Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.232)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 350-351)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

1. Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i} $. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
3. Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   
   Что из этого НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО является открытым множеством

   • пересечение бесконечного набора открытых множеств
   • объединение бесконечного набора открытых множеств
   • пустое множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Как называется множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]|x| < \rho[/latex]

   • Закрытым шаром радиуса $$\rho $$ с центром в точке $$x_0 $$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho $$ с центром в точке $$ 0 $$
   • Закрытым шаром радиуса $$ \rho $$ с центром в точке $$ 0 $$
   • Открытым шаром радиуса $$ \rho $$ с центром в точке $$ x_0 [$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Заполните пропуск

   • Точка &&x_0 \in E&& называется (внутренней точкой множества), если существует шар &&B(x_0,\rho)&&, содержащийся в нем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество называется открытым, если…?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   шар [latex]B(x_0,r)[/latex] также называется…
   Правильно
   

   Неправильно