Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Дифференцируемость обратной функции

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если $latex y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $latex \Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $latex \exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $latex y=f(x)$) дифференцируемо в точке $latex y_0=f(x_0)$, причём $latex \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$

Доказательство:

$latex x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$latex x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $latex f$ имеет обратную $latex x=\varphi(y)$, $latex y\epsilon [\alpha;\beta]$, $latex \varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$latex y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}= $
$latex \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2 $

Примеры

1) Доказать, что:

$latex (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$
y=arcsin(x), график
График функции $latex y=arcsinx$. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

$latex y=\arcsin x, |y|<\frac{\pi}{2}$
$latex x=\sin y=\varphi(y)$
$latex \varphi'(y)=\cos y$
$latex \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y} = $
$latex \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&s=2$

2) Доказать, что:

$latex ( \textrm{arctg} x)’ = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R} &s=2$
y=arctg(x), график

Решение:

$latex y=\textrm{arctg} x$
$latex x=\textrm{tg} y=\varphi(y)$
$latex \varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}&s=1$
$latex \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}= $
$latex \cos^2 y=\frac{1}{1+\textrm{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}&s=2$

Список литературы:

Тест: дифференцируемость обратной функции

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.


Спойлер

Таблица лучших: Тест: дифференцируемость обратной функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
[свернуть]

Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство: 

Предположим, что последовательность  [latex]X_{n}[/latex] имеет два различных предела b и  a, причем      b < a.

2 Выберем  [latex] \varepsilon > 0[/latex] таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, [latex]\varepsilon = \frac{(a-b)}{3}[/latex]. Так как число b — предел последовательности  [latex] X_{n} [/latex], то по заданному  [latex]\varepsilon > 0[/latex] можно найти номер N такой, что  [latex]X_{n}\in U_{\varepsilon }(b)[/latex] для всех  [latex]n\geq N[/latex]. Поэтому вне интервала  [latex] U_{\varepsilon }(b)[/latex] может оказаться лишь конечное число членов  последовательности. В частности, интервал   [latex] U_{\varepsilon }(a)[/latex] может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной снизу, если существует такое число [latex]C_{1}[/latex], что все члены последовательности удовлетворяют условию  [latex]X_{n} \geq C_{1}[/latex], т. е.:

[latex]\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}[/latex]

Последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной сверху, если:

[latex]\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}[/latex]

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность  [latex]X_{n}[/latex] называется ограниченной, если:

[latex]\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}[/latex]

это можно записать и так:

[latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex]

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство: 

Пусть последовательность [latex]X_{n}[/latex] имеет предел, равный а. По определению предела для  [latex]\varepsilon = 1[/latex] найдем номер N такой, что при всех  [latex]n\geq N[/latex] имеет место неравенство  [latex]\left | X_{n}-a \right | <1 [/latex]. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

[latex]\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |[/latex].

Поэтому при всех  [latex]n\geq N[/latex] выполняется неравенство:

[latex]\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |[/latex].

Положим  [latex]c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , … , \left | X_{N-1} \right |\right )[/latex], тогда [latex]\left | X_{n} \right | \leq C[/latex] при всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex], т. е. последовательность  [latex] X_{n} [/latex] ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность [latex]\left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \}[/latex] ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие  [latex]\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C[/latex] не выполняется, т. е.

[latex]\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C[/latex],

то говорят, что последовательность  [latex]X_{n}[/latex] не ограничена.

Пример:  Доказать, что последовательность  [latex]\left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} [/latex] является  ограниченной, если  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = b[/latex],  [latex]b\not \neq 0[/latex] и [latex] y_{n}\not\neq0[/latex], для всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex].

Решение

Так как [latex]b\not \neq 0[/latex], то [latex]\left | b \right |> 0[/latex]. По заданному числу  [latex]\varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}[/latex]  в силу определения предела последовательности найдется номер [latex]N_{0}[/latex] такой, что:

[latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex].

Используя неравенство для модуля разности

[latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |[/latex]

и неравенство  [latex]\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex], получаем [latex]\left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2}[/latex],  откуда  [latex]\left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}[/latex]. И поэтому для всех  [latex]n\geq N_{0}[/latex] справедливо неравенство  [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}[/latex].

Пусть C = max  [latex]\left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,…,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right )[/latex], для всех  [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C[/latex], т. е.  [latex]\left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \}[/latex] — ограниченная последовательность.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42

Единственность предела

Этот тест по теме:  Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Коши существование границы функции

Определение:Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке и $latex \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta (\varepsilon )> 0:\forall x’ ,x»\in U_\delta ^0(a)\Rightarrow |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon $
$latex 0< |x’-a|< \delta $
$latex 0< |x»-a|< \delta $

Теорема(Критерий Коши):  Конечный предел в точке x=a существует \Leftrightarrow f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость: Пусть предел\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}

\forall x',x''\in U_{\delta }^{0}(a):|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)+(A-f(x'')|\leq |f(x')-A|+|f(x'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon

Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а. Воспользуемся определение по Гейне:\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A

Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty }-произведение последовательности \in U_{\delta }^{0}(a) и и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a .

