Теорема
Пусть функции [latex]{ \varphi }_{ i }(x)={ \varphi }_{ i }({ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },…,{ x }_{ n })\quad i=\overline { 1,m }[/latex] дифференцируемы в точке [latex]{ x }^{ \circ }=({ x }_{ 1 }^{ \circ },{ x }_{ 2 }^{ \circ },…,{ x }_{ n }^{ \circ })[/latex] . Пусть функция [latex]f({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },{ y }_{ 3 },…{ ,y }_{ m })[/latex] дифференцируема в точке [latex]{ y }^{ \circ }=({ \varphi }_{ 1 }({ x }^{ \circ }),{ \varphi }_{ 2 }({ x }^{ \circ }),…,{ \varphi }_{ m }({ x }^{ \circ }))[/latex].
Тогда сложная функция [latex]T(x)=f({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),…,{ \varphi }_{ m }(x))[/latex] дифференцируема в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] , причем при [latex]{ x\rightarrow x }^{ \circ }[/latex]
$$
T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ })+o(p(x,{ x }^{ \circ }))}
$$
$$
{A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n } \quad \quad \quad \quad (1)
$$
Функция [latex]f(y)[/latex] дифференцируема в точке [latex]{ y }^{ \circ }[/latex], а значит, по теореме о существовании частных производных найдутся функции [latex]{ { f }_{ j }( }y), j=\overline { 1,m }[/latex] непрерывные в точке [latex]{ y }^{ \circ }[/latex] и такие, что $$f(y)-f({ y }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { f }_{ j }(y)({ y }_{ j }-{ y }_{ j }^{ \circ }), } \quad \quad { f }_{ j }({ y }^{ \circ })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ }) \quad \quad\quad \quad(2)$$Раз функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Используя это и теорему о непрерывности сложной функции, получим что функции: $${ \psi }_{ j }(x)={ f }_{ j }({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),…{ \varphi }_{ m }(x)),\quad \quad j=\overline { 1,m }\quad \quad\quad \quad(3) $$
непрерывны в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] (т.к функции [latex]{\varphi}_{ i }(x)[/latex] непрерывны, и по теореме указанной выше, их композиция также даст непрерывную функцию) , при этом
$$
{ \psi }_{ j }({ x }^{ \circ })={ f }_{ j }({ y }^{ \circ })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ })\quad \quad\quad \quad(4)
$$
Подставив в [latex](2)[/latex] [latex]{ y }_{ 1 }={ \varphi }_{ 1 }(x),…,{ y }_{ m }={ \varphi }_{ m }(x)[/latex] и воспользовавшись [latex](3)[/latex] получим:
$$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \psi }_{ j }(x)({ \varphi }_{ j }(x)- } ({ \varphi }_{ j }({ x }^{ \circ }))\quad \quad\quad \quad(5)$$
Но функции [latex]{ \varphi }_{ j }(x)[/latex] дифференцируемы в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] (по условию), поэтому найдутся такие непрерывные в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] функции [latex]{ \varphi }_{ ij }(x)[/latex], что $${ \varphi }_{ j }(x)-{ \varphi }_{ j }({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \varphi }_{ ij }(x) } ({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ }),\quad \quad { \varphi }_{ ij }({ x }^{ \circ })=\frac { \partial { \varphi }_{ j } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })\quad \quad\quad \quad(6)$$
$${ i=\overline { 1,n } }\quad { j=\overline { 1,m } }$$
Подставляя выражения [latex](6)[/latex] и [latex](5)[/latex] получаем
$$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { T }_{ i }(x)({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ }) } \quad \quad { T }_{ i }(x)=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi }_{ ij } } (x){ \psi }_{ j }(x)\quad \quad\quad \quad(7)$$
Так как функции [latex]{ \psi }_{ j }(x)[/latex] и [latex]{ \varphi }_{ ij }(x)[/latex] непрерывны в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex], то и [latex]{ T }_{ i }(x)[/latex] непрерывны в этой точке (как композиции непрерывных). А это означает, что сложная функция [latex]{ T }(x)[/latex] дифференцируема в [latex]{ x }^{ \circ }[/latex].
Дифференцируемая функция [latex]{ T }(x)[/latex] может быть записан в виде [latex](1)[/latex] с коэффициентами [latex]{ A }_{ i }[/latex], равными в силу [latex](6)[/latex] и [latex](4)[/latex]
$${ A }_{ i }={ T }_{ i }({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi }_{ ij } } ({ x }^{ \circ }){ \psi }_{ j }({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ d{ y }_{ j } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ j } }{ d{ x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } } ({ x }^{ \circ })$$
- Формула ${ A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum\limits _{ j=1 }\limits^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n }$ дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.
Ее можно представить как композицию функций: $z(u,v)=u+v\quad u(x,y)=\sin x \quad v(x,y)=\tan (x^ 2+y^ 2)$
Тогда дифференциал функции $f$ имеет вид:
$$
df=\frac { dz }{ dx } +\frac { dz }{ dy } =\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dx } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dx } +\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dy } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dy }
$$
Вычислим частные производные:
$$
\frac { dz }{ du } =1; \quad \frac { du }{ dx } =-\cos x;
$$
$$
\frac { dz }{ dv } =1; \quad \frac { dv }{ dx } =\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } ;
$$
$$
\frac { du }{ dy } = 0; \quad \frac { dv }{ dy } =\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } +y };
$$
Получаем, что:
$$
df=-\cos x +\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } +\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } + y^{ 2 }) }.
$$
Использованная литература
Дополнительная литература
- Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, 1964г. стр.386-390;
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, 1988-1989г., стр. 253-256;
Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций
Тест, на понимание темы «Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций»
Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
