Критерий Коши существование границы функции

Определение: Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке

и \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon

0< |x'-a|< \delta

0< |x''-a|< \delta

Теорема(Критерий Коши): Конечный предел в точке x=a существует \Leftrightarrow f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость:Пусть предел\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}

\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a):|f({x}')-f({x}'')|=|(f({x}')-A)+(A-f({x}''))|\leq |f({x}')-A|+|f({x}'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а.

Воспользуемся определение по Гейне:

\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A

Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty }-произведение последовательности \in U_{\delta }^{\circ}(a) и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a .

Докажем что \left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n}\left. \right \}.

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon

Т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )

Для \delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon } \forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon } x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon-следует из условия Коши.

\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrowпо Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}сходящаяся.

Покажем что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. \left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A {x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}' x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A

Теорема доказана.

Рекомендации:

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций»;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 «Предел функции»;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, Параграф 2 «Понятие предельного значения функции».

Также рекомендую поупражняться по этой теме, в этом вам помогут сборники задач по математическому анализу, вот те которые я бы вам посоветовала:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, Параграф 5 «Предел функции»;
  • Дороговцев А.Я.»Математический анализ» Глава 2, Параграф 3″Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши.

Также вы можете воспользоваться данными ссылками для расширения своих знаний по этой теме:

 

 

 

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры

Ранее мы уже доказали, что для любой интегрируемой на [a,b] функции f интеграл с переменным верхним пределом – непрерывная на [a,b] функция.

Теорема. Пусть функция f интегрируема на [a,b] и непрерывна в точке x_{0} \in [a,b]. Тогда функция F дифференцируема в точке x_{0} и F'(x_{0})=f(x_{0}).

Доказательство.

Спойлер

Пусть, например, a<x_{0}<b (в точках a и b можно рассматривать только односторонние производные). Тогда для любого h \neq 0 , такого, что x_{0} + h \in [a,b] , имеем

\frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} = \frac{1}{h} ( \int_{a}^{x_{0}+h} f(t)dt - \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt ) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt.

Отсюда следует

| \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} - f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt - f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} [f(t)-f(x_{0})]dt | \leq \frac{1}{|h|} | \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} | f(t)-f(x_{0}) | dt | \equiv \rho (h).

Если мы покажем, что \rho(h) \rightarrow 0 при h \rightarrow 0 , то тем самым теорема будет доказана. Для оценки \rho(h) предположим для определенности, что h>0. Зададим произвольное \varepsilon > 0 и, пользуясь непрерывностью функции f в точке x_{0} , найдем такое \delta > 0 , что для всех t , удовлетворяющих условию |t - x_{0}| < \delta , справедливо неравенство |f(t)-f(x_{0})| < \varepsilon . Если теперь 0<h<\delta, то получим

\rho(h) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} |f(t) - f(x_{0})|dt \leq \varepsilon

Отсюда следует, что \rho(h) \rightarrow 0 при h \rightarrow 0 .

Случай h<0 исчерпывается аналогичным образом. В точках x_{0} = a и x_{0} = b приведенные выше рассуждения достаточно применить для h>0 и h<0 , соответственно. \blacksquare

[свернуть]

Замечание.

Спойлер

Условие непрерывности функции f в точке x_{0} не является необходимым для дифференцируемости F в точке x_{0} . Например, если взять непрерывную на отрезке [a,b]  функцию f , то, по доказанной теореме, функция F будет дифференцируемой в каждой точке отрезка [a,b]. Изменим теперь значение функции f в одной точке. В результате получим разрывную функцию f . В то же время, как легко видеть, функция F останется прежней, т.е. \bar{F}(x) \equiv \int_{a}^{x} \bar{f}(t)dt = F(x) (x \in [a,b]) (поскольку изменение функции в конечном числе точек не влияет на величину ее интеграла). Таким образом, получим, что интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции может оказаться дифференцируемым.

[свернуть]

Пример 1.

Спойлер

Рассмотрим функцию

f(x) =    \begin{cases}  & \sin{\frac{1}{x}}, 0<x\leq 1, \\  & 0 , x=0.  \end{cases}

Эта функция ограничена на отрезке [0,1] и имеет единственную точку разрыва x_{0} = 0 . Значит, она интегрируема на [0,1] . Обозначим F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt . Поскольку f  непрерывна в каждой точке x \neq 0 , то, по предыдущей теореме, функция F дифференцируема в каждой точке x \in (0,1] и F'(x) = \sin{\frac{1}{x}}. В точке x_{0}=0 функция f разрывна и поэтому предыдущая теорема неприменима. Однако можно показать, что существует F'+(0) = 0 .

[свернуть]

Пример 2.

Спойлер

Пусть f(x) = \text{sign } x, -1 \leq x \leq 1. Если -1 \leq x < 0 , то f(t) = -1, -1 \leq t \leq x и \int_{-1}^{x} f(t)dt = -(x-(-1)) = -(x+1).

Если же 0 \leq x \leq 1, то \int_{-1}^{x} f(t)dt = \int_{-1}^{0} f(t)dt + \int_{0}^{x} f(t)dt = -1+x.

Таким образом,

F(x) =    \begin{cases}  & -(x+1), -1 \leq x < 0, \\  & x-1, 0 \leq x \leq 1.  \end{cases}

Легко видеть, что в точке x_{0} = 0 функция F недифференцируема.

[свернуть]

Литература :

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция f  интегрируема на отрезке [a,b]. Обозначим

F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt   (x \in [a,b]).

Площадь под графиком f(t) равна значению F(x)
Заштрихованная область под графиком функции f(t) это значение нашей функции F(x) . Легко заметить, если x будет стремиться к b или a то заштрихованная площадь увеличивается или уменьшается соответственно, следовательно и значение функции F(x) также будет изменяться.

По свойству аддитивности интегрируемых функций, f интегрируема на [a,x] для любого x \in [a,b].
Поэтому функция F определена на [a,b]. Заметим, что F(a)=0. Функцию F называют интегралом с переменным верхним пределом.

Нас в дальнейшем будут интересовать две характеристики этой функции, а именно непрерывность и дифференцируемость

Понятие интеграла с переменным верхним приделом нам будет необходимо при выведении основной формулы дифферендицального исчисления.

Литература :

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания по теме «Определение интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Определение интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение многочлена Тейлора

1^{\circ}. Локальная формула Тейлора.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности \mid x-x_{0}\mid<\varepsilon т.x_{0} и имеет в этой окрестности производные f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x) до (n-1)-го порядка включительно и в т.x_{0} существует производная n-го порядка f^{(n)}(x_{0}), то
f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}(x-x_{0})^{k}+o(x-x_{0})^{n},       (1)

где a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!},(k=0,1,\cdots,n).

В частности, при x_{0}=0 имеем:

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}x^{k}+o(x^n).     (2)

При указанных условиях представление (1) единственно.

Если в т.x_{0} существует производная f^{(n+1)}(x_{0}), то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде o((x-x_{0})^{n+1}).

Из локальной формулы Тейлора (2) Получаем следующие 5 важных разложений:

I. e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})

exp
II. sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})

sin
III. cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})

cos
IV. (1+x)^{m}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n)!}x^{n}+o(x^{n})

V. ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})

ln

2^{\circ}.Формула Тейлора.

Если функция f(x) определена на сегменте \left [ a,b \right ] и имеет на этом сегменте непрерывные производные f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x), приa<x<b существует конечная производная f^{(n)}(x), то

f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+r_{n}(x)   (a\leq x\leq b),, где

r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(r-a)^{n}     (a<\theta<b),

(остаточный член в форме Лагранжа), или

r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta_{1}(x-a))}{(n-1)!}(1-\theta_{1})^{n-1}(x-a)^{n}     (a<\theta_{1}<b),

(остаточный член в форме Коши)

 

P(x)=a_{0}+a_{1}\ast x+a_{2}\ast x^{2}+a_{3}\ast x^{3}+a_{4}\ast x^{4}+\cdots +a_{n-1}\ast x^{n-1}+a_{n}\ast x^{n} {P}'(x)=a_{1}+2a_{2}\ast x +3a_{3}\ast x^{2}+ 4a_{4}\ast x^{3}+\cdots +(n-1)a_{n-1}\ast x^{n-2}+ na_{n}\ast x^{n-1} {P}''(x)=2a_{2}+6a_{3}\ast x +12a_{4}\ast x^{2}+ \cdots +(n-1)(n-2)a_{n-1}\ast x^{n-3}+ (n-1) na_{n}\ast x^{n-2} P^{(3)}(x)=6a_{3} + 24a_{4}*x + \cdots + (n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}*x^{n-4}+ (n-1)* *(n-2)na_{n}*x^{n-3} \cdots P^{(n-1)}(x)=(n-1)!*a_{n-1}+ n!a_{n}*x P^{(n)}(x)=n!a_{n} \left. \begin{array}{l}P(0) = {a_0}\\P'(0) = {a_1}\\P''(0) = 2!*{a_2}\\{P^{(3)}}(0) = 3!*{a_3}\\\cdots \\{P^{(n - 1)}}(0) = (n - 1)!*{a_{n - 1}}\\{P^{(n)}}(0) = n!*{a_n}\end{array} \right\} \Leftrightarrow \left.\begin{array}{l}{a_0} = {P_0}\\{a_1} = \frac{{P'(0)}}{{1!}}\\{a_2} = \frac{{P''(0)}}{{2!}}\\{a_3} =\frac{{{P^{(3)}}(0)}}{{3!}}\\\cdots \\{a_{n - 1}} = \frac{{{P^{(n - 1)}}(0)}}{{n - 1!}}\\{a_n} = \frac{{{P^{(n)}}(0)}}{{n!}}\end{array} \right\} P(x)=P(0)+\frac{{P}'(0)}{1!}x+ \frac{{P}''(0)}{2!}x^{2}+ \frac{P^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{P^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\cdots + \frac{P^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}++ \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^{n}

(формула Тейлора для многочлена по степеням x).

Замечание

P(x)=A_{0}+A_{1}(x-x_{0})+A_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots +A_{n}(x-x_{0})^{n} A_{k}=\frac{P^{(k)}(x_{0})}{k!}\Rightarrow P(x)=P(x_{0})+\frac{{P}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{{P}''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}

(ф-ла Тейлора для многчлена по степеням (x-x_{0}))

 

Частный случай формулы Тейлора при x_{0}=0 называется формулой Маклорена.

 

Пусть функции f и g в т. x_{0} такие, что:
f(x_{0})=g(x_{0})
{f}'(x_{0})={g}'(x_{0})
{f}''(x_{0})={g}''(x_{0})
\cdots
f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})
Следует ожидать, что функции f и g в окрестности т.x_{0} похожи (графиками). И тогда функцию f локально можно заменить на g.

Нас будет интересовать g(x) как многочлен. Т.е. g(x)=P_{n}(x_{0},x)=\overbrace{c_{0}}^{f(x_{0})}+\overbrace{c_{1}}^\frac{{f'(x_{0})}}{1!}(x-x_{0})+\cdots +\overbrace{c_{n}}^\frac{{f^{(n)}(x_{0})}}{n!}(x-x_{0})^{n}
f(x)\approx g(x)
f(x_{0})=P_{n}(x_{0},x)
{f}'(x_{0})={P}_{n}'(x_{0},x)
\cdots
f^{(n)}(x_{0})=P_{n}^{(n)}(x_{0},x)

Итак, многочлен P_{n}(x,x_{0})=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
Многочлен Тейлора функции f в т.x_{0} порядка n.

 

Пример.

Разложить многочлен P(x)=-4x^{3}+3x^{2}-2x+1 по степеням x+1.

Решение: Здесь x_{0}=-1, P'(x)=-12x^{2}+6x-2, P''(x)=-24x+6, P^{(3)}(x)=-24.

Поэтому P(-1)=10, P'(-1)=-20, P''(-1)=30, P^{(3)}(-1)=-24. Следовательно,

P(x)=10+\frac{-20}{1!}(x+1)+\frac{30}{2!}(x+1)^{2}+\frac{-24}{3!}(x+1)^{3},

т.е. -4x^{3}+3x^{2}-2x+1=10-20(x+1)+15(x+1)^{2}-4(x+1)^{3}.

 

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1972, стр.138-139.

3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

 

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

 

Теорема. Пусть f интегрируема на [a,b] . Тогда функция F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b]  непрерывна на [a,b] .

Доказательство.

Спойлер

Пусть x_{0}, x_{0} + \Delta x \in [a,b]. Тогда

F(x_{0}+ \Delta x) - F(x_{0}) = \int_{a}^{x_{0}+\Delta x} f(t)dt - \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt = \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt

Функция f ограничена на [a,b] (поскольку она интегрируема), так что при некотором M :

|f(t)| \leq M \forall t \in [a,b] .

Следовательно

|F(x_{0}+ \Delta x) - F(x_{0})| = | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt | \leq | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} |f(t)|dt | \leq M | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} dt | =

= M |\Delta x| \rightarrow 0 при \Delta x \rightarrow 0 ,

Откуда следует непрерывность функции F  \blacksquare

[свернуть]

 

Литература :

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Таблица лучших: Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных