Задача из журнала «Квант» М1611 ( 1997, выпуск №5)

Задача:

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке $C$, а вторую — в точке $D$. Пусть $M$ и $N$
— середины дуг $BC$ и $BD$, не содержащих точку $A$, а $K$ — середина отрезка $CD$. Докажите, что угол $MKN$ прямой.
(Можно считать, что точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от точки $A$)

Решение:

Пусть $N_{1}$ — точка, симметричная точке $N$ относительно $K$ (см. рисунок).

Тогда $\bigtriangleup KCN_{1} = \bigtriangleup KDN$, поэтому $CN_{1} = ND$ и $\angle N_{1}CK = \angle NDK = \pi — \angle ABN$. Заметим ещё, что $\angle MCK = \pi — \angle ABM$. Складывая полученные равенства, находим, что $\angle N_{1}CM = \angle MBN$. Кроме того, из условия следует, что $CM = MB$ и $BN = ND$ (т.е. $BN = CN_{1}$). Значит, $\bigtriangleup MCN_{1} = \bigtriangleup MBN$, откуда $MN_{1} = MN$. Отрезок $MK$ — медиана в равнобедренном треугольнике $MNN_{1}$, поэтому $\angle MKN = 90^{\circ}$.

Замечание:

Задача имеет много других решений. Например, можно воспользоваться подобием треугольников $MEK$ и $KFN $, где $E $ и $F$ — середины отрезков $BC$ и $BD$ соответственно. Эти треугольники имеют две пары взаимно перпендикулярных сторон
($EK$ и $FN$, $ME$ и $KF$), следовательно, перпендикулярны и их третьи стороны.

Кроме того, соображения, использующие композицию поворотов, позволяют отказаться от дополнительного условия в задаче (о том, что точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от $A$), которое было задано лишь затем, чтобы избежать разбора различных случаев. Действительно, рассмотрим композицию поворотов $R^{\beta}_{M} \circ R^{\alpha}_{N}$ — на углы $\alpha = \angle DNB$ и $\beta = \angle BCM$ вокруг точек $N$ и $M$ соответственно (углы предполагаются ориентированными). Заметим, что $\alpha + \beta = 180^{\circ}$, поэтому $R^{\beta}_{M} \circ R^{\alpha}_{N} = Z_{x}$ — центральная симметрия относительно некоторой точки $X$. Но
$Z_{x}(D) = \left(R^{\beta}_{M} \circ R^{\alpha}_{N} \right) = R^{\beta}_{M}(B) = C$,
поэтому $X$ — середина отрезка $CD$, т. е. точка $K$. Если $N_{1} = Z_{K}(N)$, то $N_{1} = \left(R^{\beta}_{M} \circ R^{\alpha}_{N} \right) \left( N \right)$, т. е. $\bigtriangleup NMN_{1}$ — равнобедренный и $\angle MKN = 90^{\circ}$.

Д. Терешин

Пусть $f(x)$— некоторый многочлен ненулевой степени. Может ли оказаться, что уравнение $f(x)=a$ при любом значении a имеет четное число решений?
Ответ: не может.
Покажем, что в любом случае найдется такое а, что уравнение $f(x)=a$ имеет нечетное число решений. Пусть $t_1,t_2,…,t_k$— точки, в которой меняется знак производной $f'(x)=a$ (таких точек конечное количество, так как все они — корни $f'(x)=a$). Таким образом, на каждом из интервалов $(-\infty,t_1),(t_1,t_2),…,(t_k,+\infty)$ функция $f(x)$ монотонна, и в точках $t_1,t_2,…,t_k$ происходит смена интервала возрастания на интервал убывания или наоборот.
Пусть степень многочлена $f(x)$ нечетна. Учитывая, что $\lim\limits_{x_\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x_\to-\infty}f(x)$— бесконечности разных знаков, получаем, что при любом а уравнение $f(x)-a=0$ имеет нечетное количество корней, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак. Достаточно выбрать а отличное от $f(t_1),f(t_2),…,f(t_k)$, тогда уравнение $f(x)-a=0$ не имеет других корней(т.е. корней, в которых $f(x)-a$ сохраняет знак). Случай нечетной степени многочлена $f(x)$ можно разобрать и по-другому, заметив, что при достаточно большом а уравнение $f(x)=a$ имеет ровно одно решение.

Пусть степень многочлена $f(x)$ четна. Учитывая, что $\lim\limits_{x_\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x_\to-\infty}f(x)$— бесконечности одного знака, получаем, что при любом а уравнение $f(x)-a=0$ имеет четное количество корней, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак. Поскольку $f'(x)=a$ многочлен нечетной степени, то $f'(x)=a$ меняет знак в нечетном числе точек, т.е. k нечетно. Отсюда следует, что найдется такое a, что в наборе $f(t_1),f(t_2),…,f(t_k)$ нечетное количество чисел, равных a. Для найденного значения a уравнение $f(x)=a$ имеет нечетное число решений— четное количество, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак, и нечетное количество, в которых функция $f(x)-a$ не меняет знак(см. рисунок).

П.Кожевников

Задача из журнала «Квант» (1996, №6)

Условие

Дана прямоугольная доска [latex]ABCD[/latex] со сторонами [latex]AB=20[/latex] и [latex]BC=12[/latex], разбитая на [latex]20\times12[/latex] единичных квадратов. Пусть [latex]r[/latex] — данное положительное целое число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно [latex]\sqrt{r}[/latex]. Требуется найти последовательность ходов, переводящую монету из единичного квадрата с вершиной [latex]A[/latex] в единичный квадрат с вершиной [latex]B[/latex].

1. Докажите, что это невозможно, когда [latex]r[/latex] делится на [latex]2[/latex] или на [latex]3[/latex].
2. Докажите, что это можно сделать при [latex]r=73[/latex].
3. Можно ли это сделать при [latex]r=97[/latex]?

Решение

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке [latex]A[/latex] и направим оси [latex]Ax[/latex] и [latex]Ay[/latex] вдоль отрезков [latex]AB[/latex] и [latex]AD[/latex] соответственно. Единица длины будет равна стороне единичного квадрата. Нам необходимо найти путь из точки [latex](0;0)[/latex] в точку [latex](19;0)[/latex] такой, что для каждого хода [latex](x;y)\rightarrow(x+a,y+b)[/latex] выполняется равенство [latex]a^2+b^2=r^2[/latex].

Задание №1

Если [latex]r[/latex] чётно, то для каждого целого решения уравнения [latex]a^2+b^2=r^2[/latex] сумма [latex]a+b[/latex] чётна. Для каждой точки [latex](x;y)[/latex], в которую можно попасть из [latex](0;0)[/latex], [latex]x+y[/latex] чётно. Следовательно, в точку [latex](19;0)[/latex] попасть невозможно.

Задание №2

Один из примеров продвижения монеты из [latex](0;0)[/latex] в [latex](19;0)[/latex] при [latex]r=73[/latex] такой: [latex](0;0)\rightarrow(3;8)\rightarrow(11;5)\rightarrow(19;2)\rightarrow(16;10)\rightarrow(8;7)\rightarrow(0;4)\rightarrow(8;1)\rightarrow(11;9)\rightarrow(3;6)\rightarrow(11;3)\rightarrow(19;0)[/latex]

Задание №3

Пусть [latex]R=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq19,0\leq{j}\leq19\right\}[/latex], [latex]P=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq49,4\leq{j}\leq7\right\}[/latex], [latex]Q[/latex] — их разность: [latex]Q=R\setminus{P}[/latex]. Так как число [latex]97[/latex] представимо в виде суммы квадратом единственным образом: [latex]9^2+4^2[/latex], то каждый ход состоит из одного из векторов [latex](\pm4;\pm9)[/latex], [latex](\pm9;\pm4)[/latex]. Ход типа [latex](\pm9;\pm4)[/latex] приводит нас в точку [latex]Q[/latex] из точки из множества [latex]P[/latex] и наоборот, тогда как ход [latex](\pm4;\pm9)[/latex] не выводит нас из множества [latex]Q[/latex] (заметим, что за один шаг нашими ходами нельзя попасть из точки из [latex]P[/latex] в точку из [latex]P[/latex]). Каждый ход типа [latex](\pm9;\pm4)[/latex] изменяет чётность [latex]x[/latex]-координаты, поэтому, чтобы попасть из [latex](0;0)[/latex] в [latex](19;0)[/latex], требуется нечётное число таких ходов. Каждый такой ход от точки из [latex]P[/latex] в точку из [latex]Q[/latex] и наоборот. Значит после нечётного числа ходов из точки [latex](0;0)\in{Q}[/latex] попадаем в точку из [latex]P[/latex], но [latex](19;0)\in{Q}[/latex]. Поэтому требуемое невозможно.

Д. Терешин

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Имеются [latex]N[/latex] карточек, на которых написаны различные(неизвестные) числа. Они расположены на столе по кругу числами вниз. Надо найти три какие-нибудь лежащие рядом карточки такие, что число, написанное на средней карточке, больше, чем на каждой из двух соседних. При этом разрешается перевернуть последовательно не более [latex]k[/latex] карточек. Докажите, что это возможно, если:

а) [latex]N=5, k=4[/latex]; б)[latex]N=76, k=10[/latex]; в)[latex]N=199, k=12 [/latex];

Решение

а) «Откроем» среди [latex]5[/latex] чисел, расположенных по окружности, два числа [latex]a < b[/latex], стоящих на расстоянии [latex]2[/latex] друг от друга, и еще одно, соседнее с большим из них — [latex]c[/latex]. Из соображений симметрии, можно считать, что [latex]c 79, f_{12}=223 > 199,[/latex] это даст решения задач б) и в). Для этого докажем сначала индукцией по [latex]k[/latex], что в ряду[latex]a, … ,b, … ,c[/latex]

из [latex]f_k + f_{k-1}+1= f_{k+1} + 1[/latex] чисел, где известны [latex]a, b, c,[/latex] причем [latex]d — [/latex] наибольшее и находится от [latex]a[/latex] и [latex]c[/latex] на расстоянии [latex]f_{k-1}[/latex] и [latex]f_{k-2}[/latex], можно найти нужную тройку за [latex]k-1[/latex] попытку. Для [latex]k = 2[/latex](для ряда из четырех чисел [latex]a, b, ., c[/latex]) это очевидно. Пусть вплоть до некоторого значения [latex]k-1[/latex] то доказано. Рассмотрим данный ряд и «откроем» число [latex]d[/latex], находящееся на расстояниях [latex]f_{k-1}[/latex] от [latex]a[/latex] и [latex]f_{k-2}[/latex] от [latex]b[/latex]:

[latex]a, … , d, …, b, … , c[/latex]

Если [latex]d > b[/latex], то мы можем применить предположение индукции к [latex]f_k + 1[/latex] числам [latex]a, … , d , … , b, [/latex]а если [latex]d < b[/latex] — то к числам [latex]d, … , b, … , c :[/latex] за [latex]k-2[/latex] попытки среди них найдется нужная тройка.

Теперь среди [latex]f_k = f_{k-1} + f_{k-2} = 2f_{k-2} + f_{k-3}[/latex] чисел по окружности достаточно «открыть» два числа [latex]a < b[/latex] на расстоянии [latex]f_{k-2}[/latex] и число [latex]c[/latex], находящееся на расстоянии [latex]f_{k-2}[/latex] от [latex]a[/latex] и [latex]f_{k-3}[/latex] от [latex]b[/latex]. По соображениям симметрии, можно считать, что [latex]b > c[/latex]. По доказанному выше, среди идущих подряд [latex]f_{k-2} + f_{k-3} + 1 = f_{k-1} + 1 [/latex] чисел [latex]a, … , b, … , c[/latex] за [latex]k-3[/latex] попытки можно найти нужную тройку.

В. Протасов, А. Заславский

 

Задача из журнала «Квант» (1997, №2)

Условие

Центры [latex]A, B, C[/latex]  и  трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек [latex]A, B, C[/latex] проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1.

Так как данные окружности  имеют одинаковые радиусы, то

[latex]AC[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=CA[/latex]_{[latex]2[/latex]}, [latex]BA[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=AB[/latex]_{[latex]2[/latex]}, [latex]CB[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=BC[/latex]_{[latex]2[/latex]},

или

[latex]AB[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]+B[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=CB[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]+B[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]2[/latex]},
[latex]BC[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]+C[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=AC[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]+C[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]2[/latex]},
[latex]CA[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]+A[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=BA[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]+A[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]2[/latex]},

Сложив полученные равенства и заметив, что

[latex]A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]2[/latex]}, [latex]B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]1[/latex]} [latex]=B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]2[/latex]}, [latex]C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]1[/latex]}[latex]=C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]2[/latex]}

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

[latex]AC[/latex]_{[latex]4[/latex]} [latex]=C[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]B[/latex], [latex]BA[/latex]_{[latex]4[/latex]} [latex]=A[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]C[/latex], [latex]CB[/latex]_{[latex]4[/latex]} [latex]=B[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]A[/latex],

(так как радиусы данных окружностей равны), получим

[latex]B[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+C[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+A[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]3[/latex]} [latex]=B[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]A[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+C[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]B[/latex]_{[latex]3[/latex]}[latex]+A[/latex]_{[latex]4[/latex]}[latex]C[/latex]_{[latex]3[/latex]}

Замечания.1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.