Рассмотрим функцию $$f(x,y,z)=\sqrt{\cfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\cfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\cfrac{z}{x+y}},$$ где $x>0, y>0, z>0$. Считая, без ограничения общности, $x\leqslant y \leqslant z$, докажем вначале неравенство $$f(x,y,z)\leqslant f(x,\cfrac{y+z}{2}, \cfrac{y+z}{2}). \tag{1}$$ Обозначив $\cfrac{z+y}{2}=\alpha, \cfrac{z-y}{2}=t$, перепишем $(1)$ в виде $$\phi (t)\geqslant \phi (0),\tag{2}$$ где $$\phi (t)=\sqrt{\cfrac{\alpha + t}{\alpha + x — t}}+\sqrt{\cfrac{\alpha — t}{\alpha + x + t}}.$$
Здесь $0\leqslant t \leqslant \alpha, \alpha \geqslant x$.
Докажем $(2)$. Имеем $$\phi^{\prime}(t)=(x+2a)\left (\cfrac{1}{(\alpha + t)^{\frac{1}{2} }(x+\alpha-t)^{\frac{3}{2}}} — \cfrac{1}{(\alpha — t)^{\frac{1}{2}}(x+\alpha +t)^{\frac{3}{2}}}\right ).$$ Очевидно, знак $\phi^{\prime}(t)$ совпадает со знаком функции $$\psi (t)=(\alpha — t)(x + \alpha + t)^{3}-(\alpha + t)(x+\alpha -t)^{3},$$ и любой нуль функции $\phi^{\prime} (t)$ также является нулем функции $\psi (t)$. Исследуем $\psi (t)$. Имеем: $\psi (t)$ — отличный от константы нечетный многочлен, степень которого не выше $3$. Следовательно, $\psi (t)$ имеет на положительной полуоси не более одного корня.
Получили: $\phi (t)$ может иметь внутри отрезка $[0,\alpha]$ не более одного экстремума. Но и этот экстремум не может быть минимумом, поскольку $\psi (\alpha)<0$.
(Выше мы ограничились необходимой нам информацией о производной; легко получить и полную информацию о ней. Именно, $\psi (t)$ — многочлен третьей степени; $\psi (t) = 0$, при $t = 0$ и при $$t^{2}=\cfrac{(x+\alpha)^{2}(2\alpha — x)}{3x+2\alpha}.$$ При этом $t^{2}<\alpha^{2}$ при $x>0, \alpha>0$. Значит исследуемая функция при любом $x, x < 0 < \alpha$, имеет экстремум на интервале $(0;\alpha)$.)
Вследствие $(1)$ для решения задачи достаточно доказать, что $$f_{1}(x)=\sqrt{\cfrac{x}{2\alpha}}+2\sqrt{\cfrac{\alpha}{x+\alpha}}> 2 \tag{3}$$ при $0<x\leqslant \alpha$.
Исследуем $f_{1}(x)$ на отрезке $[0;\alpha]$. Во внутренних точках этого отрезка знак $f^{\prime}_1(x)$ совпадает со знаком многочлена $P(x)=(x+\alpha)^{3}-8\alpha^{2}x$. Кроме того, любой нуль функции $f^{\prime}_{1}(x)$ является также нулем многочлена $P(x)$. Заметим что $P(\alpha)=0;$ помимо этого, $P(x)$ имеет корень на отрицательной полуоси. Следовательно, если $P(x_0)=0$ при $0<x_0<\alpha$, то при переходе через $x_0$ многочлен $P(x)$ меняет знак с $«+»$ на $«-»$. Поэтому $x_0$ — точка максимума функции $f_1(x)$.
Получили: $$f_{1}(x)>min\{f_{1}(0),f_{1}(\alpha)\}$$ при $0<x<\alpha$. Но $$f_{1}(\alpha)=\cfrac{3}{\sqrt{2}}>2=f_{1}(0).$$ Неравенство $(3)$ доказано.
(Легко видеть, что $P(x)=0$ при $x=\alpha$ и при $x=\alpha(-2\pm \sqrt{5})$. Значит исследуемая функция имеет экстремум на интервале $(0;\alpha)$.)
Определение. Пусть $f $– действительная функция, заданная на открытом множестве $E ⊂ R^n,$ $M-p$-мерное многообразие, содержащееся в $E$. В точке $x_0 ∈ M$ функция $f$ имеет условный максимум на многообразии $M,$ если существует такая окрестность $U ⊂ E$ точки $x_0,$ что для всех $x ∈ U ∩ M$ выполняется неравенство $f(x)≤f(x_0).$ Условный максимум называется строгим, если окрестность можно выбрать настолько малой, что для всех $x ∈ U ∩M,$ $x \ne x_0,$ будет выполнено строгое неравенство $f(x)< f(x_0).$ Аналогично определяется понятие условного минимума.
Пример. Пусть $f(x, y) = xy.$ В начале координат эта функция не имеет обычного экстремума, поскольку в любой окрестности начала координат она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Возьмем теперь многообразие $M_1 : y = x.$ На этом многообразии $f(x, y) = x^2$ и в точке $(0, 0)$ функция f имеет условный минимум на многообразии $M_1.$ Если взять $M_2 : y = −x,$ то на нем $f(x, y) = −x^2,$ и теперь функция $f$ имеет условный максимум в точке $(0, 0).$ Итак, функция f в начале координат не имеет экстремума, а на многообразиях $M_1$ и $M_2$ имеет условные минимум и максимум, соответственно.
Теорема (необходимое условие экстремума на многообразии). Пусть $f$– действительная функция, заданная на открытом множестве $E ⊂ R^n,$ содержащем многообразие $M$. Пусть в точке $x_0 ∈ M$ функция $f$ имеет условный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда производная $f'{}(x_0)$ обращается в нуль на касательном пространстве $T_{x0}(M),$ т. е.$f'{} (x_0)·h = 0$ для любого $h ∈ T_{x0}(M).$
Пусть $h$ – касательный вектор, т. е. $h ∈ T_{x0}(M).$ Тогда существует такая функция $γ : R \to M,$ $γ(0) = x_0,$ что $γ'{}(0) = h.$ Рассмотрим функцию $g(t) = f(γ(t)) (t ∈ R).$ Если $f$ в точке $x_0$ имеет условный максимум, то при $t = 0$ функция $g$ имеет обычный локальный максимум. Функция $g$ дифференцируема в точке $t = 0$ и, по теореме о производной сложной функции,
$g'{}(0)= f'{}(γ(0))·γ'{} (0) = f'{}(x_0)·h$
С другой стороны, по теореме Ферма, $g'{}(0)=0.$ Итак, $f'{}(x_0)·h=0.$
Геометрический смысл теоремы. Предположим, что функция $f$ класса $C^1$ и рассмотрим множество
$H = ${$x:f(x)= f(x_0)$}
Это множество называется множеством уровня функции $f.$ Предположим, что $f'{}(x)\ne 0$ для всех $x ∈ H.$ Тогда получим, что $H – (n − 1)$- мерное многообразие, т. е. гиперповерхность. Касательное пространство к многообразию $H$ определяется как совокупность всех векторов $h,$ для которых выполнено равенство $f'{}(x_0)·h = 0.$ Доказанная теорема утверждает, что $p$-мерное подпространство $T_{x0}(M)$ содержится в $(n−1)$-мерной гиперплоскости $T_{x0}(H).$ Другими словами, касательная гиперплоскость к $H$ в точке $x_0$ содержит касательную $p$-плоскость к $M$ в этой точке.
Заметим, что доказанная теорема дает лишь необходимое условие экстремума. Можно показать, что достаточным оно не является.
Метод множителей Лагранжа. Пусть $M – p$-мерное многообразие, точка $x_0 ∈ M$ и в окрестности $U$ этой точки $M$ определено уравнением $ϕ(x) = 0,$ где $ϕ = (ϕ^1, …, ϕ ^{n−p} ),$ $rank$ $ϕ'{}(x) = n − p$ для любого $x ∈ U.$
Теорема. Пусть $f$ – действительная функция в некоторой окрестности многообразия $M,$ дифференцируемая в точке $x_0 ∈ M$ и имеющая в этой точке условный экстремум. Тогда существуют такие действительные числа $λ_1,…, λ_{n−p},$ что для функции
$F(x) = f(x) + λ_1ϕ^1(x) + … + λ_{n−p}ϕ^{n−p}(x)$
полная производная $F'{}(x_0) = 0.$
В силу предыдущей теоремы, $f'{}(x_0)·h = 0$ для любого $h ∈ T_{x0} (M).$ Это равносильно тому, что $grad$ $f(x_0)·h = 0$ для любого $h ∈ T_{x0} (M), $т. е. $grad$ $f(x_0)$ ортогонален к любому касательному вектору. Значит, этот градиент является нормальным вектором к многообразию $M$ в точке $x_0.$ Как известно, векторы $grad$ $ϕ^i (x_0) (i = 1, …, n − p)$ образуют базис в пространстве нормальных векторов. Значит, существуют числа $α_1, …, α_{n−p}$ такие, что
Обозначим $λ_i = −α_i, i = 1, …, n−p.$ Тогда видим, что для $F$ ее градиент $grad$ $F(x_0) = 0,$ а это равносильно тому, что $F'{}(x_0) = 0,$ и тем самым теорема доказана.
Числа $λ_1, …, λ_{n−p}$ называются множителями Лагранжа. Они определяются однозначно, так как являются координатами разложения вектора $grad$ $ f(x_0)$ по базису из векторов $grad$ $ϕ^i (x_0) (i = 1, …, n − p),$ взятых с противоположным знаком. Условие $rank $ $ϕ'{}(x) = n − p$ обеспечивает линейную независимость векторов $grad$ $ϕ^i (x_0) (i = 1, …, n − p).$
В качестве примера, иллюстрирующего метод множителей Лагранжа, рассмотрим следующую задачу. Найти расстояние от точки до гиперплоскости в пространстве $R^n.$ Решение
Гиперплоскость $H$ определяется уравнением
$ a_1x ^1 + … + a_nx^n = b,$
или в векторной форме $ax = b,$ где $a \ne 0,$ ибо, в противном случае, не получим гиперплоскость.
Пример. Пусть $x_0 ∈ R^n.$ Покажем, что расстояние от заданной точки $x_0$ до $H$ равно $d(x_0, H) = \frac{|ax_0−b|}{|a|}.$ Расстояние от $x_0$ до произвольной точки $x ∈ H$ выражается следующим образом: Решение
$\sqrt{(x^1 − x^1_0 )^2 + … + (x^n − x^n_0 )^2}.$
Поэтому для нахождения минимума этих расстояний достаточно рассмотреть подкоренное выражение и найти его минимум.
Последнее уравнение этой системы означает, что точка x лежит на гиперплоскости $H.$ Умножим $i$-е уравнение этой системы на $a_i (i = 1, …, n)$ и сложим первые $n$ уравнений. Тогда получим
Подставим найденное значение $λ$ в первые $n$ уравнений системы и получим
$2(x^i − x^i_0 ) = −a_i\frac{ 2(ax_0 − b) }{|a|^2} (i = 1, …, n).$
Каждое из этих равенств возведем в квадрат и сложим полученные равенства. Получим
$ f(x) = \frac{(ax_0 − b)^2} {|a|^2} ,$
а это и есть квадрат искомого расстояния.
Пример. Найти точки условного экстремума функции (если они есть) $f(x,y) = y_{2} — x_{2}$ при уравнении связи $y = 2x.$ Решение
Имеем $f(x, 2x) = 3x^{2},$ т.е. при выполнении уравнений связи данная функция является функцией одного переменного и достигает минимума при $x = 0.$
Значению $x = 0$ согласно уравнению связи соответствует значение $y = 0,$ а поэтому функция $f(x,y) = y_{2} — x_{2}$ имеет в точке $(0, 0)$ условный минимум относительно уравнения связи $y = 2x.$
Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.
Достаточные условия экстремума в терминах первой производной
Дифференциальное исчисление функций многих переменных — важный раздел анализа, имеющий немало приложений в физике, инженерии и прикладной математике. Существенное количество практических задач формулируется в терминах функций от двух переменных — явном выражении поверхностей в пространстве [latex]\mathbb{R}^{3}[/latex]. В классических курсах анализа их изучают с более общих позиций, рассматривая достаточные критерии экстремума функций вида [latex]f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] (также называемых скалярными полями), в терминах которых ведётся дальнейшее изложение.
Определение
Говорят, что функция [latex]f: \mathbb{E} \subset \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] имеет во внутренней точке [latex]x_{0}[/latex]
Заменой неравенств на строгие получаем условия соответственно строгого локального минимума и максимума.
Определение
Якобианомвекторного поля [latex]f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \forall x \in \mathbb{R}^{m} f(x) = (f_{1}(x),…,f_{m}(x))[/latex], дифференцируемого в точке [latex]x[/latex] и непрерывного в некоторой её окрестности [latex]U(x) \in \mathbb{R}^{m}[/latex]называют линейный оператор [latex]\mathbf{J}[/latex], описывающий наилучшее линейное приближение функции в некоторой окрестности точки [latex]x[/latex] и имеющий матрицу вида:
— так называемую матрицу Якоби (матрица касательного отображения). Для скалярного поля матрица Якоби имеет вид:
$$ { J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f }{ \partial x_{ m } } (x) \end{Vmatrix} $$
Определение
Гессианом скалярного поля [latex]f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}[/latex], дважды дифференцируемого по всем аргументам в точке [latex]x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}[/latex], называют симметрическую квадратичную форму [latex]H(x)=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \sum _{ j=1 }^{ m }{ h_{ij}x_{i}x_{j} } } [/latex], описывающую наилучшее квадратичное приближение функции в некоторой окрестности точки [latex]x[/latex] и имеющую матрицу вида:
— так называемую матрицу Гессе, определитель которой обычно подразумевается под Гессианом. Матрица Гессе также описывает локальную кривизну скалярного поля.
Утверждение
Поведение функция [latex]f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/latex], дважды дифференцируемой в точке [latex]x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}[/latex] и непрерывной в некоторой окрестности [latex]U(x) \subset \mathbb{R}[/latex] этой точки, характеризуется формулой:
Достаточное условие экстремума в терминах частных производных
Для того, чтобы функция [latex]f: U(x_{0}) \rightarrow \mathbb{R}[/latex], дважды дифференцируемая по всем аргументам в точке [latex]x_{0}=(x_{0}^{1},…,x_{0}^{m}) \in \mathbb{R}^{m}[/latex], в ней имела экстремум достаточно, чтобы её Гессиан был знакоопределён, причем, положительная определённость влечёт наличие в точке строгого локального минимума, отрицательная определённость — строгого локального максимума.
Спойлер
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора, обозначив вектор сдвига как [latex]\mathbf{h}=(h_{1},…,h_{m})[/latex]. Тогда
Отсюда следует, что знак выражения в левой части, позволяющий судить о наличии или отсутствии экстремума в точке [latex]\mathbf{x}[/latex], определяется знаком выражения в квадратных скобках. Посмотрим на неё внимательнее: пусть [latex]\mathbf{h} != 0[/latex], тогда вектор [latex]{ e }=\left( \frac { h_{ 1 } }{ \left\| { h } \right\| } ,\frac { h_{ 2 } }{ \left\| { h } \right\| } ,…,\frac { h_{ m } }{ \left\| { h } \right\|} \right) [/latex] имеет единичную норму [latex]\left\| { e } \right\| = 1[/latex], каким бы он ни был. Форма [latex]\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}}[/latex] непрерывна на [latex]\mathbb{R}^{m}[/latex] как однородный многочлен второй степени от координат [latex]\mathbf{h}[/latex] в силу непрерывности вторых производных [latex]f[/latex] в окрестности [latex]\mathbf{x}[/latex]. Квадратичная форма непрерывна и на единичной сфере [latex]S(0;1)=\left\{ x \in \mathbb{R}^{m}| \left\| { x } \right\| \le 1 \right\} [/latex]. Приниципиальный интерес этот факт представляет по той причине, что единичная сфера — компакт, а свойства скалярных функций, непрерывных на компакте, хорошо известны и сыграют важную роль. В частности, непрерывная на компакте функция достигает на нём своих точных верхней и нижней граней [latex]m[/latex] и [latex]M[/latex].
Если форма положительно определена, то [latex]0 0[/latex], что [latex]\forall y: \left\| y \right\| < \delta \quad \underline { o } (1)=\alpha (y) < m \Rightarrow \underline { o } (1) < m 0[/latex].
Доказательство для случая отрицательно определённой квадратичной формы симметрично приведенному.
Докажем далее, что значения разных знаков, принимаемые формой в окрестности данной точки, являются достаточным условием отсутствия в ней экстремума функции. Сохраняя обозначения предыдущего пункта, назовём [latex]\mathbf{e_{m}}[/latex] и [latex]\mathbf{e_{M}}[/latex] точки единичной сфера, в которых форма достигает значений [latex]m[/latex] и [latex]M[/latex] соответственно, причем пусть [latex]m < 0 < M[/latex].
Вновь выпишем разложение в ряд Тейлора функции [latex]f[/latex], взяв за вектор сдвига вектор [latex]t\mathbf{e_{m}}[/latex], где число [latex]t[/latex] подобрано таким образом, чтобы [latex]\mathbf{x}+t\mathbf{e_{m}} \in U(x)[/latex]:
$$ f({ x }+{ h })-f({ x })=\frac { 1 }{ 2! } \left\| { te_{ m } } \right\| ^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } (\left| t \right| \left\| { e_{ m } } \right\| )^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } t^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] $$
Аналогично рассуждениям предыдущего пункта, рассмотрим случай [latex]\text{sign}(\underline {o}(1))=1[/latex]: [latex]\lim _{ \left\| t \right\| \rightarrow 0}{ \alpha (t\mathbf{e_{m}}) } = 0 \Rightarrow \exists \delta > 0: \forall t m[/latex]. Тогда значение в квадратных скобках, как и выражение в левой части, неположительно. В ходе аналогичных рассуждений получим двойственную ситуацию для [latex]\mathbf{e_{M}}[/latex]. Следовательно, в любой окрестности [latex]U(\mathbf{x})[/latex] точки [latex]\mathbf{x}[/latex] функция [latex]f[/latex] принимает значения, как большие, так и меньше [latex]f(\mathbf{x})[/latex], следовательно, в точке [latex]\mathbf{x}[/latex] экстремума быть не может по определению.
[свернуть]
Замечание 1
Условие не является необходимым, так как ничего не говорит о случае, когда квадратичная форма полуопределена, т.е. является и неположительна или неотрицательна, т.е. содержит критические точки, не являющиеся экстремальными, строго больше или меньше нуля на всех векторах окрестности.
Спойлер
Исследуем на экстремум функцию [latex]f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}[/latex]. Отыщем критические точки согласно необходимому условию:
$$ \begin{cases} \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4x^{ 3 }-4x=0, \\ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4y^{ 3 }=0; \end{cases} $$
Решаяя систему, получаем точки: [latex](-1,0),(0,0),(1,0)[/latex]. Поскольку смешанные производные существуют и непрерывны и
$$ { H }_{ f }(x,y)=\begin{Vmatrix} 12x^{ 2 }-4 & 0 \\ 0 & 12y^{ 2 } \end{Vmatrix} $$
Используя критерий Сильвестра, убедитесь, что в указанных трёх точках квадратичная форма полуопределена. Несмотря на то, что достаточный критерий экстремума в терминах квадратичного приближения неприменим, из записи функции в виде [latex]f(x,y)=(x^{2}-1)^{2}+y^{4}-1[/latex] очевидно, что в точках [latex](\pm 1, 0)[/latex] функция (симметричная и монотонно возрастающая по обеим переменным) имеет строгий локальный минимум, а в точке [latex](0, 0)[/latex] не имеет экстремума вовсе.
Нижеприведенное изображение наглядно демонстрирует правильность выводов. Нормалями к поверхности обозначены стационарные точки.
[свернуть]
Замечание 2
Функция может принимать экстремальные значения в граничных точках области определения. Вышеприведенное достаточное условие для их выявления использовать не рекомендуется, следует обратиться к аппарату теории условного экстремума.
Пример (Демидович, №3629)
Исследовать на локальный экстремум функцию
$$ z = x y \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} \quad (a > 0, \quad b > 0) $$
Спойлер
Вычислим первые частные производные. Решением нижеприведенной системы
Отметим, что в точках, лежащих на границе эллипса [latex]1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}[/latex] частные производные не существуют, следовательно, их следует отдельно проверить на экстремум, что выходит за рамки аппарата данной статьи.
Для проверки достаточных условий выпишем вторые производные
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 2
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Закрепление материала.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Пусть [latex]z(x,y)[/latex] — некоторая функция двух переменных, [latex]\left(x_{0}, y_{0} \right)[/latex] — стационарная точка, [latex]\Delta_{1}, \Delta_{2}[/latex] — главные миноры матрицы Гессе [latex]\mathbf{H}_{z}\left(x_{0},y_{0}\right)[/latex]. Сопоставьте различным случаям характер точки [latex]\left(x_{0}, y_{0} \right)[/latex]
Элементы сортировки
- точка локального минимума.
точка локального максимума.
может как быть точкой локального экстремума, так и не быть ею. Необходимо дополнительное исследование.
не является точкой локального экстремума.
$ \Delta_{1} > 0,\quad \Delta_{2} > 0 $
$ \Delta_{1} < 0,\quad \Delta_{2} < 0 $
$ \Delta_{1} > 0,\quad \Delta_{2} = 0 $
$ \Delta_{1} > 0,\quad \Delta_{2} < 0 $
Правильно
Теория и практика идут рука об руку. Уверенное владение материалом делает многие «неразрешимые» задачи алгоритмически очевидными.
Неправильно
Помните о геометрической интерпретации достаточных условий экстремума функции двух переменных. Геометрические образы заметно облегчают решение многих задач, иногда позволяя находить простые и изящные частные решения.
Задание 2 из 5
2.
Точкой локального минимума функции [latex]z=x^{3}+y^{3}-3xy[/latex] является
Правильно
Готовьтесь, впереди задачи посложнее.
Неправильно
Попробуйте представить предложенную поверхность.
Задание 3 из 5
3.
Функция [latex]z=2x^{4}+y^{4}-x^{2}-2y^{2}[/latex] имеет следующие экстремальные точки:
Условия экстремума в терминах производных не являются
Правильно
Помните: недостаточно знать факт, нужно уметь доказать его на примерах.
Неправильно
Понимание границ применимости метода не менее важно, чем умение уверенно им пользоваться. Задача считается решенной лишь тогда, когда проведенное исследование является полным.
Якобиан и Гессиан характеризуют соответственно (линейное) и (квадратичное) приближение функции векторного аргумента, дифференцируемой (дважды) в окрестности заданной точки.
Правильно
Неправильно
Следует помнить, что аппарат исследования функций и теория рядов тесно связаны друг с другом. Изучение этих взаимосвязей рождает понимание сути предмета.
Подсказка
Достаточные условия экстремума в терминах производных и соответствующий понятийный аппарат тесно связаны с приближением функции рядами Тейлора в окрестности заданной точки.
Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных
Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex] Тогда, по определению локального минимума для всех [latex]x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta )[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)-f(x_{0})\geq 0.[/latex]
Если [latex]x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) ,[/latex] то [latex]x-x_{0}< 0,[/latex] тогда из условия [latex]f(x)-f(x_{0})\geq 0[/latex] следует, что
[latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,[/latex]
а если [latex]x\in (x_{0},x_{0}+\delta ),[/latex] то выполняется неравенство
[latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.[/latex]
Так как функция f предел при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] в левой части неравенства [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0[/latex], равный [latex]f_{-}^{‘}(x_{0})=f'(x_{0}).[/latex] По свойствам пределов из [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0[/latex] следует, что
[latex]f'(x_{0})\leq 0.[/latex]
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве [latex]\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0[/latex] получаем
[latex]f'(x_{0})\geq 0.[/latex]
Из неравенств [latex]f'(x_{0})\leq 0[/latex] и [latex]f'(x_{0})\geq 0[/latex] следует, что [latex]f'(x_{0})=0.[/latex]
Пример
Функция [latex]f(x)=x^{2}[/latex] имеет на отрезке [-1,1] точку минимума [latex]x_{0}=0.[/latex] Производная функция существует при всех x: [latex]f'(x)=2x.[/latex] В точке минимума производная действительно оказывается равной 0. [latex]f'(x_{0})=f'(0)=0,[/latex] так что утверждение теоремы Ферма выполнено.
Литература
Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.164-165
Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
