2.5 Критерий Коши

Если для исследования сходимости последовательности применять определение предела, то мы заранее должны знать, является ли данная последовательность сходящейся и значение ее предела. Используя определение предела, мы можем лишь доказывать выдвинутую гипотезу. Однако в ряде случаев по самому виду последовательности трудно определить, является ли она сходящейся или расходящейся. Например, $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . В связи с этим возникает необходимость найти внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не
зависящее от числа $a$ – предела последовательности. Мы докажем, что таким свойством является фундаментальность.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для всех номеров $n \geqslant N$, $m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < \varepsilon$.

Существенное отличие определения фундаментальности от определения предела состоит в том, что в определении предела мы должны знать значение предела, а в определении фундаментальности это не требуется. Смысл определения предела состоит в том, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от значения предела, т. е. $|x_n — a| < \varepsilon$ при $n \geqslant N = N(\varepsilon)$. В определении фундаментальности требуется чтобы все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличались друг от друга $\Big(|x_n — x_m| < \varepsilon$, $n, m \geqslant N = N(\varepsilon)\Big).$

Равносильность сходимости последовательности и ее фундаментальности устанавливает следующая теорема.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость доказывается совсем просто. В самом деле, нужно показать, что из сходимости следует фундаментальность. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$. Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем номер $N$, такой, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Если $n, m \geqslant N$, то получим $$|x_n — x_m| \leqslant |x_n — a| + |x_m — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$ а это и означает, что $\{x_n\}$ – фундаментальна.

Достаточность. Нужно показать, что из фундаментальности последовательности следует ее сходимость. Сначала мы покажем, что из фундаментальности следует ограниченность. Затем, используя лемму Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность и, наконец, снова используя фундаментальность, покажем, что и вся последовательность сходится к тому же пределу, что и выделенная подпоследовательность.

Итак, пусть $\{x_n\}$ – фундаментальная последовательность. Докажем ее ограниченность. Зададим $\varepsilon = 1$ и, пользуясь фундаментальностью, найдем номер $N_1$, такой, что для любых $n, m \geqslant N_1$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < 1$. Зафиксируем $m = N_1$. Тогда получим, что для всех $n \geqslant N_1$ имеет место неравенство $|x_n — x_m| < 1$, т. е. ${x_N}_1 — 1 < x_n < {x_N}_1 + 1$. Отсюда следует, что $|x_n| \leqslant |{x_N}_1| + 1$ для всех $n \geqslant N_1$. Во множестве $E = \{|{x_N}_1| + 1, |x_1| , \ldots , |{x_N}_1 − 1|\}$, состоящего из конечного числа элементов, выберем наибольший $A = \max\{|{x_N}_1| + 1, |x_1| ,\ldots, |{x_N}_1 − 1|\}$. Тогда получим, что $|x_n| \leqslant A$ для всех $n = 1, 2,\ldots$, а это и означает, что $\{x_n\}$ – ограниченная последовательность.

Применяя теперь к ограниченной последовательности $\{x_n\}$ лемму Больцано – Вейерштрасса, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность ${\{{x_n}_k\}}^\infty_{k = 1}$ и обозначим через a предел этой подпоследовательности. Покажем, что вся последовательность $\{x_n\}$ также сходится к числу a, т. е. что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь фундаментальностью последовательности $\{x_n\}$, найдем такой номер $N$, что для всех номеров $n, m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − x_m| < \frac{\varepsilon}{2}$. Далее, пользуясь тем, что $\lim\limits_{k\to \infty}{x_n}_k = a$, для заданного $\varepsilon$ найдем номер $k$, такой, что $n_k \geqslant N$ (это возможно, поскольку $n_k \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow \infty$) и $|{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Положим $m = n_k$. Тогда получим, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − {x_n}_k| < \frac{\varepsilon}{2}$. Отсюда следует, что для $n \geqslant N$ $$|x_n — a| \leqslant |x_n — {x_n}_k| + |{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Итак, для заданного $\varepsilon > 0$ мы нашли номер $N$, начиная с которого справедливо неравенство $|x_n — a| < \varepsilon$. Поскольку выбранное $\varepsilon > 0$ произвольно, то по определению предела последовательности получаем, что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Определение фундаментальности последовательности можно сформулировать в такой эквивалентной форме.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для любого $n \geqslant N$ и для любого $p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} — x_n| < \varepsilon$.

Пользуясь этим определением, скажем, что последовательность $\{x_n\}$ не является фундаментальной, если найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $N$ существуют такой номер $n \geqslant N$ и такое натуральное число $p$, что $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$.

Пример 1. Рассмотрим последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $x_{n + p} − x_n = \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p} \geqslant \frac{1}{n + p} + \ldots + \frac{1}{n + p} = \frac{p}{n + p}$. Если $n$ зафиксировано, то для $p = n$ получаем $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \frac{1}{2}$. Выберем $\varepsilon_0 = \frac{1}{2} > 0$. Тогда для любого номера $N$ положим $n = N$, $p = n$ и будем иметь $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$. Это означает, что данная последовательность не является фундаментальной и, следовательно, в силу критерия Коши, она расходится.

Пример 2. Покажем, что последовательность $x_n = \frac{\sin 1}{1^2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \ldots + \frac{\sin n}{n^2}$ фундаментальна, а значит, сходящаяся. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $$|x_{n + p} − x_n| \leqslant \frac{1}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{1}{n(n + 1)} + \ldots + \frac{1}{(n + p — 1)(n + p)} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p — 1} — \frac{1}{n + p} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + p} \leqslant \frac{1}{n} < \varepsilon,$$ если только $n \geqslant N = [\frac{1}{\varepsilon}] + 1$. Этим самым доказано, что данная последовательность фундаментальна.

Пример 3. Доказать, что последовательность $x_n = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2},$ где $|a_n| \leqslant 2$ для всех $n$ натуральных, сходится, с помощью критерия Коши.

Решение

Для натуральных $n$ и $p$ $$|x_{n + p} — x_n| = \frac{|a_{n + 1}|}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{|a_{n + p}|}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{2}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)n} + \ldots + \frac{2}{(n + p)(n + p — 1)} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + 1} + \ldots + \frac{2}{n + p — 1} — \frac{2}{n + p} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + p} \leqslant \frac{2}{n} < \varepsilon$$ если только $n \geqslant N = [\frac{2}{\varepsilon}] + 1$. таким образом доказано, что последовательность фундаментальна, а следовательно она сходится.

Упражнение. Покажите, что условие $\lim\limits_{n \to \infty}(x_{n+p} — x_n) = 0$, справедливое при любом натуральном $p$, не влечет фундаментальность последовательности $\{x_n\}$

Литература

Критерий Коши

Тест по теме: «Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.»


Таблица лучших: Критерий Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Пусть f(x) не изменяет знак на полуинтервале \left[ a ,b \right) и для любого \xi из данного полуинтервала f(x) интегрируема по Риману на отрезке\left[ a ,\xi \right]. Тогда для сходимости несобственного интеграла \int _{a}^{b}{f(x)dx} необходимо и достаточно, чтобы функция \Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx } была ограничена на \left[ a ,b \right).

Спойлер

firsttopic

\Phi(t) — площадь заштрихованной фигуры.

[свернуть]

Доказательство

Докажем вначале теорему для f(x) неотрицательной. Покажем, что функция \Phi (\xi ) возрастает. Действительно, для любых {\xi}_{1}, {\xi}_{2} из \left[ a ,b \right), {\xi}_{1}<{\xi}_{2}
$$ \Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$$ так как f(x) неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } сходится тогда, когда существует конечный предел $$ \underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции \Phi (\xi ).

В случае если f(x) — неположительная, то рассмотрим функцию g(x) = -f(x) — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Спойлер

Изучим на сходимость следующий интеграл: \overset { 0 } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } .
Особая точка — x_0 = 0. Функция \Phi (\xi)=\int_{-1}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{-x}}} должна быть ограничена сверху. Найдем неопределенный интеграл
$$ \int \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-x} + С .$$
Из этого следует, что
$$ \overset { \xi } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-\xi} + 2 = 2(\sqrt{-\xi} + 1) .$$
Так как \xi \in \left [-1;0\right ], то функция \Phi (\xi) ограничена сверху числом 4, а значит интеграл сходится.

