Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Пусть $latex A \not = \varnothing $, разбиением множества $latex A $ называется не пустое множество подмножеств $latex A_j \in A, j \in J $, такое, что выполняется два условия:
1. $latex \bigcup{} A_j= A, j \in J $.
2. $latex A_i \cap A_j= \varnothing $, для $latex i \not = j $.

Разбиение множества $latex S $ на классы $latex S_1, S_2, …,S_6 $.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников $latex A $ разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex A $.

2. Множество четырехугольников $latex B $ разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат — частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества $latex B $ не получено.

3. Дано множество прямых $latex C $ в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством $latex C $.

4. Дано множество $latex N $, которое можно разделить на два класса: $latex N_1 $ и $latex N_2 $, где $latex N_1 $ — множество натуральных четных чисел, а $latex N_2 $ — множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество $latex X $ разбито на три класса: $latex X_1 $, $latex X_2 $ и $latex X_3 $. $latex X_1 $ множество чисел, которые делятся на $latex 2 $, $latex X_2 $ — множество чисел, которые делятся на  $latex 3 $, $latex X_3 $ множество чисел, которые делятся на $latex 5 $. Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на $latex 2 $, $latex 3 $ и $latex 5 $. Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 48-49)
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 (Стр. 15-16)
• Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995

Разбиение на попарно непересекающиеся классы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Вопросы по изложенной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Множество всех углов можно разбить на подмножества прямых, тупых и
2. Задание 2 из 5

   2.

   Какие два условия должны выполниться для разбиения множества на классы?

   • $$ \cap A_j = A, j \in J $$ $$ A_i \cap A_j = \varnothing, i \not = j $$
   • $$ \cup A_j = A, j \in J $$ $$ A_i \cap A_j \not = \varnothing, i\not= j $$
   • $$ \cup A_j = A, j \in J $$ $$ A_i \cap A_j = \varnothing, i\not= j $$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Укажите два подмножества треугольников, которые пересекаются и не могут  образовывать разбиение:

   • разносторонние
   • равнобедренные
   • равносторонние
4. Задание 4 из 5

   4.

   Множество натуральных чисел разбили на два подмножества: числа в одном подмножестве делятся на 3, а в другом на — 9. Произошло ли разбиение?

   • Да
   • Нет
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вставьте пропущенное слово:

   • Разбиением называется не пустое множество, объединяющие в себе (непересекающиеся) классы

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Пример:
[latex]a_{1}=(1, 1, 1, 1)[/latex]
[latex]a_{1}=(1, -1, 0, 2)[/latex]
[latex]a_{1}=(2, 2, 1, -1)[/latex]
[latex]a_{1}=(0, 1, 3, 0)[/latex]

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:
[latex] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки  от второй отнимим первую умноженную на [latex]-1[/latex], от третьей отнимим первую умноженную на [latex]-2[/latex], а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу [latex]S_{2}[/latex] :
[latex] S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]
2) Теперь в матрице [latex]S_{2}[/latex], поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента [latex]a_{22}[/latex] была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу [latex]S_{3}[/latex] :
[latex] S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
3)В матрице [latex]S_{3}[/latex] анулируем все элементы под элементом [latex]a_{22}[/latex].
Поскольку вновь элемент [latex]a_{42}[/latex] нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на [latex]2[/latex]. Получим матрицу [latex]S_{4}[/latex] :
[latex] S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
4)Вновь поменяем в матрице [latex]S_{4}[/latex] строки 3 и 4 местами. Получим матрицу [latex]S_{5}[/latex] :
[latex] S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} [/latex]
5)В матрице [latex]S_{5}[/latex] прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу [latex]S_{6}[/latex], которая будет иметь треугольный вид:
[latex] S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}[/latex]

Системы [latex]S_{1}\sim S_{6}[/latex], их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank [latex]S_{1} =[/latex] rank [latex]S_{6} =4[/latex]

Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система [latex]S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}>[/latex] где [latex]e_{1}=(1, 0)[/latex], [latex]e_{2}=(0, 1)[/latex], [latex]e_{3}=(2, 1)[/latex] и [latex]e_{4}=(1.5, 3)[/latex]. Базой данной системы очевидно буду вектора [latex]e_{1}[/latex] и [latex]e_{2}[/latex], поскольку через них выражаются векторы [latex]e_{3}, e_{4}[/latex].
Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Литература:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 52-55.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с. 90-99.
3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

• Спасибо за прохождение теста!

