Изоморфизм линейных пространств

Пусть заданы два линейных пространства над полем [latex]\mathbb{P}[/latex]: [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. Тогда изоморфизмом f (обозначается как [latex]A \cong B[/latex]) называется биекция из [latex]A[/latex] в [latex]B[/latex], удовлетворяющая следующим условиям:
1) [latex]f(a+b) = f(a) + f(b)[/latex]
2) [latex]f(\lambda\cdot a) = \lambda\cdot f(a) [/latex]

Изоморфными пространствами называются такие линейные пространства, между которыми можно установить изоморфизм.

Свойства изоморфизма:
1) [latex]f(0) = 0[/latex]
2)[latex]f(-a) = -f(a)[/latex]
3) [latex]f(\sum_{j=1}^{k}a_j a_j) = \sum_{j=1}^{k}a_j f(a_j)[/latex]
4) При изоморфном отображении линейно независимая система не может стать линейно зависимой. Обратное также верно.
5) Базис [latex]A[/latex] отображается в базис [latex]B[/latex].
6) Прямая сумма подпространств в [latex]A[/latex] отображается в прямую сумму образов этих подпространств в [latex]B[/latex].

 

По сути, изоморфизм является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом.

 

Теорема. Любые два конечномерные линейные пространства, имеющие одинаковую размерность и заданные над одним и тем же полем, изоморфны.

Зададим два линейных пространства [latex]X[/latex] и [latex]Y[/latex] над полем P, [latex]\textrm{dim} X = \textrm{dim} Y[/latex]. Пусть базис [latex]X[/latex] — [latex]e_1,e_2,\dots ,e_n [/latex]; Y — [latex]e’_1,e’_2,\dots , e’_n[/latex]. Возьмём в пространстве [latex]X[/latex] векторы $$x_{1} = \alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\dots+\alpha_n e_n$$ и $$x_2 = \beta_1 e_1+\beta e_2+\dots+\beta e_n $$Тогда при изоморфизме [latex]X \cong Y[/latex]
$$
f(x_1+x_2)=f((\alpha_1 + \beta_1)e_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e_n) = \\
= (\alpha_1 + \beta_1)e’_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e’_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e’_n = \\
=(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n ) + (\beta_1 e’_1 + \beta_2 e’_2 + \dots + \beta_n e’_n) = f(x_1) + f(x_2).
$$
(первое условие изоморфизма) и
$$
f(\lambda x) = f((\lambda \alpha_1)e_1 + (\lambda \alpha_2)e_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e_n) = \\
= (\lambda \alpha_1)e’_1 + (\lambda \alpha_2)e’_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e’_n = \\
= \lambda(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n) = \lambda f(x)
$$
(второе условие).

Следствие. Все линейные пространства над одним и тем же полем [latex]\mathbb{P}[/latex] одинаковой размерности [latex]n[/latex] изоморфны [latex]n[/latex]-мерному арифметическому линейному пространству [latex]\mathbb{R}^n[/latex] над полем [latex]\mathbb{P}[/latex].

Примеры

1. Привести пример отображения из [latex]\mathbb{R}[/latex] в [latex]\mathbb{\mathbb{N}_0}[/latex], которое является изоморфизмом.
Решение

Пусть [latex]x’ = 2x[/latex]. Тогда [latex]f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)[/latex] и [latex]f(\lambda a) = 2(\lambda a) = \lambda 2a = \lambda \cdot f(a)[/latex]. Значит, это отображение является изоморфизмом.

[свернуть]
2. Доказать первое свойство ([latex]f(0) = 0[/latex]).
Решение

[latex]f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0)[/latex], значит [latex]f(0) = 0[/latex].

[свернуть]

 

Смотрите также

Тест

Изоморфизм линейных пространств

Тест на знание изоморфизма линейных пространств.

Изоморфизм линейных пространств: 2 комментария

  1. Замечания рецензента:

    1. Списки пронумерованы вручную. Должна быть автоматическая нумерация.
    2. Некоторые однобуквенные формулы не оформлены как формулы (например, $f$ в определении изоморфизма; $P$ в начале доказательства теоремы).
  2. Скобки делают так.
    Вложенные теги div без малейшей причины и смысла. Вы опять делали разметку в визуальном режиме? Опять всякие nbsp и сплошная каша.
    Наклонный текст выскакивает в самых неожиданных местах. В чем причина? Не все открытые теги закрыты?
    Ссылки поставлены без всякой логики. «…является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом». У Вас линейный оператор ссылка. Но нулевой дефект и максимальный ранг знают все? А если я спрошу на зачете?
    В доказательстве отсутствуют какие либо пояснения.
    В вопросах следует уточнять, какие множества имеются в виду. От этого будет зависеть ответ.
    Уточните страницы про изоморфизм по учебнику Воеводина.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *