Необходимые понятия
Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$, $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$, что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$.
Формула Дирихле. Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — ядро Дирихле.
Используя формулы $(1)$ и $(2)$, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left ( n+\frac{1}{2} \right ) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t dt = 0 \quad (3)$$
Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $$ \lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0<\delta <\pi. \quad (4)$$
Сходимость ряда Фурье в точке
Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$.
Так как функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условию Гёльдера, то при $\alpha > 0$ и $0 < t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).
Запишем при заданном $\delta > 0$ равенства $(3)$ и $(4)$. Умножая равенство $(4)$ на $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и вычитая результат из равенства $(3)$, получаем $$ \lim\limits_{n \to \infty} (S_n(x_0) — \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} — \\ — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\delta}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n + \frac{1}{2} \right )t \, dt ) = 0. \quad (5)$$
Из условия Гёльдера следует, что функция $$\Phi(t)= \frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}}.$$ абсолютно интегрируема на отрезке $[0,\delta]$. В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции $\Phi(t)$ справедливо следующее неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac{2c_0t^{\alpha }}{\frac{2}{\pi}t} = \pi c_0t^{\alpha — 1} (6)$, где $\alpha \in (0,1]$.
В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства $(6)$ следует, что $\Phi(t)$ абсолютно интергрируема на $[0,\delta].$
В силу леммы Римана $$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{\delta}\Phi(t)\sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t\cdot dt = 0 .$$
Из формулы $(5)$ теперь следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} .$$
Следствие 1. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$.
Следствие 2. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$
Следствие 3. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $$\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$$
Признак Дини
Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$, если
- 1) существуют конечные левый и правый пределы $\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$
- 2) $f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$
Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$$
тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$, т.е. $$ \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
Для частичной суммы $S_n(x)$ ряда Фурье имеет место интегральное представление $(1)$. И в силу равенства $\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$
Тогда имеем $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0-t)-f(x_0-0))D_n(t) \, dt. \quad(7)$$
Очевидно, что теорема будет доказана, если докажем, что оба интеграла в формуле $(7)$ имеют пределы при $n \to \infty $ равные $0$. Рассмотрим первый интеграл: $$I_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$
В точке $x_0$ выполняется условие Дини: сходится несобственный интеграл $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t} \, dt .$$
Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta \in (0, h)$ такое, что $$\int\limits_{0}^{\delta }\frac{\left | f(x_0+t)-f(x_0+0) \right |}{t}dt < \frac{\varepsilon }{\pi }.$$
По выбранному $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ интеграл $I_n(x_0)$ представим в виде $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, где
$$A_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\delta }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\int\limits_{\delta}^{\pi }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$
Рассмотрим сначала $A_n(x_0)$. Используя оценку $\left | D_n(t) \right |<\frac{\pi}{2t},$ для любого $t \in (0,\pi)$, получаем, что $$\left | (f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \right | \leq$$ $$\leq \frac{\pi}{2} \cdot \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}$$
для всех $t \in (0, \delta)$.
Поэтому $$A_n(x_0) \leq \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\delta } \frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt< \frac{\varepsilon }{2}. $$
Перейдем к оценке интеграла $B_n(x_0)$ при $n \to \infty $. Для этого введем функцию $$ \Phi (t)=\left\{\begin{matrix}
\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{2\sin \frac{t}{2}}, 0< \delta \leq t \leq \pi, \\
0, -\pi\leq t< \delta .
\end{matrix}\right. $$
$$B_n(x_0)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi (t) \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t\,dt.$$ Получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty }B_n(x_0)=0$, а это означает, что для выбранного ранее произвольного $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)| < \varepsilon $, т.е. $$\lim\limits_{n \to \infty }I_n(x_0)=0.$$
Совершенно аналогично доказывается, что и второй интеграл формулы $(7)$ имеет равный нулю предел при $n \to \infty $.
Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$, то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$
На отрезке $[-\pi,\pi]$ найти тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end{matrix}\right.$
Исследовать сходимость полученного ряда.
Продолжая периодически $f(x)$ на всю вещественную ось, получим функцию $\widetilde{f}(x)$, график которой изображен на рисунке.
Так как функция $f(x)$ нечетна, то $$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0;$$
$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac{2}{\pi k}(1- \cos k\pi)$$
$$b_{2n}=0, b_{2n+1} = \frac{4}{\pi(2n+1)}.$$
Следовательно, $\tilde{f}(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.$
Так как ${f}'(x)$ существует при $x\neq k \pi$, то $\tilde{f}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb{Z}.$
В точках $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$, функция $\widetilde{f}(x)$ не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.
Полагая $x=\frac{\pi}{2}$, получаем равенство $1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \ldots + \frac{(-1)^n}{2n+1}+ \ldots = \frac{\pi}{4}$.
Найти ряд Фурье следующей $2\pi$-периодической и абсолютно интегрируемой на $[-\pi,\pi]$ функции:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac{x}{2}|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, и исследовать на сходимость полученного ряда.
Так как ${f}'(x)$ существует при $ x \neq 2k \pi$, то ряд Фурье функции $f(x)$ будет сходиться во всех точках $ x \neq 2k \pi$ к значению функции. Очевидно, что $f(x)$ четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать косинусы. Найдем коэффициент $a_0$. Имеем $$\pi a_0 = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \,- \, 2\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \, — \, 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos \frac{x}{2}dx=$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2}\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{t}{2}dt = \pi\ln 2 + \frac{\pi a_0}{2},$$ откуда $a_0= \pi \ln 2$.
Найдем теперь $a_n$ при $n \neq 0$. Имеем $$\pi a_n = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\cos nx \ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x+\sin (n-\frac{1}{2})x}{2n \sin\frac{x}{2}}dx=$$ $$= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \begin{bmatrix}
D_n(x)+D_{n-1}(x)\\ \end{bmatrix}dx.$$
Здесь $D_n(x)$- ядро Дирихле, определяемое формулой (2) и получаем, что $\pi a_n = \frac{\pi}{n}$ и, следовательно, $a_n = \frac{1}{n}$. Таким образом, $$-\ln |
\sin \frac{x}{2}| = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}, x \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$
Литература
- Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
- Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267
Тест по материалу данной темы:
