М1821. Доказать неравенство

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 3 выпуск)

Условие

Для любого натурального [latex]{n}[/latex] докажите неравенство
$$\left|\left\{\frac n1\right\}-\left\{\frac
n2\right\}+\left\{\frac n3\right\}-\ldots+(-1)^n\left\{\frac
nn\right\} \right|<\sqrt{2n}.$$

([latex]\left \{ a \right \}[/latex] — дробная часть числа [latex]a[/latex])

Доказательство

Неравенство верно для [latex]{n = 1}[/latex] или [latex]{2}[/latex], поэтому пусть [latex]{n \geqslant 3}[/latex]. Рассмотрим число [latex]{k = \left [ \sqrt{2n} \right ]+1}[/latex] и оценим по отдельности величины

$$
A=\left\{\frac{n}{1}\right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}-\ldots-(-1)^{k-1}\left\{\frac{n}{k-1}\right\} \\
$$
и
$$
B=\left\{\frac{n}{k}\right\}-\left\{\frac{n}{k+1}\right\}+\ldots+(-1)^{n-k}\left\{\frac{n}{n}\right\} \\
$$
Очевидно,
$$
A \leqslant\left\{\frac{n}{1}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}+\ldots,
$$
где всего [latex]\left [ \frac{k}{2} \right ][/latex] слагаемых, причём первое из них равно 0. Далее,
$$
A \geqslant-\left\{\frac{n}{2}\right\}-\left\{\frac{n}{4}\right\}-\ldots,
$$
где слагаемых [latex]\left [ \frac{k-1}{2} \right ][/latex] штук. Поскольку для любого натурального [latex]m < k[/latex] имеем
$$
\left\{\frac{n}{m}\right\} \leqslant \frac{m-1}{m} \leqslant \frac{k-2}{k-1},
$$
то
$$
|A| \leqslant\left[\frac{k-1}{2}\right] \cdot \frac{k-2}{k-1} \leqslant \frac{k-2}{2}
$$
Поскольку дробная часть — это разность самого числа и его целой части, то
$$
B = C-D,
$$
где
$$
C=\frac{n}{k}-\frac{n}{k+1}+\ldots+(-1)^{n-k} \frac{n}{n}
$$
и
$$
D=\left[\frac{n}{k}\right]-\left[\frac{n}{k+1}\right]+\ldots+(-1)^{n-k}\left[\frac{n}{n}\right].
$$
Поскольку
$$
0 \leqslant\left(\frac{n}{k}-\frac{n}{k+1}\right)+\left(\frac{n}{k+2}-\frac{n}{k+3}\right)+\ldots=C=\frac{n}{k}-\left(\frac{n}{k+1}-\frac{n}{k+2}\right)-\dots \leqslant \frac{n}{k},
$$
то [latex]0\leqslant C \leqslant\frac{n}{k}[/latex] Аналогично, [latex]0\leqslant D\leqslant\left [\frac{n}{k} \right ] \leqslant\frac{n}{k}.[/latex] Следовательно,
$$
|B| = |C-D|\leqslant\frac{n}{k}
$$
и, наконец,
$$
\left|\left\{\frac{n}{1}\right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}-\ldots-(-1)^{n}\left\{\frac{n}{n}\right\}\right|=\left|A-(-1)^{k} B\right| \leqslant
$$

$$
\leqslant \frac{k-2}{2}+\frac{n}{k} \leqslant \frac{\sqrt{2 n}-1}{2}+\sqrt{\frac{n}{2}}<\sqrt{2 n}.
$$
В.Барзов