максимум из 11 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 5

   Оцените, насколько вам помогла данная статья?

   • 1 2 3 4 5

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 2

   Базис сисетмы [latex]S[/latex] содержит 5 векторов. Чему равен ранг системы?

   • rank S= (5)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 2

   Дайте определение базы системы векторов

   • Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно зависимая подсистема.
   • Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема.
   • Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей система.
   • Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей база.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 2

   В каком случае вектор будет линейно зависимым?

   • Тогда, когда он будет линейно вырожаем через остальные вектора.
   • Тогда, когда он не равен другим векторам.
   • Тогда, когда элементы вектора не имеют общего дилетеля.
   • Тогда, когда через данный вектор можно линейно вырозить остальные вектора.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется такое результирующее множество пар вида $(x,y)$, построенных таким образом, что первый элемент из множества $A$, а второй элемент пары —  из множества $B$. Общепринятое обозначение:

$ A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

$ A\times B\times C = \{(x,y,z)|x \in A, y \in B, z \in C \}$

Произведения вида $  A\times A, A\times A\times A, A\times A\times A\times A$ и т.д. принято записывать в виде степени: $A^2, A^3, A^4$ (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, $  \mathbb{R}^n$ принято читать как «эр энное».

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если $A, B$ — конечные множества, то $A\times B$ — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.
2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): $|A\times B| = |A| \cdot |B|$.
3. $A^{np} \ne (A^n)^p$ — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров $1\times np$, во втором же — как матрицу размеров $n\times p$.
4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: $A\times B \ne B\times A$.
5. Ассоциативный закон не выполняется: $(A\times B)\times C \ne A\times (B\times C)$.
6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: $(A * B)\times C = (A\times C) * (B\times C), * \in \{\cap, \cup, \backslash \}$

Примеры

1. Положим $ A = \{1,2\}, B = \{3, 4\}$. Тогда результат декартова произведения можно записать так: $  A\times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$, а $  B\times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$
2. Если в предыдущем примере положить $B=A$, очевидно, что $  A\times B = B\times A = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
3. Возьмём $  A = \{x \in \mathbb{R}|0\leq x \leq 5\}, B = \{x \in \mathbb{R}|5\leq x \leq 10\}$. Тогда $  A\times B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|0\leq x \leq 5 \wedge 5\leq x \leq 10\}$
4. Множества декартова произведения могут и не быть привычными числовыми множествами: $A = \{\circ, \diamond\}, B = \{2,8\}, A\times B = \{(\circ,2),(\circ,8),(\diamond,2),(\diamond,8)\}$
5. Спойлер

   
   Множество точек некой функции $f(x)$ можно отождествить как подмножество множества $\mathbb{R}^2$: $F = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | f(x) = y\}$

   [свернуть]
6. Спойлер

   
   Множество клеток игрового поля «Морского боя» можно представить в виде декартова произведения множеств $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, B =\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$

   [свернуть]

Сферы использования

С помощью декартова произведения множеств определяется понятие бинарного отношения. Кроме этого, декартово произведение используется очень часто для обозначения множества числовых наборов, особенно в математическом анализе.

Часто говорят, например, что некая функция $f$ действует следующим образом: $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ (числовая функция $n$ переменных).

Список литературы

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
2. Ануфриенко С.А. — Введение в теорию множеств и комбинаторику. Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1998 (стр. 11-13).

Декартово произведение множеств

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Декартово произведение множеств».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Какая из представленных записей является правильной записью определения декартова произведения множеств?

   • $A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$
   • $A\times B = \{(x,y)|x \cdot y \in A \cap B\}$
   • $A\times B = \{(y,x)|x \in A, y \in B \}$
   • Никакая из представленных.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Выберите два правильно построенных декартова произведения.

   • $A=\{0, 1\}, B=\{a, b\}, A\times B = \{(0,a), (0, b), (1, a),$ $(1, b)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (2, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta) \}$
   • $A=\{f, g\} B = \{f\}, A\times B = \{(f, f), (f, g), (g, f), (g, g)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha) \}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Выберите правильное утверждение.
   $A,B,C$ — произвольные непустые множества.

