Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Зависимость функций

Определение 1.

Пусть на множестве [latex]G\subset \mathbb{R}^n[/latex] заданы непрерывно дифференцируемые функции $$y_{i}=\varphi _{i},\varphi(x),\quad i=1,2,…,m,\quad x=(x_{1},…,x_{n})\in G.$$ 

Функция [latex]\varphi _{m}[/latex] называется зависимой на множестве [latex]G[/latex] от функции [latex]\varphi _{1},…,\varphi _{m-1}[/latex], если существуют множество [latex]D[/latex] в пространстве [latex]\mathbb{R}_{y_{1},…,y_{m-1}}^{m-1}[/latex] и непрерывно дифференцируемая на множестве [latex]D[/latex] функция [latex]\Phi (y_{1},…,y_{m-1})[/latex] такие, что в любой точке [latex]x\in G[/latex] выполняются условия [latex](\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x))\in D[/latex] и [latex]\Phi (\varphi_{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x))=\varphi _{m}(x)[/latex].

Определение 2.

Функция системы называется зависимой на множестве [latex]G[/latex], если хоть одна функция системы [latex]y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,…,m, x=(x_{1},…,x_{n})\in G[/latex] зависит от остальных, в противном случае она независима. 
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет  матрица Якоби этой системы. $$\frac{\partial (y_{1},…,y_{n})}{\partial (x_{1},…,x{n})},\quad i=1,2,…,m;\quad j=1,2,…,n,$$

Теорема (необходимое условие зависимости функций)

Пусть система функций [latex]y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,…,m, x=(x_{1},…,x_{n})\in G[/latex]  зависима на множестве [latex]G[/latex] и [latex]m\leq n[/latex]. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше [latex]m[/latex].

Доказательство

По условию теоремы, функция зависима на множестве [latex]G[/latex], следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть [latex]\varphi_{m}[/latex] зависит от [latex]\varphi _{m},…,\varphi_{m-1}[/latex]: $$\varphi _{m}(x)=\Phi (\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x)),\quad x\in G,$$ где [latex]\Phi[/latex]-непрерывно дифференцируемая функция от [latex](m-1)[/latex] аргументов [latex]y_{1},…,y_{m-1}[/latex]. Следовательно $$\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{j}}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\partial \Phi }{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}\ для\ всех\ j=1,2,…,n. $$ Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке [latex]x\in G[/latex].

Следствие 1

Пусть функция системы зависима на множестве [latex]G[/latex] и [latex]m=n[/latex] , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества [latex]G[/latex].

Следствие 2

Пусть [latex]m\leq n[/latex] и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.

Используемая литературa

Тесты

Зависимость функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал.

Таблица лучших: Зависимость функции

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть [latex]f_{n}[/latex] — последовательность интегрируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций, поточечно сходящаяся к функции [latex]f[/latex]. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] предельной функции [latex]f[/latex] и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть [latex]\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }[/latex] — последовательность всех рациональных точек из отрезка [latex]\left[0;1\right][/latex]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция [latex]f_{n}[/latex] интегрируема на отрезке [latex]\left[0;1\right][/latex], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва [latex]\left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}[/latex]. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке [latex]\left[0;1\right][/latex].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

Спойлер

Из примера 1 легко получить пример, который показывает, что сумма функционального ряда, слагаемые которого интегрируемы, не обязана быть интегрируемой.
Действительно, положим [latex]u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)[/latex], [latex]u_{1}(x)=f_{1}(x)[/latex], [latex]u_{2}(x)=f_{2}(x)-f_{1}(x)[/latex].
Частичные суммы ряда [latex]s_{n}(x)=f_{n}(x)[/latex]. И [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=f(x)[/latex].

[свернуть]

Пример 2

Положим [latex]f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n[/latex], а на отрезках [latex]\left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right][/latex] функция [latex]f_{n}[/latex] — линейна. Мы видим, что [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right][/latex], так что предельная функция [latex]f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right])[/latex] интегрируема и [latex]\int_{0}^{1}f(x)dx=0[/latex]. С другой стороны, очевидно, что [latex]\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}[/latex], поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

Спойлер

Пример 2 позволяет построить ряд из интегрируемых функций такой, что предельная функция интегрирума, но равенство не выполняется.

[свернуть]

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность [latex] \left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] из непрерывных на отрезке [latex]\left[a;b\right ][/latex] функций, равномерно сходится к [latex]f(x)[/latex] на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

Спойлер

По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N[/latex] и [latex]\forall x\in \left [ a, b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}[/latex]. Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех [latex]n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx — \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon [/latex]
Теорема доказана.

[свернуть]

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть [latex]\left \{ u_{n} \right \}[/latex] — последовательность непрерывных на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций такова, что ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

Спойлер

Действительно, функции [latex]f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)[/latex] непрерывны как суммы конечного числа непрерывных функций [latex]u_{k}[/latex], и последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда, по предыдущей теореме, $$\sum_{k=1}^{n}\int\limits_{a}^{b}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx.$$

[свернуть]
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть [latex]\left\{f_{n}\right\}[/latex] — последовательность интегрируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции [latex]f[/latex]. Тогда предельная функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

Спойлер

Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что [latex]\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на [latex]\left[a;b\right][/latex] функции [latex]f[/latex]. Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] тогда и только тогда, когда [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod[/latex] — разбиения отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex], диаметр которого [latex]d\left ( \prod \right )< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где [latex]\omega _{i}(f)[/latex] — колебания функции [latex]f[/latex] частичных отрезках [latex]\left[x_{i};x_{i+1}\right][/latex]. Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex] и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], найдем такое N, что [latex]\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon [/latex]. Если [latex]\forall n\geq N[/latex], то $$\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении [latex]\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon [/latex], так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости [latex]f_{n}[/latex], т.е. [latex]\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta [/latex], первое слагаемое справа будет меньшим, чем [latex]\varepsilon [/latex]. Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex].
1

[свернуть]

Литература

  1. В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» часть 2 стр. 42-51
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 2 стр. 90-100
  3. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. «Курс математического анализа» стр. 422 – 425
  4. Демидович Б. П. 1997 г. стр. 269-280

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Определение

Пусть [latex]f[/latex] — действительная функция на открытом множестве [latex]E\subset\mathbb{R}^{n}[/latex]. Говорят, что [latex]f[/latex] имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}\in E[/latex], если существует такая окрестность [latex]U[/latex] точки [latex]x_{0}[/latex], что для всех [latex]x\in U[/latex] выполняется неравенство [latex]f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right)[/latex].

Локальный максимум называется строгим, если окрестность [latex]U[/latex] можно выбрать так, чтобы для всех [latex]x\in U[/latex], отличных от [latex]x_{0}[/latex], было [latex]f\left(x\right)<f\left(x_{0}\right)[/latex].

Аналогично определяется локальный минимум. Оба объединяются под общим названием локального экстремума.

Необходимые условия экстремума

Пусть [latex]f[/latex] — действительная функция на открытом множестве [latex]E\subset\mathbb{R}^{n}[/latex]. Если в точке [latex]x_{0}\in E[/latex] функция [latex]f[/latex] имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

в терминах дифференциала

[latex]df\left(x_{0}\right)=0[/latex]

или в терминах частных производных

[latex]\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0[/latex].

Доказательство

В одномерном случае это — теорема Ферма. Обозначим [latex]\varphi\left(t\right)=f\left(x_{0}+th\right)[/latex], где [latex]h[/latex] — произвольный вектор. Функция [latex]\varphi[/latex] определена на достаточно малых по модулю значениях [latex]t[/latex]. Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и [latex]{\varphi}’\left(t\right)=df\left(x_{0}+th\right)h[/latex].

Пусть [latex]f[/latex] имеет локальный экстремум в точке [latex]x_{0}[/latex]. Значит, функция [latex]\varphi[/latex] при [latex]t=0[/latex] имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, [latex]{\varphi}’\left(0\right)=0[/latex].

Мы получили, что [latex]df\left(x_{0}\right)=0[/latex], т.е. дифференциал функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex] равен нулю на любом векторе [latex]h[/latex].

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

$k$-й дифференциал является однородным целым многочленом степени $k$, или как говорят, является формой $k$-й степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные $k$-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (полиномиальные коэффициенты).

Объяснение

Пусть в области $D$ задана некоторая функция $u=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)$, имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Дифференциалом  $du$ будем называть следующее выражение:

$$du=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$$,

где  $dx_{1},…,dx_{n}$ — произвольные приращения независимых переменных  $x_{1},…,x_{n}$.

Предположим, что существуют непрерывные частные производные второго порядка для  $u$, то есть $du$ будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о дифференциале от этого дифференциала $d\left(du\right)$, который называется дифференциалом второго порядка, и обозначается символом  $d^{2}u$.

Важно, что приращения  $dx_{1},dx_{2},…,dx_{n}$ остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, будем иметь:

$d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}\right)$$=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\right)dx_{1}+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right)dx_{2}+…+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)dx_{n}$.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, $d^{3}u$, и т.д. Вообще, если дифференциал  $\left(k-1\right)$-го порядка, $d^{k-1}u$, уже определен, то дифференциал  $k$-го порядка можно определить реккурентной формулой :

$$
d^{k}u=d\left(d^{k-1}u\right)
$$

Иными словами, если для функции $u$ существуют непрерывные частные производные всех порядков до $k$-го порядка включительно, то $k$-й дифференциал существует.
 

Пример

Спойлер

Рассмотрим вычисление дифференциалов в общем случае(до четвертого порядка):
Если $u=f\left(x,y\right)$, то

$d^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}dx^{2}+2\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}dy^{2}$,

$d^{3}u=\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}dx^{3}+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}dxdy+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}dxdy+\frac{\partial^{3}u}{\partial y^{3}}dy^{3}$,

$d^{4}u=\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}dx^{4}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}dx^{3}dy+6\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}dx^{2}dy^{2}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x\partial y^{3}}dxdy^{3}+\frac{\partial^{4}u}{\partial y^{4}}dy^{4}$

и т.д.

[свернуть]

Свойства дифференциалов высших порядков

  • Дифференциал $n$-го порядка независимой переменной при $n>1$ равен нулю

$d^{n}\left(x\right)=0$

Предположим, что существуют $d^{n}u$ и $d^{n}v$. Тогда:

  • $d^{n}\left(Au+Bv\right)=Ad^{n}u+Bd^{n}v$

A, B — константы, следовательно

  • $d^{n}uv=\sum\limits_{k=1}\limits^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v$

Литература

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

Определение стационарной точки(для функции многих переменных)

В терминах частных производных

Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль.
[latex] \left.\begin{matrix}\\{f_{x_{1}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\{f_{x_{2}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\…………………….\\{f_{x_{n}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\end{matrix}\right\}[/latex]

В терминах дифференциалов

Если функция [latex]f\left(x\right)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex] и [latex]df\left(x^{0}\right)=0[/latex], то точка [latex]x^{0}[/latex] называется стационарной точкой функции [latex]f\left(x\right)[/latex].

Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.

Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме

Пример

Показать, что [latex]\left(0,0\right)[/latex] является стационарной точкой функции [latex]f\left(x,y\right)=xy[/latex], но [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума этой функции.

График функции [latex]z=xy[/latex].

1234

Так как [latex]df\left(x,y\right)=ydx+xdy[/latex], то [latex]df\left(0,0\right)=0[/latex] и [latex]\left(0,0\right)[/latex] есть стационарная точка функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex]. Но для любого [latex]\delta>0[/latex] точки [latex]\left(\delta,\delta,\right)[/latex] и [latex]\left(\delta,-\delta,\right)[/latex] лежат в круге [latex]S_{2\delta}\left(0,0\right)[/latex] и

[latex]f\left(\delta,\delta\right)=\delta^{2}>f\left(0,0\right)=0[/latex],

[latex]f\left(\delta,-\delta\right)=-\delta^{2}<f\left(0,0\right)=0[/latex].

Поэтому [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex].

Литература

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных