Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк Основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.441-462)
• З.М. Лысенко Конспект лекций.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Последовательность [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такое натуральное число [latex] n_{0} [/latex], что для любого [latex]n \geq n_{0}[/latex] и любого [latex]m \geq n_{0}[/latex] справедливо неравенство [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | < \varepsilon[/latex]. Кратко это условие можно записать так: [latex]\forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex]\exists n_{0}\in \mathbb{N} :[/latex] [latex]\forall n, m \geq n_{0} :[/latex] [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | < \varepsilon[/latex].

Дадим эквивалентное определение. Последовательность [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex] называют фундаментальной, если для каждого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такое натуральное число [latex]n_{0}[/latex], что для любого [latex]n\geq n_{0}[/latex] и для любого натурального [latex]p[/latex] справедливо неравенство [latex]\left | x_{n+p} — x_{n} \right | < \varepsilon[/latex]. Кратко это условие можно записать так: [latex]\forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex]\exists n_{0} :[/latex] [latex]\forall n\geq n_{0}[/latex] [latex]\forall p\in \mathbb{N} :[/latex] [latex]\left | x_{n+p} — x_{n} \right | < \varepsilon[/latex].

Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной. Пусть [latex]\varepsilon = 1[/latex], тогда согласно условию Коши найдется номер $latex n_{0} $ такой, что для всех [latex] n \geq n_{0} [/latex] и для всех [latex]m \geq n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | < 1[/latex], и, в частности, [latex]\left | x_{n} — x_{n_{0}} \right | < 1[/latex]. Так как [latex]\left | x_n \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{0}}) + x_{n_{0}} \right |[/latex]   [latex]\leq \left | x_{n_{0}} \right | + \left | x_{n} — x_{n_{0}} \right | [/latex] [latex]< \left | x_{n_{0}} \right | +1[/latex] для  всех [latex] n \geq n_{0} [/latex], то при всех [latex] n \in \mathbb{N}[/latex] справедливо неравенство [latex] \left | x_{n} \right | \le C[/latex], где [latex] C=\max(\left | x_{1} \right | ,\ldots, \left | x_{n_{0}-1} \right | , \left | x_{n_{0}} \right | +1) [/latex]. Это означает, что [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] — ограниченная последовательность.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Теорема (критерий Коши)

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость

Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным [latex]a[/latex]. По определению предела [latex] \forall \varepsilon > 0 [/latex]  [latex] \exists n_{0}[/latex] такое, что [latex] \forall k \geq n_{0}[/latex] и выполняется неравенство [latex] \left | x_{k} — a \right | < [/latex] [latex]\frac{\varepsilon}{2} [/latex]. Пусть [latex] k=n[/latex], тогда [latex] \left | x_{n} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2} [/latex]. Пусть [latex]k=m[/latex], тогда [latex] \left | x_{m} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2} [/latex]. В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем [latex] \left | x_{n}-x_{m} \right |=\left | (x_{n}-a) — (x_{m}-a) \right | [/latex][latex]\leq \left | x_{n}-a \right | + \left | x_{m} — a \right |[/latex] [latex]< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon [/latex]. Следовательно, для любого [latex] n \geq n_{0}[/latex] и для любого [latex] m \geq n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex] \left | x_{n}-x_{m} \right | < \varepsilon[/latex], т. е. выполняется условие Коши.

Достаточность

Пусть  [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex]- фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности [latex] \forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex] \exists n_{\varepsilon} :[/latex] [latex] \forall n \geq n_{\varepsilon} [/latex]    [latex] \forall m \geq n_{\varepsilon}[/latex] выполняется неравенство [latex] \left | x_{n} — x_{m} \right | < \frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Так как фундаментальная последовательность [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность [latex] \left \{ x_{n_{k}} \right \} [/latex]. Пусть ее предел равен $latex a $, т. е. [latex] \lim\limits_{ k \to \infty} x_{n_{k}} = a[/latex]. Покажем, что число [latex]a[/latex] является пределом исходной последовательности [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex]. По определению предела : [latex] \forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex] \exists k_{\varepsilon} :[/latex] [latex] \forall k \geq k_{\varepsilon} [/latex] [latex]\rightarrow[/latex] [latex] \left | x_{n_{k}} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Пусть [latex] N_{\varepsilon} = \max( n_{\varepsilon}, k_{\varepsilon} )[/latex]. Фиксируем  номер [latex] n_{k} \geq N_{\varepsilon}[/latex] (такой номер найдется, так как [latex] n_{k} \to \infty[/latex] при [latex] k \to \infty[/latex] ). Тогда при [latex] m=n_{k}[/latex] и при всех [latex] n \geq N_{\varepsilon}[/latex]  выполняется неравенство [latex] \left | x_{n} — x_{n_{k}} \right | < \frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Из этого следует, что при всех  [latex] n \geq N_{\varepsilon}[/latex] справедливо неравенство: [latex] \left | x_{n}-a \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}}-a) \right | [/latex] [latex]\leq \left | x_{n}-x_{n_{k}}\right | + \left | x_{n_{k}} — a \right | [/latex] [latex]< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon [/latex] т. е. [latex] \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a[/latex].

Пример

Доказать, что последовательность [latex]x_{n}=1+ \frac{1}{2} +…+\frac{1}{n}[/latex] расходится.

Литература

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 57-59.

фундаментальные последовательности

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на тему «фундаментальные последовательности»:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 2

   Последовательность [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию:

   • $$ \exists \varepsilon > 0 \forall n_{0}\in {N} : \exists n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon $$
   • $$ \forall \varepsilon > 0 \exists n_{0}\in {N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon $$
   • $$ \exists \varepsilon > 0 \forall n_{0}\in {N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Вставить пропущенное слово:
   Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была … :

   • фундаментальной
   • сходящейся
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Любая ли фундаментальная последовательность является ограниченной?

   • да
   • нет
   Правильно
   

   Неправильно
   

Рассмотрим погрешность приближённого вычисления определённых интегралов по формуле Тейлора.

Обозначим погрешность через [latex]R_{n}[/latex]

[latex]R_{n}[/latex] представляет собой разность истинного значения определённого интеграла и полученного в результате приблизительного вычисления.

Разумеется, что истинное значение также считается приближённо. Иначе, можно было б использовать точные методы вычисления определённых интегралов.

Проанализируем погрешность вычисление примера 1 :

[latex]\int_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+…=0.3-0.018+0.000972-…\approx[/latex]

[latex] \approx0.3-0.018=0.282[/latex]

Видем, что каждый следующий член суммы на порядки меньше предыдущего.

Если вычислить интеграл, взяв только первый член ряда, получим погрешность [latex]R_{n}\approx0.018972[/latex]

Два первых:

[latex]R_{n}\approx0.000972[/latex]

Имеем, что высокая точность достигается довольно быстро.

Аналогичные рассуждения можно провести с  примером 2.

Литература :

• Конспект практики по математическому анализу (преп. Лысенко З.М.)
• Сайт mathprofi.ru. Автор — Александр Емелин
• Сайт ru.convdocs.org

Теорема. Если функция монотонна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть, например, возрастает. Возьмём произвольное разбиение . Тогда ,
поскольку колебание функции является разностью между наибольшим и наименьшим значениями функции. Получим

[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \le d\left( \Pi \right)} \sum {\left( {f\left( {{x_{i + 1}}} \right) — f\left( {{x_i}} \right)} \right) = d\left( \Pi \right)\left[ {f\left( b \right) — f\left( a \right)} \right]} [/latex]

.
Отсюда видно, что выполнены условия критерия интегрируемости в терминах колебаний и теорема доказана.

Замечание. Из вышеизложенной теоремы видно, что существуют разрывные интегрируемые функции. В частности, монотонная функция может иметь
разрывы в счётном множестве точек. Поэтому интегрируемая функция может иметь счётное множество точек разрыва.

Пример. Положим . Ясно, что каждая точка вида является точкой разрыва функции, так что множество точек разрыва функции счётно.
С другой стороны, поскольку возрастает на , то, по вышеизложенной теореме, она интегрируема на .

Интегрируемость на отрезке

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

В данном тесте будут проверены ваши знания свойств интегрируемости функций на отрезке. Удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Поздравляю с успешным завершением теста!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   $\varphi$$[\alpha ,\beta ]$$\left| {\varphi \left( {{x^\prime }} \right) — \varphi \left( {{x^{\prime \prime }}} \right)} \right|$${x^\prime },{x^{\prime \prime }} \in [\alpha ,\beta ]$${\lim _{d\left( {\Pi \to 0} \right)}}\left( {\overline {{S_\Pi }} + \underline {{S_\Pi }} } \right) = 0$$f$$\left[ {0,1} \right]$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
   0,если~x = \frac{1}{n},где~n \in N\\
   x,в~противном~случае
   \end{array} \right.$$f\left( x \right) = ln\left| {x — 1} \right|$Какая из этих функций не интегрируема на отрезке $\left[ {0,1} \right]$?

   • $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{q},}&{{\rm{если~}}x = \frac{p}{q},p \in Z,q \in N,{\rm{ }}НОД(p,q) = 1}\\ {0,}&{{\rm{если~}}x \in [0.5;1]} \end{array}} \right.$
   • $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {sin~x,}&{x \in [0;0.5)}\\ {cos~x,}&{x \in [0.5;1]} \end{array}} \right.$
   • $f(x) = sign(x)(cos~x-0.5)+0.5$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Заполните пропуски в определении:

   • Колебанием функции  на отрезке   называется (супремум, sup) модуля разности  , где .
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Равенство  означает, что функция :

   • интегрируема на отрезке
   • дифференцируема на отрезке
   • оба ответа неверны
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Какая из этих функций является интегрируемой на ?

   • ни одна из вышеуказанных
   Правильно
   

   Неправильно
   

(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

1) Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку        $latex \tan \frac{x}{2}=t$

2) Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка : используйте замену   $latex \cos x=t$   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

3) Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

Подсказка: используйте подстановку    $latex t=2+3\sinh x $ 

4) Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Список литературы:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78 
• Ещё больше примеров можно найти  здесь

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Универсальной тригонометрической подстановкой являеться формула
   

    

    

   • $ x=2\arcsin t$
   • $ t=\tan \frac{x}{2}$
   • $ x=2\ arctan\ t$
   • $ x=2\arccos\ t$
   Правильно 1 / 1Баллы

   Неправильно / 1 Баллы
2. Задание 2 из 5

   2.

   Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :
   

   • $ t=a^{x}$
   • $ t=e^{x}$
   • $ x=2\arctan t$
   • $ t=\tan \frac{x}{2}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Интеграл $$\int \frac{(\cos ^{3}x+\cos ^{5}x)\ dx}{\sin ^{2}x+\sin ^{4}x}$$    равен $$\sin x-\frac{2}{\sin x}-6\arctan x(\sin x)+C$$
   

    

   • Да, верно.
   • Нет, неверно.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   
   Интеграл   $latex \int x\sinh xdx$   равен

   • $ x\sinh ^{2}+C$
   • $ x\sinh x-\cosh x+C$
   • $ x\cosh x-\sinh x+C$
   • $ x\cosh x-\sinh x$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Сопоставте интегралы и их значения:
   

    

    

    

   Элементы сортировки

   • $ \frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$
   • $ \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\arctan (\sqrt{3}e^{x})+C$
   • $ \frac{\cosh 5x}{10}-\frac{\cosh x }{2}+C$

   • $ \int e^{x}\sinh xdx$

   • $ \int \frac{dx}{\sinh x+2\cosh x}$

   • $ \int \sinh 2x\cosh 3xdx$

   Правильно
   

   Неправильно