Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex]. Тогда ее полное приращение в точке [latex]a[/latex] можно записать в виде

[latex]\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,[/latex]

где [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex]. Из этого представления следует, что существует предел

[latex]\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0[/latex],

означающий, что функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex].

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Теорема 1 (Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани)

Для того, чтобы последовательность функций [latex]f_{n}(x)[/latex], определенных на множестве [latex]E[/latex], сходилась равномерно к функции [latex]f(x)[/latex] на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid=0\quad (1)[/latex]

Необходимость

Пусть [latex]f_{n}\rightrightarrows f[/latex] на [latex]E[/latex]. Покажем, что [latex]\delta_{n}=\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\rightarrow 0[/latex] при [latex]n\rightarrow\infty[/latex].
Имеем, что [latex]\forall\varepsilon >0[/latex] существует такой номер [latex]\exists n_{\varepsilon}[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\varepsilon}[/latex] и [latex]\forall x\in X[/latex] выполняется неравенство:
[latex]\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}[/latex]
Тогда [latex]\forall n\geq n_{\varepsilon}[/latex] будем иметь:
[latex]\underset{x\in X}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon[/latex],
а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (1).

Достаточность

Пусть справедливо условие (1). Докажем, что последовательность функций [latex]f_{n}(x)[/latex] равномерно сходится к функции [latex]f(x)[/latex].

Используя неравенство [latex]\mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )[/latex][latex]\mid\leq\delta_{n}[/latex] для [latex]x\in E[/latex], [latex]n\in N[/latex], мы получим, что [latex]\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\varepsilon[/latex], для [latex]x\in E[/latex], [latex]n\geq n_{\varepsilon}[/latex]. А это означает, что [latex]f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)[/latex], [latex]x\in E[/latex].

Спойлер

Последовательность функций сходящихся к функции [latex]ln x[/latex]
risunok

[свернуть]

Теорема 2

(Критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Для того чтобы последовательность функций [latex]{f_{n}(x)}[/latex] сходилась равномерно на множестве [latex]E[/latex] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

[latex]\forall\varepsilon >0[/latex] [latex]\exists n_{\varepsilon}:\forall n\geq N_{\varepsilon}\quad\forall P\in N[/latex] [latex]\forall x\in E\Rightarrow\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\varepsilon\quad (2)[/latex]

Необходимость

Пусть [latex]f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)[/latex], [latex]x\in E[/latex]. Следовательно, согласно определению равномерной сходимости можно утверждать, что:

[latex]\forall\varepsilon>0[/latex] [latex]\exists N_{\varepsilon}:\forall k\geq N_{\varepsilon}[/latex] [latex]\forall x\in E\Rightarrow\left | f_{k}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\varepsilon}{2}\quad(4)[/latex]

Пусть теперь [latex]n\geq N_{\varepsilon}[/latex], [latex]p\in N[/latex].

Тогда:

[latex]\mid f_{n}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}[/latex] и [latex]\mid f_{n+p}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}[/latex]

Теперь, применяя неравенство треугольника, получим что:

[latex]\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid =\mid (f_{n+p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f(x))\mid\leq\mid (f_{n+p}(x)-[/latex]

[latex]f\left ( x \right )\mid+\mid f_{n}\left ( x \right )[/latex][latex]-f\left ( x \right )\mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad (5)[/latex]

Достаточность

Пусть дано, что выполняется условие Коши. Докажем равномерную сходимость последовательности функций.

Какое бы значение [latex]x[/latex] из [latex]X[/latex] не взяли, мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, что доказывает существование для последовательности предельной функции [latex]f\left ( x \right )[/latex].
Покажем, что последовательность [latex]{f_{n}}[/latex] сходится равномерно к функции [latex]f[/latex]
на множестве [latex]X[/latex]. Действительно, в силу условия (2), [latex]\forall\varepsilon>0[/latex] [latex]\quad\exists n_{\varepsilon}[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\varepsilon}[/latex], [latex]\forall p\geq 0[/latex] и [latex]\forall x\in X[/latex] справедливо неравенство

[latex]\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}\quad (3)[/latex]
Заметив, что [latex]\lim\limits_{p\rightarrow\infty}f_{n+p}(x)=f(x)[/latex], перейдем к пределу в неравенстве (3) при [latex] p\rightarrow\infty[/latex]; тогда [latex]\forall n>n_{\varepsilon}[/latex] и [latex]\forall x\in X[/latex] получим
[latex]\mid f(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon[/latex],
а это и означает, что [latex]f_{n}\rightrightarrows f[/latex].

Источники:

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Тест для закрепления материала.

Таблица лучших: Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал [latex]dU[/latex] функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка [latex]d^2U[/latex] изначальной функции [latex]U[/latex], который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка [latex]d^3U[/latex] изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию [latex]U=f(x,y)[/latex] двух переменных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] и предположим, что переменные [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] — независимые переменные. По определению

[latex]dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y[/latex].

При вычислении [latex]d^2U[/latex] обратим внимание, что дифференциалы [latex]dx[/latex] и [latex]dy[/latex] независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

[latex]d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x + [/latex]  [latex]+ \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.[/latex]

Вычисляя аналогичным образом [latex]d^3U[/latex], получим

[latex]d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3[/latex].

Эти выражения [latex]d^2U[/latex] и [latex]d^3U[/latex] приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

[latex]d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y)[/latex],

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень [latex]n[/latex], применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней [latex]y \frac{\partial }{\partial x}[/latex] и [latex]\frac{\partial }{\partial y}[/latex] будем считать указателями порядка производных по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] от функции [latex]f[/latex].

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] имеет в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] дифференциал

[latex]dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,[/latex](*)

или

[latex]dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})[/latex]. (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

[latex]Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})[/latex].

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала [latex]dx[/latex].
1234
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции [latex]z=f(x,y)[/latex] в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex], а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
[latex]d(U+V)=dU+dV[/latex]
[latex]d(UV)=UdV+VdU[/latex]
[latex]d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},[/latex][latex] \ \ V\neq[/latex][latex]0[/latex]

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегральный признак

Интегральный признак сходимости ряда

Формулировка

Дана функция $f$ определенная при всех $x\geq1$, неотрицательна и убывает, тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $\int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}$.

Доказательство

Так как функция монотонна на промежутке $\left[1,+\infty \right]$, тогда она интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $\left[1,\eta \right]$, и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле.
Если $k\leq x\leq k+1$, тогда $f(k)\geq f(x)\geq f(k+1), k=1,2, …$ (функция убывает) (рис. 1). Проинтегрировав это неравенство $\left[k,k+1\right]$ имеем: $f(k)\geq \int\limits_{k}^{k+1}{f(x)dx}\geq f(k+1), k=1,2, …$.
integral_sign(1)
Суммируя от $k=1$ до $k=n$ (рис. 2) получим:

$\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq \sum\limits_{k=1}^{n}{f(k+1)}$

integral_sign(2)
Положим $s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}$, будем иметь

$s_{n}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq s_{n+1}-f(1)$
$n=1,2, …$

Если интеграл сходится, то в силу неотрицательности $f$ справедливо неравенство:

$\int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq \int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}$.

Отсюда следует:

$s_{n+1}\leq f(1)+\int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}$,

то есть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, а значит ряд сходится.
Если ряд сходится, пусть его сумма равна $s$, тогда $\forall n\epsilon \mathbb{N}s_{n}\leq s$  и следовательно $\forall n\epsilon \mathbb{N}\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq s$.
Пусть $\xi$, то беря n, так чтобы $n\geq \xi$, в силу неотрицательности функции имеем $\int_{1}^{\xi }{f(x)dx}\leq \int_{1}^{n}{f(x)dx}\leq s$.
Таким образом совокупность всех интегралов $\int_{1}^{\xi }{f(x)dx}$ ограничена сверху, поэтому интеграл $\int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}$ сходится.

Пример

Дан ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}$. Исследовать ряд на сходимость.
Так как данная функция $f(n)=\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}$ определенна при всех $n\geq1$, неотрицательна и убывает, то воспользуемся  интегральным признаком сходимости ряда.
Проверим сходимость интеграла $\int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}$.

$\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{+\infty }{(2x+3)^{-\frac{7}{6}}d(2x+3)}=-\frac{1}{2}*6*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)}} \right)\left.\right |^b_1=\\=-3*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{2b+3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{5}} \right )=\frac{3}{\sqrt[6]{5}}$

Интеграл сходится, а значит исходный ряд тоже сходится.

Литература

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q[/latex] для [latex]n=1[/latex] и [latex]n=2[/latex].

[latex]n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}[/latex]
[latex]n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}[/latex]

Таким образом [latex]\forall n[/latex] будет справедливо неравенство [latex]a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}[/latex]. При этом ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}[/latex] является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] тоже сходится.

Если [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то справедливо неравенство [latex]a_{n+1}\geq a_{n}>0[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{1-K}{2}[/latex], тогда [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex] и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же [latex]K>1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{K-1}{2}[/latex], тогда [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится. Для случая [latex]K=1[/latex] приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/latex] расходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1[/latex]. В то же время ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}[/latex] сходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1[/latex].

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}[/latex]. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Литература

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал