Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно существенно облегчить их вычисление:

Свойство $1$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю начальной матрицы: $\det A = \det A^{T}$.

Свойство $2$

Транспозиция (замена) двух строк (столбцов) матрицы — меняет знак определителя $$\det A = \begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{j1} & … & a_{jn}\\ a_{i1} & … & a_{in} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix}.$$

Свойство $3$

Умножение всей строки (столбца) на некий элемент $\alpha$ является аналогичным умножению всего определителя на этот элемент. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю: $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\alpha a_{i 1} & \alpha a_{i 2} & \cdots & \alpha a_{i j} & \cdots & \alpha a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}= \alpha \cdot\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}.$$

Свойство $4$

Если все элементы $i$-той строки (столбца) матрицы определителя разбить в сумму двух строк: $$a_{i j}=b_{j}+c_{j}, \quad j=1, \ldots, n$$ то и саму матрицу можно будет разбить на две, у которых все строки (столбцы) кроме $i$-той — такие же как у первой матрицы, а $i$-тая строка состоит из $b_{j}$ в первой матрице определителя, и из элементов $c_{j}$ во втором.

Свойство $5$

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы есть произведение элементов ее главной диагонали $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.$$

Свойство $6$

Если в матрице определителя одна строка будет результатом ее сложения с другой строкой и умножения на число, определитель не изменится . $$\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{j 1} & a_{j 2} & a_{j 3} & \cdots & a_{j n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k 1}+k a_{i 1} & a_{k 2}+k a_{i 2} & a_{k 3}+k a_{i 3} & \cdots & a_{k n}+k a_{i n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\cdot$$

Пример $1$

Вычислить определитель $$\det A=\begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\12 & 2 & 12 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix}.$$

Пример $2$

Вычислить определитель$$\det A =\begin{vmatrix}12& 5 & 1 & 5 & 19 \\0 & 8 & 2 & 12 & 9 \\0 & 0 & 4 & 27 & 41 \\0 & 0 & 0 & 5 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\end{vmatrix}$$

Пример $3$

Проверьте, будет ли определитель транспонированной матрицы равен исходной:$$\begin{Vmatrix}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{Vmatrix}.$$

Пример 4

Вычислите определитель треугольной матрицы: $$\begin{Vmatrix}3 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 \\1 & -2 & -2 \end{Vmatrix}.$$

Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.

Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка $$ \begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$$ Выберем, например, $2$-й и $4$-й столбцы и $1$-ю и $3$-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор $2-$го порядка: $$ \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17.$$ Также мы можем выбрать любые строки и столбцы для получения миноров.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы вычеркнем строки и столбцы матрицы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую матрицу. Определитель новой матрицы называется дополнительным минором к исходному.

Пример 2 Возьмем определитель и его минор $2-$го порядка из первого примера. Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 1 & -9 \\ -5 & -4 \end{vmatrix} = -4-45 = -49.$$

Определение Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы умножим дополнительный к нему минор на число $(-1)^{S_1 + S_2}$, в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.

Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка $$ \begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Выберем в нем, к примеру $1-$ю и $4-$ю строки, а также $2-$й и $5-$й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор $2-$го порядка $$ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$$ Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$$ где степени $-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в $1-$й и $4-$й строках и во $2-$м и в $5-$м столбцах.

Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.

Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$й порядок.

Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ($i$), что упрощает нам задачу.

Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.

Матрицы. Виды матриц

Определение. Прямоугольная таблица, на пересечении строк и столбцов которой находятся элементы поля, называется матрицей.

Нагляднее всего использование подобных таблиц демонстрируется в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), поскольку решение зависит именно от матриц системы. Например, исходная система имеет вид:
$$ \left.\begin{matrix}a_{11}x_{1}+&\ldots& +a_{1n}x_{n} & = &b_{1}\\ \cdot & \cdot &\cdot & \cdot &\cdot\\a_{m1}x_{1}+ &\ldots& +a_{mn}x_{n} & = & b_{m}\end{matrix}\right\}.$$ Как видим, в системе $m$ — количество уравнений, а $n$ — количество неизвестных. Матрицы этой системы выглядят так: $$A=\left(\begin{matrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\cdot & \cdot & \cdot\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}\right),\,B=\left(\begin{matrix}b_{1} \\\vdots \\ b_{m} \end{matrix}\right).$$
Матрица системы вида:
$$A\mid B=\left(\left.\begin{matrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\cdot & \cdot & \cdot \\a_{m1} & \cdots &a_{mn}\end{matrix}\right|\begin{matrix}b_{1}\\ \cdot \\ b_{m}\end{matrix}\right),$$
считается расширенной матрицей системы.

Определение. Элементы поля расположенные на пересечении строк и столбцов матрицы называются ее элементами.

Что касается индексации элементов матрицы, сперва записывается номер строки, в которой стоит элемент, а следом номер столбца. Нумерация строк и столбцов матрицы происходит вполне логичным образом: строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо.

Определение. Количество строк и столбцов матрицы называют размерами матрицы.

Множество матриц над полем $P$ размеров $m\times n$ обозначим $M_{m\times n}\left ( P\right ),$ а в случае $m=n$ — $M_{n}\left ( P \right ).$ Традиционно матрицы обозначают большими латинскими буквами. Если надо указать, из каких элементов состоит матрица, то пишут $A=\left (a_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Определение. Матрица, у которой одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной. Размер такой матрицы называют порядком.

Пример$$A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -5 & 4 \\3 & 1 & 0 \\ 12 & 7 & 0 \end{array}\right),$$ $A$ — квадратная матрица третьего порядка.

Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю матрицы, а вторая диагональ — побочной (см. рис.1).

Определение. Матрица $A=\left(
a_{ij}\right )\in M_{n}\left ( P \right )$ называется верхней (нижней) треугольной, если $a_{ij}=0$ для $i>j$ $(i<j).$ Иными словами, верхняя (нижняя) треугольная матрица — это матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 8 & 1 \\0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\8 & 4 & 0 \\ 1 & 7 & 2 \end{matrix}\right),$$

$A$ — верхняя треугольная матрица третьего порядка, $B$ — нижняя треугольная матрица третьего порядка.

Определение. Если квадратная матрица является как нижней, так и верхней треугольной, то она называется диагональной. Иными словами, диагональная матрица — это матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}\right),$$

$A$ — диагональная матрица третьего порядка.

Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны между собой, называется скалярной.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}8 & 0 & 0 \\0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix}\right),$$

$A$ — скалярная матрица третьего порядка.

Определение. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны единице поля, называется единичной.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right),$$

$A$ — единичная матрица третьего порядка.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right),$$

$A$ — нулевая матрица третьего порядка.

Определение. Матрица вида $$A=\left(\begin{matrix}A_{1}&& 0 \\ &\ddots & \\ 0 & &A_{s} \end{matrix}\right),$$ где $A_{1}…A_{s}$ — квадратные матрицы (блоки) произвольных порядков, расположенные таким образом, что их главные диагонали составляют главную диагональ матрицы $A,$ а остальные элементы, не входящие в блоки равны нулю, называется клеточнодиагональной или квазидиагональной.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}2&5&0&0&0&0\\6&3&0&0&0&0\\0&0&1&4&5&0\\0&0&2&2&3&0\\0&0&9&1&7&0\\0&0&0&0&0&4\end{matrix}\right),$$

$A$ — клеточнодиагональная (квазидиагональная) матрица шестого порядка.

Равенство матриц. Операции над матрицами

Равенство матриц

Определение. Две матрицы одинаковых размеров называются равными, если совпадают их элементы с одинаковыми индексами.

Замечание. Для матриц $A=\left (a_{ij}\right ),$ $B=\left (b_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right )$ равенство $A=B,$ т.е. $\left (a_{ij}\right )=\left (b_{ij}\right )$ означает $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,\,m}$ и $j=\overline{1,\,n}.$

Пример$$A=\left(\begin{matrix}2&3\\0&1\end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}2&3\\0&1\end{matrix}\right).$$ Порядок матрицы $A$ совпадает с порядком матрицы $B,$ и элементы матриц с соотвествующими индексами равны, поэтому $A=B$.

Сложение матриц

Определение. Пусть заданы матрицы $A=\left(a_{ij}\right ),$ $B=\left(b_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$ Их суммой называется матрица $C=\left (c_{ij}
\right ) = A+B=\left (a_{ij}\right )+\left (b_{ij}\right )=\left(a_{ij}+b_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Таким образом, можно складывать матрицы одинаковых размеров. При этом получается матрица тех же размеров.

Пример$$A=\left(\begin{array}{rrr}5&-8\\2&0\\1&4\end{array}\right),\,B=\left(\begin{array}{rrr}1&9\\4&3\\-1&-5\end{array}\right),\;A+B-?$$

Умножение на элемент поля

Определение. Пусть задана матрица $A=\left (a_{ij}
\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right )$ и элемент поля $\lambda \in P.$ Тогда произведением матрицы $A$ на элемент $\lambda$ называется матрица $$B=\left (b_{ij}\right )=\lambda \cdot A=\lambda \cdot \left (a_{ij}\right )=\left (\lambda \cdot a_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left (P \right ).$$

Умножая матрицу произвольных размеров на элемент поля, в результате получаем матрицу тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на элемент поля.

Пример$$A=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 8 \\4 & 1/2 & 2 \\ -6 & 0 & 3 \end{array}\right),\;-\frac{1}{2}\cdot A-?$$

Отметим простейшие свойства операции умножения на элемент поля. Именно:

1. $1\cdot A=A,\;$ $\forall A\in M_{m\times n}\left ( P \right );$
2. $\lambda \cdot \left ( \mu \cdot A \right )=\left ( \lambda \mu \right )\cdot A=\left ( \mu \lambda \right ) \cdot A,\;$ $\forall \lambda ,\mu \in P,$ $\forall A\in M_{m\times n}\left ( P\right );$
3. $\left ( \lambda +\mu \right )\cdot A=\lambda \cdot A+\mu \cdot A,$ $\forall \lambda ,\mu \in P,\;$ $\forall A\in M_{m\times n}\left ( P\right );$
4. $\lambda \cdot \left ( A+B \right )=\lambda \cdot A+\lambda \cdot B,$ $\forall \lambda \in P,\,$ $\forall A,B\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Умножение матриц

Определение. Пусть заданы матрицы $A=\left (a_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ),$ $B=\left (b_{ij}\right )\in M_{n\times s}\left ( P \right ).$ Произведением матрицы $А$ на матрицу $В$ называется матрица $C=A\cdot B,\,$ $C=\left (c_{ij}\right )\in M_{m\times s}\left ( P \right )$ такая, что $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}$ для всех $i=\overline{1,\,m}$ и $j=\overline{1,\,s}.$

Из операций над матрицами умножение считается самой трудной. Рассмотрим эту операцию подробнее. На рис.2 используем вторую строку первой матрицы и третий столбец второй матрицы. $$1\cdot 2+2\cdot 2+0\cdot 5=6.$$ Получившийся элемент стоит в строке и столбце с теми же номерами (вторая строка, третий столбец).

Аналогично находятся другие элементы. На рис.3 используем первую строку матрицы слева и четвертый столбец матрицы справа.$$2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 1=16.$$ Как видим, получившийся элемент стоит в строке и столбце с соответствующими номерами.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 4 & 7 \\2 & 0 & 2\end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}6 & 1 & 1\\7 & 3 & 2\\1&5&4\end{matrix}\right),\;A\cdot B-?$$

Легко заметить, что не любые матрицы можно перемножить. Требуется, чтобы число столбцов матрицы слева совпадало с количеством строк матрицы справа. Кроме того, если существуют оба произведения $A\cdot B$ и $B\cdot A,$ то, произведение $A\cdot B,$ вообще говоря, не равно произведению $B\cdot A,$ то есть операция умножения матриц не является коммутативной. Это объясняется несимметричностью использования строк и столбцов левого и правого сомножителей. Однако умножение матриц обладает свойством ассоциативности.

Примеры задач

Пример 1. Даны матрицы $A$, $B$ и $C$. Найти матрицу $D=-2\cdot A\cdot B\cdot E+C,\;$ $E$ — единичная матрица соответствующего порядка. $$A=\left(\begin{matrix}-2 & -3 & -5 \\-1 & -2 & -8\\ -4& -6 & -1\end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}2 & 1 & 10\\7 & 3 & 3\\1&5&4\end{matrix}\right),\;C=\left(\begin{matrix}21 & 42 & 4\\-6 & 12 & 9\\14&10&1\end{matrix}\right).$$

Пример 2. Дана матрица $A$. Найти $A^{3},$ $$A=\left(\begin{matrix}2 & 3 & 7 \\1 & 1 & 13\\ 0& 4 & 8\end{matrix}\right).$$

Литература

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.-400 с., стр. 194-197
3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с., стр. 72-80
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с., стр. 112-115

Рассмотрим свойства сопряженного оператора, которые связывают его с исходным линейным оператором:

1. $\Theta^*=\Theta$ $($в том случае, если $\Theta \in \Omega\left(X\right)),$
2. $E=E^*,$
3. ${\left(A^* \right)}^*=A,$
4. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C,$
5. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*,$
6. $\left(AB\right)^*=B^*A^*,$
7. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}.$

Заметим, что операторы $A$ и $B$ — произвольные, а черта над $\lambda$ означает комплексное сопряжение.

За исключением первых двух свойств, доказательство которых тривиально, докажем остальные свойства. Все они легко доказываются по одному шаблону, используя свойства линейных операторов, определение сопряженного оператора и свойства скалярного произведения.

3. $\left(A^*\right)^*=A$

   $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:
   $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=$$ (по определению сопряженного оператора) $$=\left(x,A^*y\right)= \overline{\left(A^*y,x\right)}=$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \overline{\left(y,Ax\right)} = \overline {\overline{\left(Ax,y\right)}} = (Ax,y).$$

   Получили равенство $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=\left(Ax,y\right).$$ Так как данное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $${\left(A^*\right)}^*x = Ax.$$ Аналогично, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ то $${\left(A^*\right)}^*=A.$$

4. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C$

   Если $A$ действует из $X \to Y,$ то $A^* \colon Y \to X$ и тогда $\overline{\lambda} A^*$ действует из $Y \to X.$ Рассмотрим скалярное произведение:

   $$\left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$$ (по определению операции над линейными операторами) $$= \left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right) =$$ (по свойству линейного оператора) $$ = \left(\left(\lambda A \right)x,y\right) = \lambda \left(Ax,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \lambda \left(x,A^*y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарных пространствах) $$ = \left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) = $$ (по операции умножения линейного оператора на константу) $$ = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right).$$

   Так как для $\forall x \in X,$ выполняется равенство $$\left(x,\left(\lambda A\right)^*y\right) = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right),$$ получаем $$\left(\lambda A\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*\right)y.$$ И так как полученное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $$\left(\lambda A\right)^* = \overline{\lambda} A^*.$$

5. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*$

   $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:

   $$\left(\left(A+B\right)x,y\right)=$$ (по определению операции сложения линейных операторов) $$= \left(Ax+Bx,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения) $$ = \left(Ax,y\right) + \left(Bx,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(x,A^*y\right) + \left(x,B^*y\right) = $$ (по по свойству скалярного произведения) $$ = \left(x,A^*y+B^*y\right) = $$ (по определению операции сложения линейного оператора) $$ = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$

   Получили $$\left(x\left(A+B\right),y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right),$$ или же $$\left(x,\left(A+B\right)^*y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$ Так как полученное равенство выполнимо $\forall x \in X,$ $$\left(A+B\right)^*y = \left(A^*+B^*\right)y.$$ И так как равенство также выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(A+B\right)^* = \left(A^*+B^*\right).$$

6. $\left(AB\right)^*=B^*A^*$

   Для доказательства этого свойства необходимо взять три унитарных пространства — $\left(X,C\right), \left(Y,C\right), \left(Z,C\right),$ и пусть существуют операторы $A \in \Omega\left(Z,Y\right),$ $B \in \Omega\left(X,Z\right),$ где $AB \in \Omega\left(X,Y\right).$ Следовательно, по определению сопряженного оператора, $A^* \in \Omega\left(Y,Z\right),$ $B \in \Omega\left(Z,X\right),$ и $B^*A^* \in \Omega\left(Y,X\right).$ Так же, пусть $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y.$ Тогда:

   $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(\left(AB\right)x,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(A\left(Bx\right),y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(Bx,A^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(x,B^*\left(A^*y\right)\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$

   Кратко запишем из равенства выше: $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = \left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$ Следовательно, так как равенство выполнимо для $\forall x \in X,$ $$\left(AB\right)^*y = \left(B^*A^*\right)y.$$ И так как равенство выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(AB\right)^* = \left(B^*A^*\right).$$

7. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}$

   Для этого доказательства нам потребуется обратимый оператор $A.$ Так же следует доказать обратимость оператора $A^*,$ но она следует из равенства единственности в теореме о существовании и единственности сопряженного оператора. Теперь, пусть $\forall x,y \in X,$ $\exists u,v \in X,$ для которых выполняется $Au=x,$ $A^*v=y.$ Составим равенство:

   $$\left(x,{\left(A^{-1}\right)}^*y \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(A^{-1}x,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(u,A^*v \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(Au,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(x,{\left(A^*\right)}^{-1}y\right).$$

   Следуя шаблону решений, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^*y = {\left(A^*\right)}^{-1}y,$$ и так как это равенство выполняется $\forall y \in Y,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^* = {\left(A^*\right)}^{-1}.$$

Смотрите также

1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Определение. Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ сопряженным с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $$\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Смотрите также

1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)