   • $A^{np} \ne (A^n)^p$
   • $A\times B = B \times A$
   • $(A\times B) \times C = A \times (B \times C)$
   • $|A\times B| = |A| + |B|$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Выберите те пары, которые принадлежат произведению $A\times B$, где $A=\{x \in \mathbb{N} | 1 \le x \le 10\}$, а $B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 > 9\}$

   • $(3, 3.101), (9, 4), (1, -4)$
   • $(8, -7), (5, 14), (2, -12)$
   • $(4, -7), (5, -2.84), (7, -14)$
   • $(11, -7), (3, 9), (1, -17)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Запишите хотя бы одну пару, принадлежащую $A\times B$.
   Пример ввода: (2,3)
   $A = \{0, 3\}, B = \{-1, 1\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Отсортируйте произведения по количеству элементов в результирующих множествах (от большего к меньшему).

   • $A\times B$, причём $A = \mathbb{N}$, а $B = \{-3, 3, 18\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 9, 33\}$, а $B = \{-0.35, -0.45, -0.55\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{9, 81\}$, а $B = \{7, 49\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 2\}$, а $B = \{ \oplus \}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Кольцо

Пусть $R$- произвольное множество, $R\ne0$,  $»+»$,  $»\cdot»$- бинарные алгебраические операции  на $R$.
$(R,+,\cdot)$ называется кольцом, если выполнено:

1. $(R,+)$- абелева группа (аддитивная группа кольца);
2. Для любых $(R,+,\cdot) \in R$ выполняется:
   1. $a(b + c) = ab + ac$;
   2. $(b + c)a = ba + ca$.

Если операция $»\cdot»$ коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
$\forall a,b,c \in R$

1. Коммутативна: $a + b = b + a$;
2. Ассоциативна: $a + (b + c) = (a + b) + c$.

Операция умножения:
$\forall a,b,c \in R$

1. Коммутативна: $ab = ba$;
2. Ассоциативна: $a(bc) = (ab)c$.

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
$(a + b)c = ac + ab$.

Примеры:

1. $(Z,+,\cdot)$- кольцо целых чисел;
2. $(Q,+,\cdot)$- кольцо рациональных чисел;
3. $(R,+,\cdot)$- кольцо вещественных чисел;
4. $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}$.

Проверим, будет ли на множестве $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot)$ кольцо.
$(a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}]$
Значит $(Q[\sqrt{2}], +, \cdot)$ является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

1. $\forall a \in R $ $ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0,$ $a\cdot0 = a(0 + 0) =$ $ a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =$ $ a\cdot0 + ( — a\cdot0) =$ $ (a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =$ $ a\cdot0 = 0$
2. $\forall a,b \in R (-a)b = -ab$ $(-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0$
3. $d(a — b) = da — db$ $d(a — b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da — db$
4. $(a — b)d = ad — bd$ $(a — b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac — bc$
5. Если имеет единичный элемент 1, то $\forall a \in R$ $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

• Поздравляем Вы закончили тест!

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Если операция [latex]»\cdot»[/latex] коммутативна, то кольцо называется

   • (коммутативным)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 7

   2.

   [latex](R,+,\cdot)[/latex] называется кольцом, если выполнено:

   1. Для любых [latex](R,+,\cdot)\in R[/latex] выполняется:
      1. [latex]a(b+c)=ab+ac[/latex]
      2. [latex](b+c)a=ba+ca[/latex]
   2. [latex](R,+)[/latex] — __________

   • (абелева группа)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 7

   3.

   Установить соответствие

   Элементы сортировки

   • кольцо целых чисел
   • кольцо рациональных чисел
   • кольцо вещественных чисел

   • $(Z,+,\cdot)$

   • $(Q,+,\cdot)$

   • $(R,+,\cdot)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 7

   4.

   Установить соответствие:

   Элементы сортировки

   • $a\cdot0=$$0 \cdot\ $$a=0$
   • $a\cdot1=$$1\cdot \ $$a=a$
   • $(-a)b=-ab$

   • $\forall a\in R$

   • Если имеет единичный элемент $1$, то $\forall a\in R$

   • $\forall a,b\in R$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 7

   5.

   Для любых [latex](R,+,\cdot) \in R[/latex] выполняется:

   • $(a+b)c = ab + ac$
   • $a(b + c) = ab + ac$
   • $(b + c)a = ba + ca$
   • $b(c+a) = bc + ba$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 7

   6.

   Будет ли на множестве [latex](Q[\sqrt{2}],+,\cdot)[/latex] кольцо?

   • Да
   • Нет
   • Неизвестно
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 7

   7.

   [latex]d(a-b)=[/latex]

   • (da-db)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, с. 28-31
• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, с. 270-276