Докажем что \left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n}\left. \right \}.

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U _{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f({x}'-f{x}'')|< \varepsilon. Т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )

Для \delta _{\varepsilon } :\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{n}}-a|< \delta _{\varepsilon } ,

\forall m\geq N_{\varepsilon }:0< |{x_{m}}-a|< \delta _{\varepsilon } .

x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{0}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon-это следует из условия Коши.

\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon —\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrowпо Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}-сходящаяся.

Покажем что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. 

\left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A

x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A

{x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}'

x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A

Теорема доказана.Рекомендации: 

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 Критерий Коши существование предела функций;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 Предел функции;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,

 

Свойства определенного интеграла связанные с неравенствами

Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами включают в себя следующие 4 свойства:

  1. Свойство 1 (интеграл от положительной функции)

  2. Свойство 2 (свойство монотонности интеграла)

  3. Свойства 3 и 4 (оценка модуля интеграла)

Также после ознакомления со всеми свойствами вы можете пройти тест на знание вышеупомянутых свойств.

Тест на тему свойства определенного интеграла связанные с неравенствами

Таблица лучших: Свойства определенного интеграла связанные с неравенствами

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
Литература
Смотрите так же на википедии

 

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказательство:

$latex \square $
Предположим, что $latex \{x_n\}$- ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку $latex [a;b] $.
Разделим $latex [a;b] $ пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $latex \Delta _1=[a_1;b_1]$ и его длина равна $latex b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$. Разделим отрезок $latex \Delta _1$ пополам, выберем из двух получившихся отрезков $latex \Delta _2=[a_2;b_2]$ длина которого $latex b_2-a_2=\frac{b-a}{2^2}$
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков $latex \{\Delta _n=[a_n;b_n]\}$ таких, что:

  1. $latex \Delta_1\supset\Delta_2\supset… \Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset… $
  2. $latex \lim_{k\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0 $

Следовательно, по определению, наша последовательность $latex \{\Delta_n\} $ стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
$latex \exists c:\forall k\in\mathbb{N}\ \ c\in\Delta_k $ (1)
Покажем, что $latex \exists \{x_{n_{k}}\}\rightarrow c $
Так как отрезок $latex \Delta_1$ содержит бесконечное число членов последовательности $latex \{x_n\}$, то $latex \exists n_1\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_1$.
Отрезок $latex \Delta_2$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
$latex \exists n_2>n_1:x_{n_{2}}\in\Delta_2$
Вообще, $latex \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n_k: x_{n_{k}}\in\Delta_k$, где $latex n_1<n_2<…<n_{k-1}<n_k$
Следовательно, существует подпоследовательность $latex \{x_{n_{k}}\}$ последовательности $latex \{x_n\}$
такая, что $latex \forall k\in\mathbb{N}\ a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k$ (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и $latex \{x_{n_{k}}\}$ принадлежат отрезку $latex \Delta_k=[a_k;b_k]$, и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка $latex \Delta_k$ то есть:
$latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq \Bigl|C-x_{n_k}\Bigl|\leq b_k-a_k=\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{\frac{b-a}{2^k}}}}$ при $latex k\to\infty $ По теореме о трех последовательностях
$latex \lim_{k\to\infty}|C-{x_{n_{k}}}|=0 \Rightarrow \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=c $
Теорема доказана $latex \blacksquare $

Замечание

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Интересно знать:

  • Метод, примененный в доказательстве данной теоремы ,который  состоит в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, называется методом Больцано, он часто используется при доказательстве других теорем.
  • Теорему о трех последовательностях называют также теорема о двух милиционерах. Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах её называют по-разному: теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

Пример

Показать, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный $latex +\infty$

Спойлер

Покажем, что если последовательность $latex \{x_n\}$ не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к $latex +\infty$.
Сначала выберем число $latex \{x_{n_{1}}\}$, такое, что $latex \{x_{n_{1}}\}>1$.
Затем, пользуясь неограниченностью сверху, находим такой номер $latex n_2>n_1$, что для $latex \{x_{n_{2}}\}$ выполняется неравенство $latex \{x_{n_{2}}\}>2$   и так далее.
В результате получим $latex \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=+\infty$
Аналогично доказывается тот факт, что всякая неограниченная снизу последовательность имеет частичный предел, равный $latex -\infty$

[свернуть]

Литература:

Тест

Тест на проверку знаний по теме: «Теорема Больцано-Вейерштрасса»