Пусть в пространстве заданы три точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right),$ $B\left(\alpha, \beta, \gamma\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ лежащие на одной прямой, причем $B$ не совпадает с $B_2.$ Если определить вектор $\overline{B_1B_2},$ то число $\lambda$ называется отношением, в котором точка $B$ делит $\overline{B_1B_2}.$ Причем, если $\lambda\gt 0,$ точка $B$ лежит между точками $B_1$ и $B_2,$ если $\lambda\lt 0,$ то $B$ находится вне отрезка, а если $\lambda = 0,$ то $B$ совпадает с $B_1.$

Однако задача заключается в нахождении координат точки $B,$ считая число $\lambda$ и координаты точек $B_1,$ $B_2$ известными. Для наглядности изобразим это в трехмерной системе координат и построим проекции точек $B,$ $B_1$ и $B_2$ на ось абсцисс:

Понятно, что проекции точек также определяют соответствующие вектора, поэтому точка, например $B_x,$ делит отрезок $B_{1x}B_{2x}$ также в отношении $\lambda.$ Учитывая формулы первой статьи, найдем координаты полученных векторов: $$\overline{B_{1x}B_x} = \left(\alpha-\alpha_1\right),$$ $$\overline{B_xB_{2x}} = \left(\alpha_2-\alpha\right).$$

Тогда на примере проекций точек на ось абсцисс найдем координаты $B_x:$ $$\alpha = \frac{\alpha_1 +\lambda\alpha_2}{1+\lambda},$$ $$\beta = \frac{\beta_1+\lambda\beta_2}{1+\lambda},$$ $$\gamma = \frac{\gamma_1+\lambda\gamma_2}{1+\lambda}.$$

Для проекций точек на остальные оси формулы аналогичны. В случае плоскости вся разница состоит в том, что точки $B,$ $B_1$ и $B_2$ определяются двумя координатами.

Зададим в трехмерной декартовой прямоугольной системе координат две точки $B_1$ и $B_2,$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right).$ Опустим из них перпендикуляры на плоскость $xy$ и получим точки $B_{1xy}$ и $B_{2xy}:$

Заметим, что прямые $B_1B_{1xy}$ и $B_2B_{2xy}$ параллельны оси аппликат, которая в свою очередь перпендикулярна плоскости $xy.$ Поэтому тот факт, что мы работаем именно в прямоугольной декартовой системе очень важен, так как в противном случае проекции не будут ортогональными. Итак, точки $B_{1xy}$ и $B_{2xy}$ определяют вектор $\overline{B_{1xy}B_{2xy}},$ который является ортогональной проекцией $\overline{B_1B_2}$ на плоскость $xy.$ Обозначим его следующим образом: $$\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = pr_{xy}\overline{B_1B_2}.$$

Рассмотрим некоторые свойства проекций. Для этого возьмем еще один произвольный вектор $\overline{A_1A_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right)$ и для векторов $\overline{B_1B_2}$ и $\overline{A_1A_2}$ определим операции сложения и умножения на константу: $$\overline{B_1B_2}+\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \gamma_1+\gamma_2\right),$$ $$\lambda\overline{B_1B_2} = \left(\lambda\alpha_1, \lambda\beta_1, \lambda\gamma_1\right),$$ $$\lambda\overline{A_1A_2} = \left(\lambda\alpha_2, \lambda\beta_2, \lambda\gamma_2\right).$$

Используя материалы второй статьи, найдем координаты проекций векторов на плоскость $xy:$ $$pr_{xy}\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_1, \beta_1, 0\right),$$ $$pr_{xy}\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$$

Тогда можно описать следующие свойства: $$pr_{xy}\left(\overline{B_1B_2}+\overline{A_1A_2}\right) = pr_{xy}\overline{B_1B_2}+pr_{xy}\overline{A_1A_2} = \left(\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, 0\right),$$ $$pr_{xy}\left(\lambda\overline{B_1B_2}\right) = \lambda pr_{xy}\left(\overline{B_1B_2}\right) = \left(\lambda\alpha_1, \lambda\beta_1, 0\right),$$ $$pr_{xy}\left(\lambda\overline{A_1A_2}\right) = \lambda pr_{xy}\left(\overline{A_1A_2}\right) = \left(\lambda\alpha_2, \lambda\beta_2, 0\right).$$

При построении проекции вектора на координатную ось, все рассуждения остаются аналогичными.

В трехмерной системе координат зададим две точки $B_1$ и $B_2.$ Рассмотрим вектора $\overline{OB_1}\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $\overline{OB_2}\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ где точка $O$ — начало координат.

Определение. Углом между двумя векторами называется наименьший угол, при повороте на который направление одного вектора совпадает с направлением второго.

Для нахождения угла между векторами $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}$ воспользуемся материалом первой статьи. Пусть точки $B_1$ и $B_2$ определяют вектор $\overline{B_1B_2}.$ Тогда $\overline{B_1B_2}$ представим в виде разности векторов $\overline{OB_2}$ и $\overline{OB_1}:$

Из рисунка видно, что искомый угол $B_1OB_2$ можно найти с помощью теоремы косинусов: $$\left|\overline{OB_2}-\overline{OB_1}\right|^2 = \left|\overline{OB_1}\right|^2 + \left|\overline{OB_2}\right|^2-2\cdot\left|\overline{OB_1}\right|\cdot\left|\overline{OB_2}\right|\cdot\cos \left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$

Теперь необходимо найти длины векторов. Опираясь на материал третьей статьи, имеем: $$\left|\overline{OB_1}\right| = \sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2},$$ $$\left|\overline{OB_2}\right| = \sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}.$$ Подставим результат в формулу: $$\left(\alpha_2-\alpha_1\right)^2 + \left(\beta_2-\beta_1\right)^2 + \left(\gamma_2-\gamma_1\right)^2 = \alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 + \\ + \alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2-2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right),$$ и упростим выражение: $$-2\left(\alpha_2\alpha_1 + \beta_2\beta_1 + \gamma_2\gamma_1\right) = -2\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}\cdot\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right).$$ Откуда:$$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2 + \gamma_1\gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2 + \gamma_2^2}}.$$ В случае двумерного пространства формула примет следующий вид: $$\cos\left(\overline{OB_1}, \overline{OB_2}\right) = \frac{\alpha_1\alpha_2 + \beta_1\beta_2}{\sqrt{\alpha_1^2 + \beta_1^2}\cdot\sqrt{\alpha_2^2 + \beta_2^2}}.$$

Пусть в пространстве заданы две точки $B_1\left(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2\right),$ определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$ Из точки $O,$ которая является началом координат, проведем два направленных отрезка $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2}.$

Данный рисунок представляет собой геометрическую интерпретацию нахождения разности двух векторов, которой мы и воспользуемся для выведения формулы. Также для удобства введем базисные векторы $i,$ $j,$ $k$ и, разложив по ним вектора $\overline{OB_1}$ и $\overline{OB_2},$ получим: $$\overline{B_1B_2} = \overline{OB_2}-\overline{OB_1} = \alpha_2i + \beta_2j + \gamma_2k-\left(\alpha_1i+\beta_1j+\gamma_1k\right) = \\ =\alpha_2i+\beta_2j+\gamma_2k-\alpha_1i-\beta_1j-\gamma_1k = \\=\left(\alpha_2i-\alpha_1i\right)+\left(\beta_2j-\beta_1j\right)+\left(\gamma_2k-\gamma_1k\right) = \\ = \left(\alpha_2-\alpha_1\right)i+\left(\beta_2-\beta_1\right)j+\left(\gamma_2-\gamma_1\right)k.$$

Отсюда видно, что для того, чтобы найти координаты вектора, необходимо из каждой координаты конца вычесть соответствующую координату начала: $$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1,\gamma_2-\gamma_1\right).$$

Для случая на плоскости формула примет следующий вид:$\overline{B_1B_2} = \left(\alpha_2-\alpha_1,\beta_2-\beta_1\right),$ где положение точек $B_1\left(\alpha_1,\beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2,\beta_2\right)$ определяется двумя координатами.

Рассмотрим свойства сопряженного оператора, которые связывают его с исходным линейным оператором:

1. $\Theta^*=\Theta$ $($в том случае, если $\Theta \in \Omega\left(X\right)),$
2. $E=E^*,$
3. ${\left(A^* \right)}^*=A,$
4. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C,$
5. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*,$
6. $\left(AB\right)^*=B^*A^*,$
7. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}.$

Заметим, что операторы $A$ и $B$ — произвольные, а черта над $\lambda$ означает комплексное сопряжение.

За исключением первых двух свойств, доказательство которых тривиально, докажем остальные свойства. Все они легко доказываются по одному шаблону, используя свойства линейных операторов, определение сопряженного оператора и свойства скалярного произведения.

3. $\left(A^*\right)^*=A$

   $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:
   $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=$$ (по определению сопряженного оператора) $$=\left(x,A^*y\right)= \overline{\left(A^*y,x\right)}=$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \overline{\left(y,Ax\right)} = \overline {\overline{\left(Ax,y\right)}} = (Ax,y).$$

   Получили равенство $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=\left(Ax,y\right).$$ Так как данное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $${\left(A^*\right)}^*x = Ax.$$ Аналогично, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ то $${\left(A^*\right)}^*=A.$$

4. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C$

   Если $A$ действует из $X \to Y,$ то $A^* \colon Y \to X$ и тогда $\overline{\lambda} A^*$ действует из $Y \to X.$ Рассмотрим скалярное произведение:

   $$\left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$$ (по определению операции над линейными операторами) $$= \left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right) =$$ (по свойству линейного оператора) $$ = \left(\left(\lambda A \right)x,y\right) = \lambda \left(Ax,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \lambda \left(x,A^*y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарных пространствах) $$ = \left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) = $$ (по операции умножения линейного оператора на константу) $$ = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right).$$

   Так как для $\forall x \in X,$ выполняется равенство $$\left(x,\left(\lambda A\right)^*y\right) = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right),$$ получаем $$\left(\lambda A\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*\right)y.$$ И так как полученное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $$\left(\lambda A\right)^* = \overline{\lambda} A^*.$$

5. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*$

   $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:

   $$\left(\left(A+B\right)x,y\right)=$$ (по определению операции сложения линейных операторов) $$= \left(Ax+Bx,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения) $$ = \left(Ax,y\right) + \left(Bx,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(x,A^*y\right) + \left(x,B^*y\right) = $$ (по по свойству скалярного произведения) $$ = \left(x,A^*y+B^*y\right) = $$ (по определению операции сложения линейного оператора) $$ = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$

   Получили $$\left(x\left(A+B\right),y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right),$$ или же $$\left(x,\left(A+B\right)^*y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$ Так как полученное равенство выполнимо $\forall x \in X,$ $$\left(A+B\right)^*y = \left(A^*+B^*\right)y.$$ И так как равенство также выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(A+B\right)^* = \left(A^*+B^*\right).$$

6. $\left(AB\right)^*=B^*A^*$

   Для доказательства этого свойства необходимо взять три унитарных пространства — $\left(X,C\right), \left(Y,C\right), \left(Z,C\right),$ и пусть существуют операторы $A \in \Omega\left(Z,Y\right),$ $B \in \Omega\left(X,Z\right),$ где $AB \in \Omega\left(X,Y\right).$ Следовательно, по определению сопряженного оператора, $A^* \in \Omega\left(Y,Z\right),$ $B \in \Omega\left(Z,X\right),$ и $B^*A^* \in \Omega\left(Y,X\right).$ Так же, пусть $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y.$ Тогда:

   $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(\left(AB\right)x,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(A\left(Bx\right),y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(Bx,A^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(x,B^*\left(A^*y\right)\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$

   Кратко запишем из равенства выше: $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = \left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$ Следовательно, так как равенство выполнимо для $\forall x \in X,$ $$\left(AB\right)^*y = \left(B^*A^*\right)y.$$ И так как равенство выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(AB\right)^* = \left(B^*A^*\right).$$

7. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}$

   Для этого доказательства нам потребуется обратимый оператор $A.$ Так же следует доказать обратимость оператора $A^*,$ но она следует из равенства единственности в теореме о существовании и единственности сопряженного оператора. Теперь, пусть $\forall x,y \in X,$ $\exists u,v \in X,$ для которых выполняется $Au=x,$ $A^*v=y.$ Составим равенство:

   $$\left(x,{\left(A^{-1}\right)}^*y \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(A^{-1}x,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(u,A^*v \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(Au,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(x,{\left(A^*\right)}^{-1}y\right).$$

   Следуя шаблону решений, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^*y = {\left(A^*\right)}^{-1}y,$$ и так как это равенство выполняется $\forall y \in Y,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^* = {\left(A^*\right)}^{-1}.$$

Смотрите также

1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)