Сопряженный оператор: существование и единственность

Определение. Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ сопряженным с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $$\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Теорема (существование и единственность сопряженного оператора). Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$

Доказательство. Единственность. В любом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, то есть базис, векторы которого попарно ортогональны (произведение любых двух не равных векторов будет равно $0$). Тогда длины всех векторов будут равны $1.$ Обозначим этот базис как $\langle e_1, e_2,…, e_m\rangle.$ Пусть $A^*$ — линейный оператор, действующий из пространства $Y \to X,$ сопряженный с оператором $A.$ Возьмем произвольный вектор из пространства $Y.$ Образ этого вектора будет принадлежать пространству $X,$ а значит может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов пространства $X.$ Тогда

$$ A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$$

Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).

Существование. С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$

$$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$$

Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$

$$\left(Ax,y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $$= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$$ (по определению линейного оператора) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$$

Найдем скалярное произведение:

$$\left(x,A^*y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$$ (по свойству скалярного произведения) $$=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$$

Получили $$\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.

Примеры решения задач

  1. Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $$Ax=\left[a,x\right].$$ Найти сопряженный оператор.
    Решение

    Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:

    $\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$

    Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$

    Ответ: $-A.$

    [свернуть]
  2. Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$
    Решение

    Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$

    [свернуть]
  3. Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.
    Решение

    Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
    $$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$$ $$A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$$

    Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
    $$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$$

    Подробно распишем правую часть

    $$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$$ $$=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$$

    Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$$

    Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
    $$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$$

    По аналогии с первой частью

    $$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$$

    Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$$

    [свернуть]

Сопряженный оператор

Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
  4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Обратимость матриц

Замечание 1. Существование обратной матрицы следует из теоремы о полной линейной группе квадратных невырожденных матриц. А именно, обратная матрица — это обратный (симметрический) элемент группы.

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется правой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется левой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$A^{-1}A=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=A^{-1}A=E,$$ то есть она одновременно левая и правая обратная.

Замечание 2. Стоит заметить, что поле $P$ — это любое числовое поле.

Замечание 3. Матрицы $A$ и $A^{-1}$ называются взаимно обратными. Матрица $A$ называется обратимой.

Спойлер

Определение. Квадратная матрица над полем $P$ называется невырожденной(неособенной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае, матрица называется вырожденной(особенной).

Множество квадратных невырожденных матриц заданных над полем $P$ обозначим $M_{n}^{0}\left ( P \right ).$

[свернуть]

Обратимость вырожденной матрицы. Пусть дана вырожденная матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Ввиду некоммутативности умножения матриц, будем говорить о правой обратной матрице, то есть $$AA^{-1}=E.$$ Так как матрица $A$ вырожденная, то при условии существования $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$, по одному из свойств умножения матриц получаем, $\det \left ( AA^{-1} \right )= \det A \det A^{-1}=0\neq 1=\det E$, где $E$ — единичная матрица . Таким образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной. По тем же соображениям, вырожденная матрица не может иметь и левой обратной. Поэтому для вырожденной матрицы обратной не существует.

Обратимость невырожденной матрицы. Пусть дана $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ и имеет вид: $$A =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}.$$ Введем вспомогательно понятие: присоединенная матрица $\widetilde{A}\in M_{n}\left (P\right )$ такая, что $\widetilde{A}=\begin{Vmatrix}A_{ij}\end{Vmatrix}$, где $A_{ij}$ — это алгебраические дополнения к элементу $a_{ij}$ матрицы $A$, $i=\overline{1, n}$ и $j=\overline{1, n}.$ Тогда $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}.$$ Найдем произведение $A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A$, используя теорему о разложении определителя по строке или столбцу и теорему Лапласа. Получаем $$A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots &A_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\det A\cdot E=\begin{pmatrix}\det A & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \det A & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A\end{pmatrix}.$$ На местах элементов главной диагонали оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, то есть $\det A$. Остальные элементы равны нулю, по теореме о «чужих» дополнениях, в связи с тем, что на их местах оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки. Тогда можно заключить, что обратной к матрице $A$ будет служить матрица, полученная из присоединенной матрицы $\widetilde{A}$ путем ее транспонирования и деления всех элементов на $\det A$, из чего следует алгоритм построения обратной матрицы. Тогда $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $AA^{-1}=A^{-1}A = E.$

Замечание 4. Из теоремы об умножении определителей получаем, что $$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}.$$ И тут мы можем увидеть тот факт, что матрица обратная к невырожденной также невырождена.$$\det A \neq 0\Rightarrow\frac{1}{\det A}\neq 0.$$

Свойства операции обращения матрицы

  1. $\left ( A^{-1} \right )^{-1}=A;$
  2. $ \left ( \lambda A \right )^{-1}=\lambda ^{-1}A^{-1};$
  3. $\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1};$
  4. $\left ( A^{-1} \right )^{k}=\left ( A^{k} \right )^{-1}.$

Лемма. Если матрица $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ обратима, то существует только одна матрица, обратная к $A.$

Предположим обратное. То есть $\exists B,C \in M_{n}^{0}\left ( P \right )$ обратные к $A.$ Тогда $AC=E=BA$ и $B=BE=B\left( AC \right )=$ $=\left ( BA \right )C=EC=C$, то есть $B=C.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться обратные матрицы. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Найти матрицу обратную к данной $$A= \left (\begin{array}{rrr}-1 & -4& -2\\ 1 & -1& 1\\ 2 &2&4\end{array}\right ).$$

    Решение

    Найдем обратную матрицу по формуле. Найдем определитель исходной матрицы, используя теорему о разложении по строке. Разложим по первой строке.$$\det A= \left (\begin{array}{rrr}-1 & -4& -2\\ 1 & -1& 1\\ 2 & 2& 4 \end{array}\right )=\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )^{1+1}\left (\begin{array}{rrr}-1 & 1\\ 2 & 4 \end{array}\right )-4\left ( -1\right )^{1+2}\left (\begin{array}{rrr}1 & 1\\ 2 & 4\end{array}\right )-$$$$-2\left (-1\right )^{1+3}\left (\begin{array}{rrr}1 &-1 \\ 2 & 2\end{array}\right )=-\left ( -4-2 \right )+4\left ( 4-2 \right )-2\left ( 2+2 \right )=6+8-8=6.$$ Теперь найдем присоединенную матрицу. $$\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}-6 & -2 & 4 \\ 12 & 0 & -6 \\ -6 &-1 & 5\end{array}\right ).$$ Далее транспонируем присоединенную матрицу, $$\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}-6 & 12 & -6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 4 & -6 & 5\end{array}\right ).$$ Получаем, $$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left (\begin{array}{rrr}-6 & 12 & -6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 4 & -6 & 5\end{array}\right ).$$

  2. Решить матричное уравнение $$\left (\begin{array}{rrr}2 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right )X=\left (\begin{array}{rrr}4 & 7\\ 3 & 5\end{array}\right ).$$

    Решение

    Уравнение имеет вид $AX=B.$ Для решения уравнения относительно X умножим обе его части на $A^{-1}$слева: $$A^{-1}AX=A^{-1}B; $$$$EX=A^{-1}B; $$$$X=A^{-1} B.$$ Теперь найдем обратную к матрице $A$, используя формулу. $$\det A=\left (\begin{array}{rrr}2 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right )=14-12=2.$$$$ \widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}7 & -3\\ -4 & 2\end{array}\right ), \left (\widetilde{A}\right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}7 & -4\\ -3 & 2\end{array}\right ).$$ Таким образом, обратная матрица: $$\displaystyle A^{-1}=\left (\begin{array}{rrr}\frac{7}{2} & -2\\ -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right ).$$$$\displaystyle X=A^{-1}B=\left (\begin{array}{rrr}\frac{7}{2} & -2 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{array}\right )\left (\begin{array}{rrr}4 & 7\\ 3 & 5\end{array}\right )=\left (\begin{array}{rrr}8 & \frac{29}{2}\\ -3&-\frac{11}{2}\end{array}\right ).$$

  3. Найти определитель матрицы обратной к матрице $A$, не вычисляя ее.$$A=\left (\begin{array}{rrr}2 & 1 &-1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right ).$$

    Решение

    Ранее, в замечании $4$ отмечалось, что $\displaystyle\det A^{-1}= \frac{1}{\det A}.$ Тогда вычислим определитель исходной матрицы.$$ \det A=\begin{vmatrix}2 & 1 &-1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix}=4+12+2=18.$$ Тогда, $\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{18}.$

    Ответ: $\displaystyle \frac{1}{18}.$

  4. Можно ли получить из матрицы $A^{-1}$ матрицу $B$? Если можно, то укажите $\lambda$ такое, что $\left ( \lambda A \right )^{-1}=B.$ $$A=\left (\begin{array}{rrr}2 & -4\\ 1 & 1\end{array}\right ),\,B=\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right ).$$

    Решение

    Из свойства $2$ обратных матриц мы знаем, что $\left ( \lambda A \right )^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}.$ Найдем $A^{-1}$: $\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}1 & -1\\ 4 & 2\end{array}\right )$, $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right )$, $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right ).$ Видим, что $\displaystyle \left(\frac{1}{6}\right)^{-1}A^{-1}=B\Rightarrow \lambda ^{-1}=6 \Rightarrow \lambda =\frac{1}{6}.$

    Ответ: $\displaystyle \frac{1}{6}.$

  5. Даны матрицы $A$ и $B$, найти $\left ( AB \right )^{-1}.$$$ A=\left ( \begin{array}{rrr}2 & -6\\ 2 & 1\end{array}\right ),\, B=\left ( \begin{array}{rrr}3 & 8\\ 2 & 2\end{array}\right ).$$

    Решение

    По свойству $3$ обратных матриц получаем $\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$ Тогда найдем обратные матрицы.$$\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}1 & -2\\ 6 & 2\end{array}\right ),\,\left (\widetilde{A}\right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right ),\, A^{-1}=\frac{1}{14}\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right ).$$$$\widetilde{B}=\left (\begin{array}{rrr}2 & -2\\ -8 & 3\end{array}\right ),\,\left (\widetilde{B}\right)^{T}=\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right ),\, B^{-1}=-\left ( \frac{1}{10} \right )\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right ).$$Тогда $$ \displaystyle \left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}=-\left ( \frac{1}{10} \right )\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right )\frac{1}{14}\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right )=$$$$\displaystyle =\left (\begin{array}{rrr}-\frac{2}{10} & \frac{8}{10}\\ \frac{2}{10} & -\frac{3}{10}\end{array}\right )\left (\begin{array}{rrr}\frac{1}{14} &\frac{6}{14} \\ -\frac{2}{14} & \frac{2}{14}\end{array}\right )=\left (\begin{array}{rrr}-\frac{9}{70} & \frac{1}{35}\\ \frac{2}{35} & \frac{3}{70}\end{array}\right ).$$

Смотрите также

  1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. — 431 с. — С. 95-98.
  2. Конспект Г.С.Белозерова. Глава 4 — 18 с. — С. 11 — 12.
  3. Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 134-137.

Обратимость матриц

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.

Координаты проекций вектора на оси координат и координатные плоскости

Пусть заданы точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ также определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$

Определение. Проекцией вектора $\overline{B_1B_2}$ называется вектор, полученный проектированием точек $B_1$ и $B_2$ на какую либо ось или плоскость.

Наша задача заключается в нахождении координат этой проекции. Прежде всего необходимо выяснить способ нахождения координат проекций точки. Например, спроектировав точку $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ на ось абсцисс, получим $B_{1x}\left(\alpha_1, 0, 0\right).$ Точно таким же образом получаем и точку $B_{2x}\left(\alpha_2, 0, 0\right):$

Понятно, что в случае плоскости проекция точки будет иметь две ненулевые координаты: $B_{1xy}\left(\alpha_1, \beta_1, 0\right)$ и $B_{2xy}\left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$ Для всех остальных плоскостей и осей аналогично. Теперь нам достаточно лишь воспользоваться формулой для вычисления координат вектора: $\overline{B_{1x}B_{2x}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, 0, 0\right),$ а, например, $\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, \beta_2 -\beta_1, 0\right).$

Для двумерного пространства разница будет заключаться лишь в том, что точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2\right)$ определяются двумя координатами. Рассуждения же остаются аналогичными.

Пример

Даны точки $A\left(-3, 2, 5\right)$ и $B\left(6, -3, -1\right),$ определяющие соответствующий вектор $\overline{AB}.$ Найти координаты проекций этого вектора на все координатные плоскости.

Решение

Вначале найдем проекции точек $A$ и $B$ на координатные плоскости. Например, на плоскости $xy$ точки имеют следующие координаты: $A_{xy}\left(-3, 2, 0\right),$ $B_{xy}\left(6, -3, 0\right).$

Аналогично для остальных плоскостей: $A_{yz}\left(0, 2, 5\right),$ $B_{yz}\left(0, -3, -1\right),$ $A_{xz}\left(-3, 0, 5\right),$ $B_{xz}\left(6, 0, -1\right).$ Теперь можно найти координаты проекций вектора $\overline{AB}:$ $$\overline{A_{xy}B_{xy}} = \left(6+3, -3-2, 0-0\right) = \left(9, -5, 0\right),$$ $$\overline{A_{yz}B_{yz}} = \left(0-0, -3-2, -1-5\right) = \left(0, -5, -6\right),$$ $$\overline{A_{xz}B_{xz}} = \left(6+3, 0-0, -1-5\right) = \left(9, 0, -6\right).$$

[свернуть]

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, $§$ 25, «Некоторые задачи» (стр. 79-80)
  2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, $§$ 7 «Выражение проекций вектора через координаты конца и начала» (стр. 136-137)
  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, $§$ 3, пункт 1, «Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось» (стр. 17)

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$, где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей суммы операторов будет сумма матриц этих операторов.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\:Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для него можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Be_{1}& = & b_{11}g_{1} & + & b_{21}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n1}g_{n},\\ Be_{2}& = & b_{12}g_{2} & + & b_{22}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Be_{m}& = & b_{1m}g_{1} & + & b_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & b_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Be_{j} =\sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $$B_{ge} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $C = A + B,\:$ где $C\in\Omega \left(X,\: Y\right).$ Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению оператора суммы) $$= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$)$$=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения оператора на число будет матрица этого оператора, умноженная на это число.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $ C = \lambda A,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Y\right)$, $\:\forall \lambda \in P$. Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения оператора на число) $$= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения операторов будет произведение матриц этих операторов.

Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$, $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$. Для оператора $A$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ae_{j} =\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $$A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(Y,\:Z\right)$. Для него можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Bg_{1}& = & b_{11}t_{1} & + & b_{21}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k1}t_{k},\\ Bg_{2}& = & b_{12}t_{2} & + & b_{22}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Bg_{n}& = & b_{1n}t_{1} & + & b_{2n}t_{2} & + & \cdots & + & b_{kn}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Bg_{i} =\sum_{f=1}^{k}b_{fi}t_{f},$$ где $i = \overline{1,\:n}$. Тогда, в базисах $\left \langle g \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $$B_{tg} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{matrix}\right).$$

Определим линейный оператор $C = BA,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Z\right)$. Для оператора $C$ можем записать систему:$$\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}t_{1} & + & c_{21}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k1}t_{k},\\ Ce_{2}& = & c_{12}t_{2} & + & c_{22}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}t_{1} & + & c_{2m}t_{2} & + & \cdots & + & c_{km}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$$Или можем записать кратко, через сумму:$$Ce_{j} =\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d},$$ где $j = \overline{1,\:m}$. Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $$C_{te} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{k1} & c_{k2} & \cdots & c_{km}\end{matrix}\right).$$

Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения операторов) $$= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$$ (используя равенство для $Bg_{i}$)$$= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$$Следовательно, получили равенство: $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$, то получаем следующее:$$c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$, с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$-ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$-ого столбца матрицы $A_{ge}$. Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$

Примеры решения задач

  1. Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{2}+x_{3},\:2x_{1}+x_{3},\:3x_{1}-x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}-x_{2}-x_{3},\:x_{1}-2x_{2}+x_{3},\:x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу суммы операторов $C = A + B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $C = A + B.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = A_{e} + B_{e}$, тогда имеем:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\3 & -2 & 2 \\4 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  2. Пусть задан оператор дифференцирования $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$. Найти матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ $\left( F\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right) \right)$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:\displaystyle x,\:\displaystyle x^{2},\:\displaystyle x^{3},\:\displaystyle x^{4}\right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$D_{e} = \left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$. По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = \sqrt{2}D_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = \sqrt{2}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\sqrt{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\sqrt{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  3. Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}-x_{2}+x_{3},\:x_{3},\:x_{2}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}+3x_{2},\:x_{1},\:x_{2}-x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(2,\:0,\:-1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right)\right \rangle.$$Найти матрицу произведения операторов $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $C = BA.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = B_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & 5 \\4 & -1 & 1 \\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  4. Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(2x_{1}-x_{2},\:3x_{1}+x_{3},\:2x_{2}-2x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (x_{1}+x_{3},\:x_{2}-x_{1},\:3x_{2}+x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу оператора $C = 2BA + 3A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $D = BA.$ По лемме матрица оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $D_{e} = B_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $F = 2D.$ По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = 2D_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = 2\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $G = 3A.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = 3A_{e}$, тогда имеем:$$G_{e} = 3\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right)\cdot$$

    Тогда, по лемме матрица оператора $C$ определяется равенством: $C_{e} = F_{e} + G_{e},$ получим:$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & -1 & -4 \\11 & 2 & 5 \\18 & 10 & -4\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]
  5. Пусть заданы три линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\:2x_{1}-x_{2},\:3x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{2}-3x_{3},\:x_{1}+x_{3},\:2x_{1}-3x_{2}\right ),$$$$C\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1},\:x_{2}-4x_{3},\:2x_{1}+6x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу оператора $D = A^{2} — 5B + 6C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
    Решение

    Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$ A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$$$C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $F = A^{2}.$ Матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = A_{e}A_{e}$, тогда имеем:$$F_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $G = -5B.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = -5B_{e}$, тогда имеем:$$G_{e} = -5\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right)\cdot$$

    Найдем матрицу оператора $H = 6C.$ По лемме матрица оператора $H$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $H_{e} = 6C_{e}$, тогда имеем:$$H_{e} = 6\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)\cdot$$

    Тогда, по лемме матрица оператора $D$ определяется равенством: $D_{e} = F_{e} + G_{e} + H_{e},$ получим:$$D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)=$$$$=\displaystyle\left(\begin{array}{rrr}31 & 8 & 15 \\-29 & 3 & -24 \\50 & 34 & 66\end{array}\right)\cdot$$

    [свернуть]

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Тест на знание темы «Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами».

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, cтр. 194-196
  2. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 384 стр. М.: Наука, 1984, стр. 189-190

Теорема о ранге матрицы

Теорема. Рангу матрицы соответствует наибольший порядок минора, не равный нулю.

Дана матрица $A= \|a_{ij}\| \in M_{m \times n}\left(P\right).$ Пусть максимально возможный порядок ненулевого минора равен $p.$ Следовательно, имеется хотя бы один минор $M,$ отличный от нуля, с порядком $p.$

Допустим, для удобства доказательства, минор $M$ находится в левой верхнем углу матрицы: $$\left(\begin{matrix}
a_{11} & \cdots & a_{1p} & a_{1p+1} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & \cdots & a_{2p} & a_{2p+1} & \cdots & a_{2n}\\
\dots& \dots& \dots& \dots & \dots & \dots\\
a_{p1} & \cdots & a_{pp} & a_{pp+1} & \cdots & a_{pn}\\
a_{p+11} & \cdots & a_{p+1p} & a_{p+1p+1} & \cdots & a_{p+1n}\\
\dots& \dots& \dots& \dots &\dots & \dots\\
a_{m1} & \cdots & a_{mp} & a_{mp+1} & \cdots & a_{mn}\\
\end{matrix}\right),
M =
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1p}\\
a_{21} & \cdots & a_{2p}\\
\dots& \dots& \dots\\
a_{p1} & \cdots & a_{pp}\\
\end{vmatrix}.$$

Рассмотрим первые $p$ столбцов матрицы. Если они составляют базу системы столбцов $A,$ тогда утверждение $\mathop{\rm rank} A = p$ справедливо. По определению базы системы векторов (столбцов), эта система должна быть линейно независимой. Предположим, выбранная система линейно зависима, что означает линейную зависимость столбцов минора. Из этого следует, что минор равен нулю по критерию равенства определителя нулю и определению минора. По условию $M \ne 0, $ возникает противоречие. То есть система столбцов линейно независима и, по определению ранга, $\mathop{\rm rank} A = p.$

Теперь докажем, что остальные столбцы матрицы линейно выражаются через первые $p.$ Рассмотрим определитель $p+1$ порядка: $$M’ =
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1p}& a_{1l}\\
a_{21} & \cdots & a_{2p}& a_{2l}\\
\dots& \dots& \dots&\dots\\
a_{p1} & \cdots & a_{pp}& a_{pl}\\
a_{i1} & \cdots & a_{ip}& a_{il}\\
\end{vmatrix}, $$ где $~i=\overline{1,m},~l=\overline{p+1,n}.$

При каком-либо $i$ детерминант равен $0.$ Докажем, что это так. Рассмотрим случай, когда $i=\overline{1,p}.$ Две строки определителя совпадают и тогда по свойству $M’ = 0.$ В случае, когда $i$ лежит между $p+1$ и $m,$ вспомогательный определитель $M’$ является минором матрицы $A$ и имеет порядок $p+1.$ Однако все миноры порядков больших $p$ равны $0,$ что подразумевается непосредственно в формулировке нашей теоремы, следовательно $M’ = 0.$

Можно получить данный минор, воспользовавшись теоремой о разложении определителя по строке. В данном случае разложим по последней. Имеем $$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{ip}A_{ip}+a_{ij}M = 0,$$ где $A_{i1}, A_{i2}, \dots, A_{ip}$ — алгебраические дополнения соответствующих элементов строки. Примечательно, что алгебраическим дополнением при $a_{ij}$ является $M.$ Далее $$a_{i1} \frac{A_{i1}}{M}+a_{i2}\frac{A_{i2}}{M} +\dots+a_{ip}\frac{A_{ip}}{M}+a_{ij} = 0.$$
$$a_{ij} = \left(-\frac{A_{i1}}{M}\right)a_{i1} +\left(-\frac{A_{i2}}{M}\right)a_{i2} +\dots+\left(-\frac{A_{ip}}{M}\right)a_{ip}.$$ Формально коэффициенты $\left(-\displaystyle\frac{A_{i1}}{M}\right), \dots, \left(-\displaystyle\frac{A_{ip}}{M}\right)$ зависят от номера $i,$ однако вычисляются независимо от него. Это некие константы, найти которые мы можем с помощью первых $p$ столбцов. Изменяя $i$ от $1$ до $p,$ можно получить весь столбец $l$ как линейную комбинацию первых $p$ столбцов. Теорема доказана.

Следствие 1. «Столбцовый» ранг матрицы $A$ совпадает со «строчным».
Чтобы сравнить соответствующие ранги, транспонируем матрицу. Её ранг при этом не изменится, так как в новой матрице значения всех миноров сохранились по свойству определителя транспонированной матрицы. В новой матрице рангом будет ранг строк исходной матрицы, которые стали столбцами после транспонирования. Таким образом, ранги столбцов и строк данной матрицы равны между собой.

Следствие 2. Из равенства нулю определителя матрицы следует, что столбцы матрицы линейно зависимы.
Пусть задана матрица $A = \|a_{ij}\| $ порядка $n$ большего единицы. По условию $\det A = 0,$ значит наибольший порядок отличного от нуля минора меньше $n$ и $\mathop{\rm rank} A < n.$ По свойству ранга система линейно зависима.

Значительно упрощает вычисление ранга метод окаймляющих миноров. Минор является окаймляющим, если содержит в себе минор меньшего порядка. Метод состоит в том, чтобы среди окаймляющих миноров каждого порядка поочередно искать ненулевые миноры. Рассмотрим на примере матрицы $3-$го порядка. Например, для ненулевого минора $\begin{vmatrix}a_{21}\end{vmatrix}$ окаймляющими будут миноры второго порядка $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ и $\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$ Если их значения равны $0,$ ранг матрицы равен $1,$ иначе переходим к следующему порядку. Определитель матрицы — единственный окаймляющий минор третьего порядка. Если он нулевой, ранг равен двум, иначе трём. Получается, мы действуем до тех пор, пока не найдем нулевые миноры или порядок ненулевого минора не совпадает с количеством столбцов(строк) матрицы.

Существует также метод элементарных преобразований, однако его преимущество только в поиске ранга матрицы, более о матрице мы ничего узнать не сможем. Данный метод следует применять на практике при работе с очень большими порядками и ограниченным количеством времени. Его суть в том, чтобы преобразовать матрицу к диагональному виду и узнать её ранг. Так как новая матрица будет эквивалентна данной матрице, её ранг будет рангом исходной матрицы по свойству ранга эквивалентных матриц.

Примеры решения задач

  1. Найти ранг матрицы $A$ методом окаймления миноров $$A = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 & -1 & 4 \\ 5 & -4 & -3 &1 & -5 \\ 3 & 2 & 1 & -1 & 3 \end{array} \right).$$
    Решение

    Выберем произвольный ненулевой минор первого порядка, например на пересечении $3$-й строки и $3$-го столбца. Тогда $m_1$(для удобства будем обозначать их так) $= 1 \ne 0.$ Теперь выберем минор второго порядка, окаймляющий $m_1.$ $$m_2 = \left|\begin{array}{rrr} -3 & 1 \\ 1 &-1 \end{array}\right| = 3-1 = 2 \ne 0. $$ Далее перейдем к минору третьего порядка. Вычислим его, разложив по первой строке . $$ m_3 = \left|\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 4\\ -3 & 1 & -5 \\ 1 & -1 & 3\end{array}\right| = \left(-1\right)^{1+1} \cdot 2 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 1 & -5 \\ -1 & 3 \end{array}\right| + $$ $$ + \left(-1\right)^{1+2} \cdot \left(-1\right) \cdot \left|\begin{array}{rrr} -3 & -5 \\ 1 & 3 \end{array}\right| + \left(-1\right)^{3+1} \cdot 4 \cdot \left|\begin{array}{rrr} -3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| = $$ $$ = 2\left(3-5\right) + \left(-9+5\right) + 4 \left(3-1\right) =-4-4 + 8 = 0. $$ Проверим ещё один окаймляющий минор третьего порядка $$m’_3 = \left|\begin{array}{rrr} 3 & 2 & -1\\ -4 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right| = \left(-1\right)^{1+1} \cdot 3 \cdot \left|\begin{array}{rrr} -3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| + $$ $$ + \left(-1\right)^{1+2} \cdot 2 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{array}\right| + \left(-1\right)^{3+1} \cdot -1 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{array}\right| = $$ $$ = 6-4-2 = 0. $$ Оба минора нулевые, то есть $\mathop{\rm rank} A = 2.$

    [свернуть]
  2. Найти ранг матрицы $A+C^2$, где $$A = \left(\begin{array}{rrr} -2 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right), C = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right).$$
    Решение

    Найдем матрицу $C^2.$ По определению произведения матриц: $$C^2 = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right).$$ Далее по определению суммы матриц: $$A+C^2 = \left(\begin{array}{rrr} -2 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{array} \right) + \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 0 & 5 & 4 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{array}\right).$$ Выберем произвольный ненулевой минор первого порядка, например $m_1 =-1.$ Окаймляющий его минор $$m_2 = \left|\begin{array}{rrr} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{array}\right| = 2 \ne 0.$$ Других окаймляющих второго порядка нет, возьмемся за минор порядка $3.$ $$ m_3 = \left|\begin{array}{rrr} 0 & 5 & 4 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 4\end{array}\right|= \left(-1\right)^{1+2} \cdot 5 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{array}\right| + \left(-1\right)^{3+1} \cdot 4 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{array}\right| = $$$$ =-15 + 8 =-7 \ne 0. $$ Значит $~\mathop{\rm rank} \left(A+C^2\right) = 3.$

    [свернуть]
  3. Дана матрица $$A = \left(\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 0 \\ \lambda & 4 & 5 \\ 0 & 8 & -6 \\ 11 & 0 & 7 \\ 2 & 7 & 1 \\ -3 & 1 & -2 \end{array} \right).$$ При каком $\lambda$ ранг матрицы будет равен $1? ~2?$
    Решение

    • Возьмём $m_1 = 3 \ne 0.$ Чтобы ранг матрицы был равен $1,$ необходимо, чтобы миноры второго порядка, окаймляющие выбранный нами, были равны $0.$ Итак: $$m_2 = \left|\begin{array}{rrr} 3 & -1 \\ \lambda & 4 \end{array}\right| = 12 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda =-12. $$
    • Чтобы ранг матрицы был равен $2,$ необходимо, чтобы миноры третьего порядка, окаймляющие выбранный нами, были равны $0.$ Заметим, теперь $\lambda \ne -12.$ $$m_3 = \left|\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 0\\ \lambda & 4 & 5 \\ 0 & 8 & 6 \end{array}\right| = \left(-1\right)^{1+1} \cdot 3 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 4 & 5 \\ 8 & 6 \end{array}\right| + \left(-1\right)^{2+1} \cdot \left(-1\right) \cdot \left|\begin{array}{rrr} \lambda & 5 \\ 0 & 6 \end{array}\right| = $$ $$ = 3\left(24-40\right) + 6\lambda = 0 \Rightarrow 6\lambda = 48 \Rightarrow \lambda = 8. $$

    [свернуть]
  4. Найти максимально линейно независимую подсистему системы векторов $$\alpha_1 = \left(3,-1,-3 \right), $$ $$\alpha_2 = \left(-7,2,5\right), $$$$ \alpha_3 = \left(5,1,11\right), $$$$ \alpha_4 = \left(1,-4,-23\right). $$
    Решение

    Запишем вектора как столбцы матрицы и найдем её ранг $$ \left(\begin{array}{rrr} 3 & -7 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -4 \\ -3 & 5 & 11 & -23 \end{array} \right).$$ Миноры $ \left|\begin{array}{rrr} 3 & -7 \\ -1 & 2 \end{array}\right|, \left|\begin{array}{rrr} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{array}\right| $ окаймляют ненулевой $-1.$ Но минор $ \left|\begin{array}{rrr} 3 & -7 & 5\\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 5 & 11 \end{array}\right| = 0$ (можно проверить, разложив по второй строке). Ранг матрицы не превышает $2.$ Таким образом, максимально линейно независимую подсистему образуют вектора $\alpha_1, \alpha_2.$

    [свернуть]
  5. Чему равно значение выражения $$6 \cdot {\mathop{\rm rank}}^2 A + 2 \mathop{\rm rank} A \cdot \mathop{\rm rank} B-13 \cdot {\mathop{\rm rank}}^2 B,$$ где $$ A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & -2 & 5 \\ 3 & 6 & 1 & 15 \\ -4 & 0 & -1 & -12 \\ -7 & 14 & 14 & -35 \\ 10 & 3 & -4 & 50 \end{array} \right), ~ B = \left(\begin{array}{rrr} 12 & 11 & -4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right)? $$
    Решение

    Начнем с матрицы $A. m_1 = 1, m_2 = 12, $ $$m_3 = \left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & -2 \\ 3 & 6 & 1 \\ -4 & 0 & -1 \end{array}\right| =-6 + 8-48-6 =-52. $$ Минор третьего порядка не равен $0.$ Значит перейдем к $4$-му порядку: $$m_4 = \left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & -2 & 5\\ 3 & 6 & 1 & 15 \\ -4 & 0 & -1 & -12 \\ -7 & 14 & 14 & -35 \end{array}\right| = 0. $$ Нам не пришлось долго вычислять минор, так как первая и четвертая строки пропорциональны, а значит линейно зависимы и детерминант равен $0 \Rightarrow \mathop{\rm rank} A = 3. $

    В матрице $B$ возникает аналогичная ситуация. $m_1, m_2 \ne 0,$ но $m_3$ имеет две линейно зависимой строки, следовательно этот минор нулевой по критерию равенства детерминанта нулю и $\mathop{\rm rank} B = 2.$

    Теперь мы знаем ранги матриц и просто подставляем в выражение: $$6 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2-13 \cdot 2^2 = 54 + 12-52 = 14.$$

    [свернуть]

Теорема о ранге матрицы

Тест на знание темы «Теорема о ранге матрицы».

Смотрите также

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, стр. 71-75
  2. А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, стр.88-89
  3. К. Д. Фадеев Лекции по алгебре М.: Наука, 1984 стр.113-115
  4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры — 2009 стр. 346-349
  5. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.