Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Изоморфизм линейных пространств

Пусть заданы два линейных пространства над полем P: A и B. Тогда изоморфизмом f (обозначается как AB) называется биекция из A в B, удовлетворяющая следующим условиям:
1) f(a+b)=f(a)+f(b)
2) f(λa)=λf(a)

Изоморфными пространствами называются такие линейные пространства, между которыми можно установить изоморфизм.

Свойства изоморфизма:
1) f(0)=0
2)f(a)=f(a)
3) f(kj=1ajaj)=kj=1ajf(aj)
4) При изоморфном отображении линейно независимая система не может стать линейно зависимой. Обратное также верно.
5) Базис A отображается в базис B.
6) Прямая сумма подпространств в A отображается в прямую сумму образов этих подпространств в B.

 

По сути, изоморфизм является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом.

 

Теорема. Любые два конечномерные линейные пространства, имеющие одинаковую размерность и заданные над одним и тем же полем, изоморфны.

Зададим два линейных пространства X и Y над полем P, dimX=dimY. Пусть базис Xe1,e2,,en; Y — e1,e2,,en. Возьмём в пространстве X векторы x1=α1e1+α2e2++αnen и x2=β1e1+βe2++βenТогда при изоморфизме XY
f(x1+x2)=f((α1+β1)e1+(α2+β2)e2++(αn+βn)en)==(α1+β1)e1+(α2+β2)e2++(αn+βn)en==(α1e1+α2e2++αnen)+(β1e1+β2e2++βnen)=f(x1)+f(x2).
(первое условие изоморфизма) и
f(λx)=f((λα1)e1+(λα2)e2++(λαn)en)==(λα1)e1+(λα2)e2++(λαn)en==λ(α1e1+α2e2++αnen)=λf(x)
(второе условие).

Следствие. Все линейные пространства над одним и тем же полем P одинаковой размерности n изоморфны n-мерному арифметическому линейному пространству Rn над полем P.

Примеры

1. Привести пример отображения из R в N0, которое является изоморфизмом.
Решение
2. Доказать первое свойство (f(0)=0).
Решение

 

Смотрите также

Тест

Изоморфизм линейных пространств

Тест на знание изоморфизма линейных пространств.

М1821. Доказать неравенство

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 3 выпуск)

Условие

Для любого натурального n докажите неравенство
|{n1}{n2}+{n3}+(1)n{nn}|<2n
({a} — дробная часть числа a).

Неравенство верно для n=1 или 2, поэтому пусть n3. Рассмотрим число k=[2n]+1 и оценим по отдельности величины
A={n1}{n2}+{n3}(1)k1{nk1}
и
B={nk}{nk+1}++(1)nk{nn}
Очевидно,
A{n1}+{n3}+,
где всего [k2] слагаемых, причём первое из них равно 0. Далее,
A{n2}{n4},
где слагаемых [k12] штук. Поскольку для любого натурального m<k имеем
{nm}m1mk2k1,
то
|A|[k12]k2k1k22
Поскольку дробная часть — это разность самого числа и его целой части, то
B=CD,
где
C=nknk+1++(1)nknn
и
D=[nk][nk+1]++(1)nk[nn].
Поскольку
0(nknk+1)+(nk+2nk+3)+=C=
nk(nk+1nk+2)nk,
то 0Cnk Аналогично, 0D[nk]nk.

Следовательно,
|B|=|CD|nk
и, наконец,
|{n1}{n2}+{n3}(1)n{nn}|=|A(1)kB|
k22+nk2n12+n2<2n.

В.Барзов