Изоморфизм линейных пространств

Пусть заданы два линейных пространства над полем [latex]\mathbb{P}[/latex]: [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. Тогда изоморфизмом f (обозначается как [latex]A \cong B[/latex]) называется биекция из [latex]A[/latex] в [latex]B[/latex], удовлетворяющая следующим условиям:
1) [latex]f(a+b) = f(a) + f(b)[/latex]
2) [latex]f(\lambda\cdot a) = \lambda\cdot f(a) [/latex]

Изоморфными пространствами называются такие линейные пространства, между которыми можно установить изоморфизм.

Свойства изоморфизма:
1) [latex]f(0) = 0[/latex]
2)[latex]f(-a) = -f(a)[/latex]
3) [latex]f(\sum_{j=1}^{k}a_j a_j) = \sum_{j=1}^{k}a_j f(a_j)[/latex]
4) При изоморфном отображении линейно независимая система не может стать линейно зависимой. Обратное также верно.
5) Базис [latex]A[/latex] отображается в базис [latex]B[/latex].
6) Прямая сумма подпространств в [latex]A[/latex] отображается в прямую сумму образов этих подпространств в [latex]B[/latex].

 

По сути, изоморфизм является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом.

 

Теорема. Любые два конечномерные линейные пространства, имеющие одинаковую размерность и заданные над одним и тем же полем, изоморфны.

Зададим два линейных пространства [latex]X[/latex] и [latex]Y[/latex] над полем P, [latex]\textrm{dim} X = \textrm{dim} Y[/latex]. Пусть базис [latex]X[/latex] — [latex]e_1,e_2,\dots ,e_n [/latex]; Y — [latex]e’_1,e’_2,\dots , e’_n[/latex]. Возьмём в пространстве [latex]X[/latex] векторы $$x_{1} = \alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\dots+\alpha_n e_n$$ и $$x_2 = \beta_1 e_1+\beta e_2+\dots+\beta e_n $$Тогда при изоморфизме [latex]X \cong Y[/latex]
$$
f(x_1+x_2)=f((\alpha_1 + \beta_1)e_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e_n) = \\
= (\alpha_1 + \beta_1)e’_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e’_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e’_n = \\
=(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n ) + (\beta_1 e’_1 + \beta_2 e’_2 + \dots + \beta_n e’_n) = f(x_1) + f(x_2).
$$
(первое условие изоморфизма) и
$$
f(\lambda x) = f((\lambda \alpha_1)e_1 + (\lambda \alpha_2)e_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e_n) = \\
= (\lambda \alpha_1)e’_1 + (\lambda \alpha_2)e’_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e’_n = \\
= \lambda(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n) = \lambda f(x)
$$
(второе условие).

Следствие. Все линейные пространства над одним и тем же полем [latex]\mathbb{P}[/latex] одинаковой размерности [latex]n[/latex] изоморфны [latex]n[/latex]-мерному арифметическому линейному пространству [latex]\mathbb{R}^n[/latex] над полем [latex]\mathbb{P}[/latex].

Примеры

1. Привести пример отображения из [latex]\mathbb{R}[/latex] в [latex]\mathbb{\mathbb{N}_0}[/latex], которое является изоморфизмом.
Решение

Пусть [latex]x’ = 2x[/latex]. Тогда [latex]f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)[/latex] и [latex]f(\lambda a) = 2(\lambda a) = \lambda 2a = \lambda \cdot f(a)[/latex]. Значит, это отображение является изоморфизмом.

[свернуть]
2. Доказать первое свойство ([latex]f(0) = 0[/latex]).
Решение

[latex]f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0)[/latex], значит [latex]f(0) = 0[/latex].

[свернуть]

 

Смотрите также

Тест

Изоморфизм линейных пространств

Тест на знание изоморфизма линейных пространств.

Композиция биективных отображений

Определение 1

Отображение $\large f:X \to Y$ называется биекцией и обозначается $\large f:X \leftrightarrow Y$, если оно:

  1.  Переводит элементы множества $X$ в разные элементы множества $Y$ (т.е. выполняется взаимно однозначное отображение — инъекция):
    • $\forall x_{1} \in X$, $\forall x_{2} \in X$, $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.
  2. Любой элемент из $Y$ имеет свой прообраз (т.е. выполняется сюръекция):
    • $\forall y \in Y$, $ \exists $ $x \in X$, $f(x)=y$.

Пример:

  • Изобразим биективное отображение $\large f$, где $f:A \to B$:

    Graphic2
  • Для композиции $g \circ f $, где $f:A \to B,\quad g:B \to C$, рисунок будет выглядеть так:

    Graphic3

Определение 2

Единичным отображением $e_{X}:X \to X$ называется отображение, переводящие каждый элемент $x \in X$ в себя.

Теорема

Пусть $f: X \to Y$, $h: Y \to Z$ — биективные отображения. Тогда биективна и их композиция $ h \circ f$, причем:

$$ (h \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ h^{-1}$$
Доказательство:
Биективность $f$ влечёт существование и биективность $f^{-1}$.
Из условия существования обратного отображения для биективных отображений следует:
$$ \left.\begin{aligned} f\circ f^{-1}=e_{Y} \\ f^{-1}\circ f=e_{X}\end{aligned}\right\}
\Rightarrow {(f^{-1})}^{-1}=f$$
Далее существуют отображения:
$f^{-1}: Y\to X \quad h^{-1}: Z \to Y $
$f^{-1}\circ h^{-1}:Z\to X$
Из равенств
$(h\circ f)(f^{-1}\circ h^{-1})=\big( (h\circ f)\circ f^{-1}\big)\circ h^{-1}=\big(h \circ (f\circ f^{-1})\big) \circ h^{-1}=$
$$=h \circ h^{-1}=e_{Z}$$
$(f^{-1} \circ h^{-1})\circ(h \circ f)= f^{-1}\circ \big(h^{-1} \circ (h \circ f) \big)=f^{-1}\circ \big((h^{-1}\circ h) \circ f\big)=$
$$=f^{-1} \circ f=e_{X}$$
вытекает, что $f^{-1}\circ h^{-1}$ — обратное отображение к $h \circ f$.

$\blacksquare$

Список литературы:

  1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. стр. 37-38 стр.
  2. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1 — М.: «Мир», 1977. — 40 стр.
  3. Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 стр.

Тест на тему: «Композиция биективных отображений»