Пусть [latex] A’,B’,C’,D’,E’,F’ [/latex] — середины сторон [latex] AB, BC, CD, DE, EF, FA [/latex] произвольного выпуклого шестиугольника [latex] ABCDEF [/latex]. Известны площади треугольников [latex] ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’ [/latex]. Найдите площадь шестиугольника [latex] ABCDEF [/latex]. рис.1
Решение
Заметим, что $$S_{ABC’}=(S_{ABC} + S_{ABD}) / 2,$$ поскольку все эти три треугольника имеют общее основание [latex] AB [/latex] (рис.1) высота [latex] \Delta ABC’ [/latex] равна полусумме высот [latex] \Delta ABC [/latex] и [latex] \Delta ABD [/latex] , опущенных на [latex] AB [/latex]. рис.2
Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма [latex]S\prime [/latex] площадей треугольника [latex] ABC’, BCD’, CDE’, DEF’, EFA’, FAB’ [/latex] равна сумме [latex]{ (S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 })/2[/latex], где [latex]S_{1}[/latex]- сумма площадей шести треугольников [latex] ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB [/latex], отрезаемых малыми диагоналями, а [latex]S_{2}[/latex] — сумма площадей треугольников [latex] ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB [/latex] полученных «циклическим сдвигом» вершин из [latex]\triangle ABS[/latex].С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении [latex]A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow …[/latex]) для площади [latex]S[/latex] шестиугольника получим равенство [latex]3S=S_{1}+S_{2}[/latex]. От сюда [latex]S=2S\prime /3[/latex].
Две окружности пересекаются в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. В точке [latex]A[/latex] к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках [latex]M[/latex] и [latex]N[/latex]. Прямые [latex]BM[/latex] и [latex]BN[/latex] пересекают окружности еще раз в точках [latex]P[/latex] и [latex]Q[/latex]([latex]P[/latex] — на прямой [latex]BM[/latex], [latex]Q[/latex] — на прямой [latex]BN[/latex]). Докажите, что отрезки [latex]MP[/latex] и [latex]NQ[/latex] равны.
Решение
Легко доказать, что треугольники [latex]MAP[/latex] и [latex]QAN[/latex] подобны. Несколько труднее — что они равны. Но и это можно сделать, используя лишь теоремы о величине вписанного угла, о величине угла между касательной и хордой, а также о величине угла между касательной и секущей (он равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла, рис. 1).
Рис.1
Пусть величины дуг [latex]AB[/latex] двух кругов (заключенных внутри кругов) равны [latex]2\phi[/latex] и [latex]2\psi[/latex] (для дуг, лежащих внутри углов [latex]MAB[/latex] и [latex]NAB[/latex] соответственно). Легко видеть, что [latex]\angle BNA = \angle QNA = \phi[/latex], а также [latex]\angle MPA = \phi[/latex] — как в случае, когда точки [latex]P[/latex] и [latex]N[/latex] лежат по одну сторону от прямой [latex]AB[/latex] (рис. 2), так и в случае, когда по разные (рис. 3, где [latex]\angle BPA = \pi — \phi[/latex]). Аналогично, [latex]\angle BMA = \angle PMA = \psi = \angle NQA[/latex]. Отсюда следует подобие [latex]\triangle MAP\sim \triangle QAN[/latex].
Рис. 2 Рис. 3
Докажем, что [latex]AP = AN[/latex]. Проверим, что эти хорды стягивают разные дуги. Величина дуги [latex]ABN[/latex] (как и [latex]ABM[/latex]) равна [latex]2\phi + 2\psi[/latex], т. е. точки [latex]A[/latex] и [latex]N[/latex] делят окружности на дуги [latex]2\phi + 2\psi[/latex] и [latex]2\pi — 2\phi — 2\psi[/latex]. Дугу [latex]AP[/latex] можно найти рассмотрев угол [latex]\angle AMB = \phi[/latex] как угол между касательной и секущей : величина этой дуги, лежащей внутри угла, равна [latex]2\phi + 2\psi[/latex] на рисунке 2 и [latex]2\pi — 2\phi — 2\psi[/latex] на рисунке 3, т. е. точки [latex]A[/latex] и [latex]P[/latex] делят окружность на такие же дуги [latex]2\phi + 2\psi[/latex] и [latex]2\pi — 2\phi — 2\psi[/latex]. Аналогично, [latex]AQ = AM[/latex]. Отсюда следует, что [latex]\triangle MAP=\triangle QAN[/latex] и [latex]MP = QN[/latex].
На сторонах [latex]AC[/latex] и [latex]BC[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex] выбраны точки [latex]D[/latex] и [latex]E[/latex]. Известно, что равны отношения величин углов: [latex]\dfrac{\angle CDE}{\angle BDE} = \dfrac{\angle CED}{\angle AED}.[/latex]
Верно ли, что треугольник [latex]ABC[/latex] равнобедренный, если [latex]AE[/latex] и [latex]BD[/latex]
медианы
высоты
биссектрисы этого треугольника?
Решение:
Ответ во всех трех случаях положителен.
Рассмотрим треугольники [latex]ABC[/latex] и [latex]ABE[/latex] — с общим основанием [latex]AB[/latex] и равными высотами: если, например угол [latex]A[/latex] в [latex]ABD[/latex] больше угла [latex]B[/latex] в [latex]ABE[/latex], то угол [latex]DBA[/latex] (в треугольнике [latex]DBA[/latex] ) меньше угла [latex]EAB[/latex] (в треугольнике [latex]EAB[/latex] ). Значит, если [latex]\angle CDE > \angle CED[/latex], то [latex]\angle BDE < \angle AED[/latex] — и равенство задачи невозможно. Замечание. Из приведенного рассуждения следует, что в любом треугольнике к большей стороне проведена меньшая медиана.
Из условий следует, что треугольник [latex]ABC[/latex] остроугольный.
Поскольку [latex]\dfrac{{\alpha }_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\alpha }_{1}} = \dfrac{{\beta}_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\beta}_{1}}[/latex], то [latex]{\alpha }_{1}={\beta}_{1}.[/latex]
Значит, [latex]CD=CE, \Delta CDB=\Delta CEA, CB=CA.[/latex]
Можно рассуждать и по-другому. Опишем около четырехугольника [latex]CDEO[/latex], где [latex]O[/latex] — точка пересечения [latex]AE[/latex] и [latex]BD[/latex], окружность. Из равенства условия следует, что точка [latex]D[/latex] делит полуокружность [latex]CDO[/latex] в том же отношении,
что точка [latex]E[/latex] — полуокружность [latex]CEO[/latex]. Значит, [latex]DO=OE, \angle DCO = \angle ECO.[/latex] Следовательно, [latex]\angle CAB = \angle CBA.[/latex]
[latex]{\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=\pi — \gamma;, {\alpha }_{2}+{\beta}_{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\gamma}{2}.[/latex]
Получили: [latex]{\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=2({\alpha }_{2}+{\beta}_{2})=k{\alpha }_{2}+{\beta}_{2})[/latex]. Отсюда [latex]k=2.[/latex]
Пусть биссектрисы углов [latex]CDE[/latex] и [latex]CED[/latex] пересекаются в точке [latex]{O}_{1}[/latex]. Так как [latex]\angle {O}_{1}DE={\alpha}_{2}, \angle {O}_{1}ED={\beta}_{2}[/latex], то [latex]O{O}_{1} \perp DE[/latex]. С другой стороны точки [latex]O[/latex] и [latex]{O}_{1}[/latex] лежат на биссектрисе угла [latex]C[/latex]. Значит, в треугольнике [latex]CDE[/latex] биссектриса угла [latex]C[/latex] совпадает с высотой, [latex]{\alpha }_{1}={\beta}_{1}, \angle CAE=\angle CBD[/latex], т.е. [latex]\angle A = \angle B.[/latex]
Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям $latex XOY,~XOZ,~YOZ $, четвертая проходит через плоскость $latex P=4x+6y+3z-12=0 $, и имеет вершину в точке $latex O(0,~0,~0) $.
Спойлер
Найдем точки пересечения плоскости $latex \mathbf{P} $ с осями координат.
Это точки $latex A(3,~0,~0)$, $latex B(0,~2,~0) $ и $latex C(0,~0,~4) $.
Найдем векторы $latex \mathbf{\overline{AB}} $ и $latex \mathbf{\overline{AC}} $.
Выберем в линейном пространстве [latex]K[/latex], заданном над полем [latex]P[/latex], конечное число векторов [latex]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, …, \vec{e_{n}}[/latex].
Определение
Вектор вида [latex]\alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+…+\alpha_{n}\vec{e_{n}}[/latex] называется линейной комбинацией векторов [latex]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, …, \vec{e_{n}}[/latex], где [latex]\alpha_{1}, \alpha_{2}, …, \alpha_{n} \in P[/latex].
Определение
Множество всех линейный комбинаций векторов [latex]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, …, \vec{e_{n}}[/latex] называется линейной оболочкой.
Определение
Если непустое подмножество [latex]F[/latex] пространства [latex]K[/latex] само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в [latex]K[/latex], то [latex]F[/latex] называется линейным подпространством (обозначается [latex]F \le K[/latex]).
Теорема (критерий подпространства)
[latex]F[/latex] является линейным подпространством [latex]K[/latex], если выполняются такие условия:
Если векторы [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{b}[/latex] принадлежат [latex]F[/latex], то [latex]\vec{a} + \vec{b}[/latex] тоже принадлежат [latex]F[/latex].
[latex]\forall \vec{a}, \vec{b} \in F: \vec{a} + \vec{b} \in F[/latex].
Если вектор [latex]\vec{a}[/latex] принадлежит [latex]F[/latex], то и [latex]\alpha\vec{a}[/latex] тоже принадлежит [latex]F[/latex].
[latex]\forall \vec{a} \in F[/latex], [latex]\forall \alpha \in P:[/latex] [latex]\alpha \vec{a} \in F[/latex]
Спойлер
Если [latex]F[/latex] линейное подпространство [latex]K[/latex], значит [latex]F[/latex] — линейное пространство, соответственно оно замкнуто относительно умножения и сложения векторов на скаляры.
Докажем теперь в обратную сторону. [latex]\vec{a} \in F[/latex]. По второму свойству [latex]0\cdot \vec{a}=\vec 0[/latex] принадлежит [latex]F[/latex]. Так же по второму свойству любой вектор из [latex]F[/latex] содержит в [latex]F[/latex] противоположный себе вектор [latex]-1 \cdot \vec{a}=- \vec{a}[/latex]. Выходит [latex]- \vec{a} + \vec{a}= \vec 0 \in F[/latex]
[свернуть]
Спойлер
[latex]\left \{ 0 \right \}[/latex] — подпространство любого пространства [latex]F[/latex]
[latex]f_{n}[x][/latex] — подпространство [latex]f_{m}[x][/latex], если [latex]n\le m[/latex]
[свернуть]
Спойлер
Условие
Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства следующая совокупность векторов:
все векторы [latex]n[/latex]-мерного векторного пространства, координаты которых целые числа?
Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
максимум из 10 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 6
Все [latex]n[/latex]-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой. Является ли данная совокупность векторов линейным подпространством пространства [latex]\mathbb{R}_{n}[/latex]?
Если (непустое) подмножество некоторого пространства само является линейным пространством относительно операций сложения и (умножения) векторов на (скаляр, число), определенных в данном пространстве, то это подмножество называется линейным подпространством.
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 2
Сопоставить термин и его значение
Элементы сортировки
Вектор вида $\alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{e_{n}}$, где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} \in P$
Множество всех линейный комбинаций векторов $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}$
Непустое подмножество некоторого пространства, которое само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в данном пространстве
рис.1
рис.2
