Примеры открытых множеств

new

Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература:

Примеры открытых множеств: 3 комментария

    1. «Объединение красных и синих точек есть закрытое множество.» Почему закрытое, может быть замкнутое множество?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *