Примечание к статье
В последующих определениях точка это элемент $\mathbb{R}^n$, то-есть $x=(x_1,\cdots,x_n)$ и $x^0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$, а значение функции в точке это элемент $\mathbb{R}^m$, то-есть $f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$ и $f(x^0)=(f_1(x^0),\cdots,f_m(x^0))$. Определим метрику $\rho_n(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ на пространстве $\mathbb{R}^n$. Нумерация последовательности будет обозначаться верхним индексом в скобках.
Дадим три эквивалентных определения непрерывности функции в точке.
Определение 1.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $\rho_n(x,x^0)<\delta$, выполняется неравенство$$\rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$
В кванторах $$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \: \forall x \in X:\rho_n(x,x^0)<\delta \Rightarrow \rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$
Как следует из определения точка $x^0$ не обязана быть предельной точкой множества $X$ (как того требует определение предела в многомерном случае), а может быть и изолированной точкой. Так же верным является и следующее определение.
Определение 2.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в предельной точке $x^0 \in X$, если $$\lim_{x \to x^0,x \in X}f(x)=f(x^0).$$
Из сказанного выше следует, что если функция $f$, определена на множестве $X$ и непрерывна в точке $x^0 \in X$, то $x^0$ либо предельная точка множества $X$, либо изолированная.
Дадим определение понятия непрерывности функции в точке на языке последовательностей.
Определение 3.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна в предельной точке $x^0 \in X$, если для любой последовательности точек $\{x^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$, для которой $x^{(k)} \in X,\: x^{(k)}\neq x^0,\: x^{(k)} \to x^{0} \: (k \to \infty)$ $$\lim_{k \to \infty}f(x^{(k)})=f(x^0).$$
Теперь дадим определение функции непрерывной по отдельной переменной.
Определение 4
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна по переменной $x_i$ в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $|x_i-x_i^0|<\delta$, выполняется неравенство $$\rho_m(f(x_i)-f(x_i^0))<\varepsilon.$$
Очевидно, что если функция является непрерывной, то она так же непрерывна и по каждой переменной в отдельности. Обратное не верно.
Пример 1.
Покажем, что функция
$$f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной в точке $(0,0)$.
Рассмотрим, непрерывна ли функция по переменной $x$? Пусть $y \neq 0$ и $x_0$ — любые фиксированный числа. Тогда $$\lim_{x \to x_0}f(x,y)=\lim_{x \to x_0}\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2x_0y}{x_0^2+y^2}=f(x_0,y).$$
Если же $y=0$, то при любом $x_0 \neq 0$, $\lim_{x \to x_0}f(x,0)=0=f(x_0,0)$. Наконец, если $y=0$ и $x_0=0$, то $\lim_{x \to 0}f(x,0)=0=f(0,0)$.
Таким образом, при каждом фиксированном $y$ функция $f$ непрерывна по переменной $x$. Ввиду симметрии функции относительно $x$ и $y$ при любом фиксированном $x$ функция $f$ непрерывна по переменной $y$.
Однако функция $f$ не является непрерывной в точке $(0,0)$. Действительно, обе последовательности $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \to (0,0)$ и $\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right) \to (0,0)$ при $n \to \infty$, а соответствующие им последовательности значений функции стремятся к различным пределам:
$$f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \to 1, \hspace{4pt} f\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{4}{n^2}}{\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \to \frac{4}{5} (n \to \infty).$$
Пример 2.
Показать, что функция
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$
в точке $O(0,0)$ непрерывна вдоль каждого луча $x=t\cos{\alpha}, y=t\sin{\alpha}, (0 \le t < +\infty),$ проходящего через эту точку, т. е. существует $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=f(0,0),$ однако эта функция не является непрерывной в точке $(0,0)$. [spoiler] Имеем $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=\lim_{t \to 0}\frac{t\cos^2{\alpha}\sin{\alpha}}{t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}.$$ Поскольку $f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha}) \equiv 0$ при $\alpha=\frac{k\pi}{2},k \in \mathbb{Z}_0$, то при этих значениях $\alpha$ $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0).$$ Если $0<\alpha<2\pi, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{N}$,то $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}>0$ и $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha} \to \sin^2{\alpha}>0$ при $t \to 0$. Следовательно, $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0)$. Таким образом, вдоль любого луча, проходящего через точку $(0,0)$, функция $f$ непрерывна в этой точке.
То, что функция $f$ имеет разрыв в точке $(0,0)$, следует из того, что последовательность $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right) \to (0,0) \: (n \to \infty)$, а
$$\lim_{n \to \infty}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0).$$
[/spoiler]
Литература.
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 2(1). (с.9)
- Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, Часть 1. (с.252-253)
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (с.15-17)
- Берс Л.И. Математический анализ в 2-х томах, перевод с английского. М, Высшая школа. 1975. (с.325)
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (с.362-363)
- Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1.(с.327-329)
Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.
Тест на тему: «Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.»
Таблица лучших: Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||