\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\overline{\left(\frac{a+bi}{c+di} \right )}=\overline{\left(\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di \right)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=\overline{\left(\frac{ac+bd+\left(bc-ad\right)i)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=$$ $$=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}$$ $$\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}=\frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}=\frac{a-bi}{c-di}=\frac{\left(a-bi \right)\left(c+di \right ) }{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}=\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}$$
$z=\overline{z}\Rightarrow z\in \mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z=\overline{z}\Rightarrow z-\overline{z}=0$$ $$\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=0$$ $$2bi=0\Rightarrow b=0\Rightarrow z\in \mathbb{R}$$
$z+\overline{z}\in \mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z+\overline{z}=\left(a+bi \right )+\left(a-bi \right )=2a$$ $$2a\in \mathbb{R}$$
$z-\overline{z}\in i\mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z-\overline{z}=\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=2bi\in i\mathbb{R}$$
$z\cdot \overline{z}\geqslant 0$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $$z\cdot \overline{z}=\left(a+bi \right )\left(a-bi \right )=a^{2}+abi-abi-bi^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant 0$$
$\displaystyle\overline{\sum_{i=1}^{k}z_{i}}=\sum_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

Докажем ММИ предполагая, что свойство 2 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k=m+1$ $$\overline{\sum_{i=1}^{m+1}z_{i}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m}\overline{z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$$
$\displaystyle\overline{\prod_{i=1}^{k}z_{i}}=\prod_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

Докажем ММИ предполагая, что свойство 3 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k = m + 1$ $$\overline{\prod_{i=1}^{m+1}z_{i}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m}\overline{z_{i}} + \overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$$

Примеры решения задач

Решить квадратное уравнение $2x^{2}-2x+5=0$

Решение

Воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения
$$D=b^{2}-4ac,\: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$D=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 2\cdot 5=-36<0$$ $$\sqrt{D}=\sqrt{-36}=i\sqrt{36}=6i$$ $$x_{1,2}=\frac{2\pm 6i}{4}$$ $$x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}i$$

[свернуть]
Вычислить: $$\frac{Re^{2}\left(z_{1}+\overline{z_{2}}\right)}{z_{1}z_{2}}_{,}$$ при $z_{1} = 2 + i,\:z_{2} = 4 — 2i$

Решение

Надо понимать, что $Re\,z$ — действительная часть комплексного числа
$$\overline{z_{2}}=4+2i$$ $$\frac{Re^{2}\left(z_{1}+\overline{z_{2}}\right)}{z_{1}z_{2}}=\frac{Re^{2}\left(2+i+4+2i\right)}{\left(2+i \right )\left(4-2i \right )}=$$ $$=\frac{Re^{2}\left(6+3i\right)}{8-2i^{2}+4i-4i}=\frac{36}{10}=3.6$$

[свернуть]
Найти число сопряженное данному $z=\left(5+7i\right)\left(7+5i\right)$

Решение

Вычислим $z,$ перемножив скобки $$z=35+35i^{2}+49i+25i=35-35+74i=74i$$
$$\overline{z}=\overline{74i}=-74i$$

[свернуть]
К какой координатной четверти принадлежит $\overline{z}$, если $z=2-3i?$

Решение

$$\overline{z}=\overline{\left(2-3i\right)}=2+3i$$ Значит координаты $\overline{z}$ на комплексной плоскости $\left(2;3\right).$ Это означает, что $\overline{z}$ принадлежит I координатной четверти

Либо можно рассуждать таким образом: Координаты $z$ на комплексной плоскости $\left(2;-3\right),\: z$ принадлежит IV координатной четверти. Как нам известно, сопряженные числа симметричны относительно действительной оси из этого следует, что $\overline{z}$ принадлежит I координатной четверти.

[свернуть]
Выписать действительную и мнимую части для сопряженного заданному комплексному числу $z_1=5+i$

Решение

$$z_1=5+i\Rightarrow \overline{z_1}=\overline{\left ( 5+i \right )}=5-i$$ Для комплексного числа $z=a+bi\::\:Re\,z=a,\:Im\,z=b$
Для $\overline{z_1}=5-i$ имеем $Re\,\overline{z_1}=5,\:Im\,\overline{z_1}=-1$

[свернуть]

Сопряженные числа

Тест на знание темы «Сопряженные числа»

Смотрите также

M2260. Наибольшее значение суммы

Задача из журнала «Квант» (2012 год, 4 выпуск)

Условие

Сто неотрицательных чисел $x_{1},x_{2},\ldots,x_{100}$ расставлены по кругу так, что сумма любых трех подряд идущих чисел не превосходит $1$ (т. е. $x_{1}+x_{2}+x_{3}\leqslant 1,x_{2}+x_{3}+x_{4}\leqslant 1,\ldots,x_{100}+x_{1}+x_{2}\leqslant 1$). Найдите наибольшее значение суммы $$S=x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{5}+x_{4}x_{6}+\ldots+x_{99}x_{1}+x_{100}x_{2}.$$

Ответ:$\frac{25}{2}.$

Решение

Положим $x_{2i}=0$, $x_{2i-1}=\frac{1}{2}$ для всех $i=1,\ldots,50.$ Тогда $S=50\cdot\left(\frac{1}{2}\right )^{2}=\frac{25}{2}$. Итак, остается доказать, что $S\leqslant\frac{25}{2}$ для всех значений $x_{i},$ удовлетворяющих условию.

При любом $i$ от $1$ до $50$ имеем $x_{2i-1}\leqslant 1-x_{2i}-x_{2i+1}$,$x_{2i+2}\leqslant 1-x_{2i}-x_{2i+1}.$ По неравенству о средних,
\begin{multline*}
x_{2i-1}x_{2i+1}+x_{2i}x_{2i+2}\leqslant \\ \leqslant\left(1-x_{2i}-x_{2i+1}\right)x_{2i+1}+x_{2i}\left(1-x_{2i}-x_{2i+1}\right )=\\ =\left ( x_{2i}+x_{2i+1} \right )\left(1-x_{2i}-x_{2i+1}\right)\leqslant \\ \leqslant\left ( \frac{\left ( x_{2i}+x_{2i+1} \right )+\left( 1-x_{2i}-x_{2i+1} \right)}{2}\right )^{2}=\frac{1}{4}.\end{multline*}
Складывая получившиеся неравенства для $i=1,2,\ldots,50$, приходим к нужному неравенству $$\sum\limits_{i=1}^{50}\left(x_{2i-1}x_{2i+1}+x_{2i}x_{2i+2}\right)\leqslant 50\cdot\frac{1}{4}=\frac{25}{2}.$$

Замечание. Предложенное решение показывает, что верен следующий несколько более общий факт. Пусть $2n$ неотрицательных чисел $x_{1},\ldots,x_{2n}$ записаны в ряд, и пусть $x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2}\leqslant 1$ для всех $i=1,2,\ldots,2n-2.$ Тогда $$\sum\limits_{i=1}^{2n-2}x_{i}x_{i+2}\leqslant\frac{n-1}{4}.$$Исходное неравенство получается как частный случай для ряда из чисел $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{100},x_{1},x_{2}.$

И. Богданов

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Подсказка

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Корень степени $n$ из комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Примеры решения задач

Извлечение корней из комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Смотрите также

НОД двух многочленов

Примеры решения задач

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Смотрите также

Геометрическая интерпретация

Свойства

Примеры решения задач

Сопряженные числа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Условие

Решение