Если функция [latex]y=f(x)[/latex] определена в некоторой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]x_{0}[/latex], а приращение [latex]\Delta y[/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex] представимо в виде:
$$\Delta y = A\Delta x + \Delta x \varepsilon (\Delta x),$$ где [latex]A=A(x_{0})[/latex] не зависит от [latex]\Delta x[/latex], а [latex]\varepsilon(x) \rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x \rightarrow 0[/latex], то функция [latex]f[/latex] называется дифференцируемой в точке [latex]x_{0}[/latex], а произведение [latex]A\Delta x[/latex] называется её дифференциалом в точке [latex]x_{0}[/latex] и обозначается [latex]df(x_{0})[/latex] или $dy.$

Таким образом, [latex]\Delta y=dy+o(\Delta x)[/latex], при [latex]\Delta x \rightarrow 0[/latex], где [latex]dy=A\Delta x[/latex].

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Спасибо за участие!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   Дана функция [latex]y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x[/latex].
   При каких значениях [latex]x[/latex] производная [latex]{y}'(x)=0[/latex]?

   • -1;0;
   • -2:1;
   • -3;4;
   • -1;0;
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   $${y}’=x^{2}+x-2$$.
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

   Элементы сортировки

   • Дифференцируема всюду
   • Недифференцируема при $x=\frac{2k-1}{2}\pi$, $k$ - целое
   • Недифференцируема при $x=1$
   • Недифференцируема при $x=k\pi$, $k$ - целое

   • $y=\left | (x-1) (x-2)^{2}(x-3)^{3}\right |$

   • $y=\left | \cos x \right |$

   • $y=\left | \pi^{2}-x^{2} \right | \sin ^{2}x$

   • $y=\arcsin(\cos x)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   В каком случае формулировка теоремы написана правильно ?

   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)-\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}+x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5
   Рубрика: Математический анализ

   Выяснить, будет ли функция [latex]f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}[/latex] дифференцируема в точке [latex](0,0)[/latex]?

   • Нет
   • Да
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   При каком условии функция [latex]f(x)=x^{n}\sin \frac{1}{x}, (x\neq 0)[/latex] и [latex]f(0)=0[/latex]:

   Элементы сортировки

   • $n>0$
   • $n>1$
   • $n>2$

   • а) непрерывна при $x=0$

   • б) дифференцируема при $x=0$

   • в) имеет непрерывную производную при $x=0$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество [latex]K \subset \mathbb{R}^n[/latex] являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы [latex]K[/latex] было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть [latex]K[/latex] замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент [latex]I \subset \mathbb{R}^n[/latex], содержащий [latex]K[/latex]. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент [latex]I[/latex] компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество [latex]K[/latex]. Необходимость. Пусть [latex]K[/latex] —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через [latex]B_s[/latex] открытый шар с центром в точке [latex]0[/latex] радиуса [latex]s[/latex]. Тогда последовательность шаров[latex]\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1}[/latex] покрывает все пространство [latex]\mathbb{R}^n[/latex], а следовательно, и множество [latex]K[/latex]. Так как [latex]K[/latex] компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров [latex]B_s[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар [latex]B^{\ast}[/latex]. Тогда ясно, что [latex]K \subset B^{\ast}[/latex], так что [latex]K[/latex] ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества [latex]K[/latex]. Для этого достаточно показать, что любая точка [latex]y \notin K[/latex], не будет предельной для [latex]K[/latex]. Итак, пусть [latex]y \notin K[/latex]. Рассмотрим множества [latex]G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,…)[/latex]. Так как замкнутый шар [latex]\overline{B}(y, \frac{1}{k})[/latex] – множество замкнутое, следовательно его дополнение [latex]G_k[/latex] открыто. Кроме того, ясно, что[latex] \bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}[/latex]. Поскольку [latex]y \notin K[/latex], то совокупность множеств [latex]G_k (k = 1,2,…)[/latex] образует открытое покрытие множества [latex]K[/latex]. Пользуясь компактностью [latex]K[/latex], выберем из этого покрытия конечное подпокрытие [latex]\left\{G_{k_1},…,G_{k_s}\right\}[/latex] и положим [latex]\rho = \frac{1}{max\left\{k_1,…,k_s\right\}} > 0[/latex]. Отсюда следует, что шар [latex]B(y,\rho)[/latex] не имеет общих точек с множеством [latex]K[/latex]. Получаем, что точка [latex]y[/latex] не будет предельной для [latex]K[/latex]. [latex]\square[/latex]

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.235)
• Портнов И.В. Понятие и критерии компактности.