[свернуть]

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция f_n(x), определенная на множестве E, то говорят, что на множестве E задана функциональная последовательность \left \{f_n (x)\right \}. Множество E называется областью определения последовательности \left \{f_n (x)\right \}.

Если для некоторого x_0 \in E числовая последовательность \left \{f_n (x_0) \right \} сходится, то говорят, что последовательность функций \left \{f_n (x) \right \} сходится в точке x_0. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке x \in E, называют сходящейся на множестве E.

Если \underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x) для всех x \in E, то говорят, что последовательность \left \{f_n (x) \right \} на множестве E сходится к функции f(x). Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций \left \{ f_n(x) \right \} и предельная функция f(x). Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве E к функции f(x) если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность \left \{ f_n(x) \right \} называется равномерно сходящейся на E, если существует функция f(x), к которой она равномерно сходится.

Спойлер

Рассмотрим последовательность \left \{f_n(x) \right \}, f_n(x) = \frac{1}{n}x^n на отрезке \left [ 0;1 \right ]. Она равномерно сходится на этом отрезке.

thirdtopic

Действительно, так как 0 < \frac{1}{n}x^n < \frac{1}{n} и \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{1}{n} = 0, то для любой точности \varepsilon > 0 мы можем выбрать номер  n_\varepsilon = \left \lceil \frac{1}{\varepsilon } \right \rceil + 1, начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше \varepsilon, \left | f_n(x) \right | < \varepsilon. Значит последовательность сходится равномерно к нулю на \left [ 0;1 \right ].

[свернуть]

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция u_n(x), определенная на множестве E. Формально говоря нам дана функциональная последовательность \left \{ u_n(x) \right \}.

Выражение вида u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x) называется функциональным рядом. Если для некоторого x_0 \in E числовой ряд \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0) сходится, то говорят, что функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) сходится в точке x_0. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке x \in E, называют сходящимся на множестве E.

Сумма n первых членов ряда S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x) называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность \left \{ S_n(x) \right \}.

Спойлер

Изучим сходимость ряда
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots,$$
Где x — действительное число. Этот ряд сходится при всех x. При x \neq 0 мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = \frac{1}{1+x^2},  0 < q < 1. Таким образом:
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots = \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 .$$
При x = 0 каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.

[свернуть]

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x), члены которого являются функциями, определенными на множестве E. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве E, если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве E. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция S(x), что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим S_n(x)-S(x)=r_n(x)n-ый остаток ряда, получаем r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x). Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое \varepsilon не взяли, начиная с некоторого номера n, n-ый остаток ряда будет меньше этого \varepsilon.

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x) равномерно сходится на множестве E, то последовательность его членов \left \{ u_n(x) \right \} равномерно стремится к нулю на множестве E.

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как S_n(x), а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как S(x). Согласно определению равномерной сходимости ряда
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$$
поэтому для \forall n \ge n_\varepsilon справедливо также неравенство
$$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности \left \{ u_n(x) \right \}.

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий дифференцируемости функции

Определение

Функция f(x)=f(x_{1},...,x_{n}) называется дифференцируемой в точке x^{0}=(x^{0}_{1},...,x^{0}_{n}), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A_{1},...,A_{n}, что при x\rightarrow x^{0} выполняется равенство: $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})).  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой \delta -окрестности U=U({M}',\delta ) точки {M}'=({x}',{y}') и пусть M=(x,y)\in U({M}';\delta ), \Delta x=x-{x}', \Delta y=y-{y}'. Тогда, \rho =\rho(M,{M}')=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta .

Пусть, наконец, \Delta z=f({x}'+\Delta x,{y}'+\Delta y)-f({x}',{y}').

Обычно \Delta z называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

CircleUTF8NextVersionA

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Функция f(x) дифференцируема в точке x^{0} тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки x^{0} функция f(x) может быть представлена в виде: $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),(2)$$

где функции f_{i}(x) непрерывны в точке x^{0}.

Доказательство

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x^{0}. Тогда выполняется условие (1). Заметим, что равенство \psi (x)=o(\rho(x,x^{0})) при x\rightarrow x^{0} означает, что \psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0}), где \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0.

Тогда $$\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$$ где \varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}, \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0, так как 0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1.

Доопределим функции \varepsilon _{i}(x) в точке x^{0} по непрерывности, полагая что \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0.

Тогда из (1) и (3) получаем $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x).

Так как функции \varepsilon _{i}(x) непрерывны в точке x^{0}, то и функции f_{i}(x) непрерывны в этой точке и f_{i}(x^{0})=A_{i}, i=\overline{1,n}.

Пусть выполнено (2). Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции f_{i}(x) в точке x^{0}, положим A_{i}=f_{i}(x^{0}), f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x), \lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0.

Получаем $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$$ так как при x\rightarrow x^{0}: $$\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$$ \square

Литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы B, имеющие вид
$$\Delta_{m}=\begin{vmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&…&b_{1,m}\\b_{2,1}&b_{2,2}&…&b_{2,m}\\…&…&…&…\\b_{m,1}&b_{m,2}&…&b_{m,m}\end{vmatrix},m=1,…,n\left(b_{ij}=b_{ji}, \forall i,j\right)$$
— положительны.

Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

Лемма

Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определённой, когда она приводится к диагональному виду \sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{2}}, a_{i}>0, i=1,...,n , а значит, и к каноническому виду Q\left(y \right)=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}}, где y_{i}=\sqrt{a_{i}}x_{i}, i=1,...,n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для n>1 из положительности угловых миноров матрицы квадратичной формы n-1 порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от n-1 переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} к виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}.

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от n переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1}, x_{n}, выделим слагаемые, содержащие x_{n}:

Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}.

Сумма \sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} \right) в правой части этого равенства является квадратичной формой Q^{*}\left(x \right), зависящей от n-1 переменной, причём её угловые миноры совпадают с угловыми минорами Q\left(x \right) её матрицы до порядка n-1 включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,...,n-1,

приводящая её к каноническому виду: Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}.
Запишем квадратичную форму Q\left(x \right) в новых переменных:

Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}

и выделим полные квадраты по y_{1}, ... y_{n-1}:

Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{'}y_{i}x_{n}+b_{in}^{'2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{''}x_{n}^{2},

где b_{nn}^{''}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}}, z_{i}=y_{i}+b_{in}^{'}x_{n}, i=1,...,n-1.

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ ...\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0  &...  &0  &b'_{1,n} \\  0& 1 & ... & 0 & b'_{2,n}\\  ...&  ...& ... &...  &... \\ 0 & 0 & ... &  1& b'_{n-1,n}\\  0& 0 & ... & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix},

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является угловым минором порядка n. Но из выражения для Q \left(x \right) в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы Q \left(x \right) равен b''_{nn}. Поэтому b''_{nn}>0 и можно ввести переменную z_{n}=\sqrt{b''_{nn}}x_{n}, в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}.

Отсюда следует, что квадратичная форма Q\left(x \right) положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность угловых миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для n>1 и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её угловые миноры, совпадающие с угловыми минорами матрицы B до порядка n>1, положительны. А определитель самой матрицы B, который является угловым минором порядка n,положителен, поскольку Q\left(x \right) приводится к каноническому виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}, и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B.

Необходимость доказана.

Теорема доказана.

Следствие

Для того, чтобы квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса.

Примеры

При решении воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}.

Пример 2

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2},x_{3} \right)=-4x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}

[spoilergroup]

Пример 1

Построим матрицу квадратичной формы:

\begin{pmatrix}1 &-0,5\\ -0,5&2 \end{pmatrix}

Посчитаем определители угловых миноров.

\Delta _{1}=1, \Delta _{2}=1,75

Квадратичная форма положительно определённая по критерию Сильвестра.

[свернуть]

Пример 2

Построим матрицу квадратичной формы:

\begin{pmatrix}-4 &0  &0\\  0&  -2&0 \\ 0 &  0&-1 \end{pmatrix}

Посчитаем определители угловых миноров.

\Delta _{1}=-4, \Delta _{2}=8, \Delta _{3}=-8

Квадратичная форма отрицательно определённая по следствию из критерия Сильвестра.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на умение применить критерий Сильвестра

Тест на умение применить критерий Сильвестра для определения вида квадратичных форм.