Определение. Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$ и точка $x_0 \in (a, b)$. Говорят, что функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, если
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f (x_0).$$

Замечание. В отличие от определения предела функции $f$ в точке $x_0$, здесь мы требуем, чтобы функция $f$ была определена не только в проколотой окрестности точки $x_0$, а в целой окрестности точки $x_0$. Кроме того, $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$ не просто существует, а равен определенному значению, а именно, $f(x_0)$.

Используя определение предела функции в смысле Коши, определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ в кванторах можно записать следующим образом:
$$\forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0 : \forall x \in (a, b) : |x−x_0| < \delta \Rightarrow \\ \Rightarrow |f(x)−f(x_0)| < \varepsilon.$$
В этом определении можно не требовать выполнения условия $|x−x_0| > 0$, т. к. при $|x−x_0| = 0$ неравенство $|f(x)−f(x_0)| < \varepsilon$, очевидно, выполнено.

Так как величина $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$ зависит лишь от тех значений, которые функция $f$ принимает в сколь угодно малой окрестности точки $x_0$, то непрерывность — это локальное свойство функции.

В терминах окрестностей определение непрерывности выглядит следующим образом.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для всех $x \in U$ значение $f(x) \in V$ , т. е. $f(U \cap (a, b)) \subset V$.

Применяя определение предела функции в смысле Гейне, определение непрерывности можно сформулировать так.

Определение. Функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, называется непрерывной в точке $x_0 \in (a, b)$, если любая последовательность аргументов $\{x_n\} \space (x_n \in (a, b), x_n \to x_0)$ порождает последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$, стремящуюся к $f(x_0)$.

Применяя понятие одностороннего предела (т. е. предела слева и справа) в точке $x_0$, можно дать определения непрерывности слева (справа) в точке $x_0$. Именно, функция $f$ называется непрерывной слева (справа) в точке $x_0$, если $\displaystyle \lim_{x \to x_0−0} f(x) = f(x_0) (\lim_{x \to x_0+0} f(x) = f(x_0))$. При этом в определении непрерывности слева достаточно считать, что функция $f$ определена лишь в левой полуокрестности точки $x_0$, т. е. на $(a, x_0]$, а для непрерывности справа — на $[x_0, b)$.

Легко видеть, что справедливо следующее

Утверждение. Для того, чтобы функция $f$ была непрерывной в точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы $f$ была непрерывной слева и справа в точке $x_0$.

Определение. Функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, называется разрывной в точке $x_0 \in (a, b)$, если $f$ не является непрерывной в этой точке.

Итак, функция $f$ является разрывной в точке $x_0$, если выполнено одно из двух следующих условий.

1. Либо не существует $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$.

2. Либо предел $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$ существует, но он не равен $f(x_0)$.

Пример 1. $f(x) \equiv C = Const$. Эта функция непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$, т. к. для любого $x \in \mathbb{R} \space |f(x)−f(x_0)| = 0$.

Пример 2. $f(x) = x^2, −\infty < x < +\infty, x_0 \in \mathbb{R}$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда из неравенства
$$|x^2-x_0^2| \leq (|x|+|x_0|)|x-x_0|$$
следует, что при $|x−x_0| < \delta = \min{\Bigr(1, \frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\Bigl)}$ справедливо неравенство $|x^2-x_0^2| < \varepsilon$, т. е. $\displaystyle \lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2$, а значит, функция $f(x) = x^2$ непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Пример 3. $f(x) = \sqrt{x}, \space 0 \leq x < +\infty$. Если $x_0 \in (0, +\infty)$, то
$$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| = \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \leq \frac{1}{\sqrt{x_0}} |x-x_0| < \varepsilon,$$
если только $|x-x_0| < \delta \equiv \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon$. Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 > 0$. В точке $x_0 = 0$ можно ставить вопрос о непрерывности справа. Имеем $|\sqrt{x}-\sqrt{0}| = \sqrt{x} < \varepsilon \space$, если только $0 \leq x < \delta \equiv \varepsilon^2$. Итак, $\displaystyle \lim_{x \to 0+} \sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}$, т. е. функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна справа в точке $0$.

Пример 4. $f(x)=\sin{x}, -\infty < x < +\infty$. Пусть $x_0 \in \mathbb{R}$. Тогда
$$|\sin{x}−\sin{x_0}| = \Bigg|2\cos{\frac{x+x_0}{2}}\sin{\frac{x-x_0}{2}}\Bigg| \leq \\ \leq 2\Bigg|\sin{\frac{x-x_0}{2}}\Bigg| \leq |x−x_0|,$$
где последнее неравенство в этой цепочке следует из доказанного выше неравенства $|\sin{t}| \leq |t| \space (0 < |t| < \pi/2)$. Можем считать, что $|x−x_0| < \pi$. Тогда при $|x−x_0| < \delta \equiv \min{(\pi, \varepsilon)}$ справедливо $|\sin{x}−\sin{x_0}| < \varepsilon$, т. е. функция $f(x) = \sin{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Аналогично доказываем, что функция $f(x) = \cos{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Пример 5. $f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}}$ при $x \neq 0$ и $f(0) = 0$. Покажем, что функция $f$ непрерывна в точке $x_0= 0$. Имеем $f(0) = 0$ и
$$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}} = 0$$
(т. к. $|f(x)−0| = |x \sin{\frac{1}{x}}| \leq |x| < \varepsilon$, если только $|x−0| = |x| < \delta \equiv \varepsilon$). Итак, $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, так что $f$ непрерывна в точке $0$.

Пример 6. $f(x) = \operatorname{sign} x, x \in R$. Если $x_0 \neq 0$, то функция $f$ постоянна в некоторой окрестности точки $x_0$ и, следовательно, непрерывна в этой точке. Если же $x_0 = 0$, то не существует предела функции $f$ при $x \to 0$. Значит, функция $f$ разрывна в точке $0$. Более того, $\displaystyle \lim_{x \to 0+} \operatorname{sign} x = 1, \lim_{x \to 0−} \operatorname{sign} x = −1, \operatorname{sign} 0 = 0$, так что функция $\operatorname{sign} x$ разрывна в точке $0$ как слева, так и справа.

Пример 7. Рассмотрим функцию Дирихле
$$\begin{equation*}D(x) = \begin{cases} 1, \quad x \in \mathbb{Q}, \\ 0, \quad x \in \mathbb{R \setminus Q}. \end{cases} \end{equation*}$$
Пусть $x_0 \in \mathbb{R}$. Покажем, что не существует предела функции $D$ при $x \to x_0$. Для этого выберем последовательность $\{x^\prime_n\}$ отличных от $x_0$ рациональных чисел, стремящуюся к $x_0$. Тогда $D(x^\prime_n) = 1$ и, значит, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} D(x^\prime_n) = 1$. Если же взять последовательность $\{x^{\prime\prime}_n\}$, отличных от $x_0$ иррациональных чисел, стремящуюся к $x_0$, то получим, что $D(x^{\prime\prime}_n) = 0$ и $\displaystyle \lim_{n \to \infty} D(x^{\prime\prime}_n) = 0$. В силу определения предела функции по Гейне получаем, что функция $D$ не имеет предела в точке $x_0$. Так как $x_0 \in \mathbb{R}$ — произвольная точка, то это означает, что функция Дирихле разрывна в каждой точке.

Пример 8. $f(x) = x \cdot D(x), \space x \in \mathbb{R}$. Функция $f$ разрывна в каждой точке $x_0 \neq 0$. В самом деле, если $\{x^\prime_n\}$ и $\{x^{\prime\prime}_n\}$ соответственно последовательности рациональных и иррациональных отличных от $x_0$ чисел, стремящиеся к $x_0$, то $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x^\prime_n) = 0$ и $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x^{\prime\prime}_n) = 0$, так что, в силу определения предела функции по Гейне, функция $f$ не имеет предела в точке $x_0$. Если же $x_0 = 0$, то $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. Действительно, $|f(x)| = |x \cdot D(x)| \leq |x| < \varepsilon$, если только $|x−0| = |x| < \delta \equiv \varepsilon$. Это означает, что данная функция непрерывна в единственной точке $x_0 = 0$.

Непрерывные функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили эту тему и закрепите свои знания по ней, пройдя тест.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Доопределить функцию $\displaystyle f(x) = \frac{x^3-1}{x^2-1}$ в точке $x_0 = 1$ до непрерывной, после чего узнать ее значение в этой точке.

   • $\displaystyle \frac{1}{2}$
   • $\displaystyle \frac{3}{2}$
   • $\displaystyle \frac{2}{3}$
   • $1$
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Сформулируйте определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ в терминах кванторов.

   • $\forall \varepsilon > 0$
   • $\exists \delta = \delta ( \varepsilon ) > 0 :$
   • $\forall x \in (a, b) :$
   • $|x − x_0| < \delta \Rightarrow$
   • $|f(x) − f(x_0)| < \varepsilon$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Дополните следующее утверждение.

   • Для того, чтобы функция f была непрерывной в некоторой точке x, необходимо и достаточно, чтобы f (была непрерывной слева и справа) в этой точке.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Выберите $2$ условия, при выполнении хотя бы одного из которых, функция $f$ является разрывной в точке $x_0$.

   • Существование $\displaystyle \space \lim_{x \to x_0} f(x)$
   • $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) \space$ не существует
   • $\displaystyle \exists \lim_{x \to x_0} f(x) : \lim_{x \to x_0 } f(x) = f (x_0)$
   • $\displaystyle \exists \lim_{x \to x_0} f(x) : \lim_{x \to x_0 } f(x) \neq f (x_0)$
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Сперва доопределив функцию $\displaystyle f(x) = \frac{1-\cos{x}}{x^2}$ до непрерывной в точке $x_0 = 0$, запишите ее значение в этой точке в виде правильной или десятичной дроби (без целой части).

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана непрерывная неотрицательная функция $f$. Рассмотрим криволинейную трапецию, или подграфик функции $f$. Будем вращать эту трапецию вокруг оси $Ox$. Полученное тело вращения обозначим через $E$. Выведем формулу для его объема. Разобьем отрезок $\left[a,b\right]$ точками $a= x_0 < x_1 <\ldots < x_n = b$ и обозначим $m_i = \inf f(x), M_i = \sup f(x)$. В результате вращения получаем два прямых круговых цилиндра и один “цилиндр” с криволинейной образующей. Объемы меньшего и большего круговых цилиндров равны соответственно $\pi m_i^2\Delta x_i$ и $\pi M_i^2\Delta x_i$. Из круговых прямых цилиндров составим две области: одна из них имеет объем \underline{V}=$\pi\sum\limits_{i=1}^{n-1}m_i^2\Delta x_i$ ,а другая $\overline{V}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n-1}M_i^2\Delta x_i$ (Если у Вас возникли проблемы, то просмотрите этот материал Суммы Дарбу). Ясно, что наше тело вращения $E$ содержит в себе меньшее из этих кусочно цилиндрических тел и содержится в большем кусочно цилиндрическом теле. Таким образом, объем $V$ тела $E$ удовлетворяет неравенству \underline{V} $\leq$ V $\leq$ $\overline{V}$. Понятно, что суммы \underline{V} и $\overline{V}$ соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла $\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx.$, так что они обе стремятся к этому интегралу при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Итак, мы получаем следующую формулу для нахождения объема тела вращения:

$$V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx$$

Примеры решения задач

• Пример 1.Найти объем тела вращения вокруг оси абсцисс ограниченного функциями $y=2x-x^2, o<x<2;$
  
  Решение

  Выполним чертеж:

  

  Объем тела вращения:

  $V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx = \pi\int\limits^2_0 (2x-x^2)^2\,dx$ =
  =$\pi\int\limits^2_0 4x^2-4x^3+x^4\,dx = \pi (\frac{32}{3}-16 +\frac{32}{5}) =\frac{ 16\pi}{15}$

• Пример 2.Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры ограниченной линиями $y=2x+1$, $y=x+4$, $x=0$, $x=1$.
  
  Решение

  $$V=V_1 — V_2$$

  Найдем фигуру ограниченную сверху прямой $y=x+4$ :

  $$ V_1 = \pi\int\limits^1_0 (x+4)^2\,dx = \pi (\frac{x^3}{3}+4x^2 +16x)|_0^1 =\frac{61\pi}{3}$$

  Найдем фигуру ограниченную сверху прямой $y=2x+1$ :

  $$ V_2 = \pi\int\limits^1_0 (2x+1)^2\,dx = \pi (\frac{4x^3}{3}+2x^2 +x)|_0^1 =\frac{61\pi}{3} =\frac{13\pi}{3}$$
  $$ V = \frac{61\pi}{3} — \frac{13\pi}{3} = 16\pi$$

Объем тела вращения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 4

   Какая(-ие) формулы для объема тела вращения на промежутке $[a,b]$ верны:

   • $V=\int\limits^a_b f(x)^2\,dx$
   • $V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx$
   • $V=-\pi\int\limits^b_a f(x)^2\,dx$
   • $V=-\pi\int\limits^a_b f(x)\,dx$
   Правильно 4 / 4Баллы

   Ответ верный

   Неправильно / 4 Баллы

   Попробуйте еще раз
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями $y=2x-x^2$ , $y=0$ вокруг оси $Ox$ .

   • $\frac{16\pi}{3}$
   • 16
   • $\frac{5}{\pi}$
   • 0
   Правильно
   

   Верно, Вы справились с трудной задачей

   Неправильно
   

   Возможно Вам повезет в следующий раз
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Найдите соотвествие

   Элементы сортировки

   • если это ось симметрии фигуры.
   • равен 0.
   • как Ox так и Oy.

   • Ось вращения может и пересекать фигуру

   • Объем тела вращения для функции y=const . На промежутке $a \leq x \leq a$

   • Ось вращения может быть

   Правильно
   

   Хорошая работа!

   Неправильно
   

   Всего есть 9 вариантов для создания пары…
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Что такое тор?

   • Декартовое произведение 2х окружностей
   • Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её
   • Не знаю
   • Геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного
   Правильно
   

   Слишком легко

   Неправильно
   

   Попробуйте еще раз
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Чему равен интеграл $\pi\int\limits^a_a f(x)^2\,dx$ ?
   Правильно
   

   Неправильно
   

См. также

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. Раздел 28.3
• Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. Раздел 8.4
• Сайт с разбором задач для заочников