Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства

Пусть заданы два некоторых множества $X \subset R$ и $Y \subset R$ , где $Y$ — множество параметров, а $X$ представляет из себя некоторый отрезок $[a, b]$ — множество переменных. Тогда определим множество
$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} x\in X \\ y\in Y \end{matrix} } \right\} (K\subset { R }^{ 2 }).$

На заданном множестве $K$ зададим некоторую функцию $f(x,y)$ и предположим, что, для каждого фиксированного $y \in Y$ , она интегрируема по Риману на промежутке $[a,b]$ (в данной работе мы рассматриваем только собственные интегралы). Тогда заданную функцию
$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$
назовем интегралом, зависящим от параметра $y$ .

Так как нами введена новая функция, логично рассмотреть некоторые ее свойства.

Свойство непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема (о непрерывной зависимости интеграла от параметра). Пусть на некотором множестве определена функция $f(x,y)$ и собственный интеграл, зависящий от параметра
$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$
и $f$ непрерывна в прямоугольнике
$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$
Тогда функция $J(y)$ непрерывна на отрезке $[c, d]$ .

Доказательство

$\Box$ Начнем доказательство, воспользовавшись теоремой Кантора. Исходя из того, что любая непрерывная функция на ограниченном замкнутом множестве (в данном случае прямоугольнике $K$ ) равномерно непрерывна на этом множестве, можем записать данное условие для дальнейшей работы с функцией. То есть, для любого $\varepsilon >0$ найдется такое ${ \delta }_{ \varepsilon }$ (вообще говоря не зависящие от выбора точек $\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right)$ и $\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)$ в данном прямоугольнике $K$ ), что из выполнения неравенств
$\left| { x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 } \right| <{ \delta }_{ \varepsilon },\quad \left| { y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 } \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\quad$
следует выполнения неравенства
$\left| f\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) -f\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$

Положив $x={ x }_{ 1 }={ x }_{ 2 }$ , можем заключить, что для любого $x \in [a, b]$ и ${ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 } \in [c, d]$ , таких, что ${ \left| { { y }_{ 1 }-y }_{ 2 } \right| }<{ \delta }_{ \varepsilon},$ выполняется условие
$\left| f\left( x,{ y }_{ 1 } \right) -f\left( { x },{ y }_{ 2 } \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$

Тогда для любых ${ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 }$ из отрезка $[c,d]$ , удовлетворяющих условие описанное выше, выполняется:
$\left| J({ y }_{ 1 }) — J({ y }_{ 2 })\right| =$ $=\left| \intop_{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 1 })dx } -\intop_{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 2 })dx } \right| =$ $=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( f(x,{ y }_{ 1 } \right) -f(x,{ y }_{ 2 }))dx } \right| \le \intop _{ a }^{ b }{ \left| f(x,{ y }_{ 1 })-f(x,{ y }_{ 2 }) \right| dx } \le$ $\le \frac { \varepsilon }{ b-a } (b-a)=\varepsilon.$
Откуда можем сделать вывод о том, что функция $J(y)$ непрерывна в на отрезке $[c,d]$ , что и требовалось доказать. $\blacksquare$

[свернуть]

Как важное практическое применение данной теоремы, например, можем определить возможность переходить к пределу под знаком интеграла, при выполнении других необходимых для этого условий, а именно:
$\lim _{ y\rightarrow { y }_{ 0 } }{ \intop _{ a }^{ b }{ f(x,y)dx=\intop _{ a }^{ b }{ \lim _{ y\rightarrow { y }_{ 0 } } f(x,y)dx=\intop _{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 0 })dx\quad \forall } { y }_{ 0 }\in [c,d] } } }.$

Свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема (о дифференцируемости интеграла от параметра). Пусть функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна в прямоугольнике
$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$
Тогда собственный интеграл, зависящий от параметра
$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$
является непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке $[c,d],$ причем справедливо следующее равенство:
${ J }^{ \prime } \left( y \right) =\frac { d }{ dy } \intop_{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ,\quad \forall y\in \left[ c,d \right].$

Заметим, что указанное выше равенство называется правилом Лейбница: «Производная интеграла, зависящего от параметра, равна интегралу от производной подынтегральной функции по заданному параметру».

Доказательство

$\Box$ Рассмотрим производную заданной функции по определению
${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }.$

Тогда для доказательства теоремы нам необходимо убедиться в равенстве
$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \Rightarrow$ $\Rightarrow \lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\quad \left( 1 \right).$

Для дальнейшей работы проанализируем отношение
${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }.$

Так как функция $f$ и ее производная – дифференцируемые на заданном прямоугольнике функции, то мы имеем право воспользоваться теоремой Лагранжа о среднем значении^*
${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }=$ $=\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx },\quad { \theta }_{ x }\in \left( 0,1 \right).$

Вернемся к отношению находящемуся под знаком предела формулы $(1)$ :
$\frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } =$ $=\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx }-\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx }=$ $=\intop_{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx }.$

Аналогично доказательству предыдущего свойства, так как $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна на заданном прямоугольнике, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем же. Тогда запишем условие равномерной непрерывности, что поможет оценить нам выражение под знаком предела формулы $(1)$ :
$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists { \delta }_{ \varepsilon }>0:\forall x\in \left[ a,b \right] ; \forall y,y+\Delta y\in \left[ c,d \right]:\left| y+\Delta y-y \right|=$ $=\left| \Delta y \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\Rightarrow \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$

Принимая во внимание тот факт, что ${ \theta }_{ x } \in \left( 0,1 \right)$ , автоматически при тех же условиях будет выполняться неравенство
$\left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$
Тогда можем записать
$\left| \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right| =$ $=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx } \right| \le$ $\le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| dx } \le \left( b-a \right) \frac { \varepsilon }{ b-a } =\varepsilon.$

Отсюда следуя определению предела функции по Коши
$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\Rightarrow$ $\Rightarrow\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ={ J }^{ \prime }\left( y \right). \blacksquare$

[свернуть]

Обобщив указанную ранее теорему, можем получить формулу Лейбница для случая, когда пределы интегрирования являются некоторыми функциями, зависящими от параметра $y$ .

Формула Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы интегрирования которого зависят от переменной дифференцирования

Пусть пределы интегрирования собственного интеграла зависящего от параметра $y$ – некоторые непрерывно дифференцируемые на отрезке $[c, d]$ функции, зависящие от данного параметра: $a(y),b(y)$ . Тогда пусть задана функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывны в области
$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\left( y \right) \le x\le b\left( y \right) \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$
Тогда
$J(y)= \intop_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx$
дифференцируема на $[c,d]$ , причем
${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)dx -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot { a }^{ \prime }\left( y \right) +f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot { b }^{ \prime }\left( y \right) }.$

Доказательство

$\Box$ Рассмотрим $J(y)$ . Это сложная функция, зависящая от трех переменных, то есть можем записать: $J\left( y \right) =J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right)$ . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\frac { \partial }{ \partial y } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) +\frac { \partial }{ \partial a } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { da }{ dy } +$ $+\frac { \partial }{ \partial b } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { db }{ dy }.$

Выразим каждую частную производную отдельно:
$\frac { \partial }{ \partial y } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) =\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx },$ $\frac { \partial }{ \partial a } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) =\frac { \partial }{ \partial a } \intop_{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ f\left( x,y \right) dx } =-f\left( a\left( y \right) ,y \right),$ $\frac { \partial }{ \partial b } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) =\frac { \partial }{ \partial b } \intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ f\left( x,y \right) dx } =f\left( b\left( y \right) ,y \right).$

Подставляем найденные производные в исходное выражение для производной сложной функции
${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\frac { \partial }{ \partial y } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) +\frac { \partial }{ \partial a } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { da }{ dy } +$ $+\frac { \partial }{ \partial b } J\left( y,a\left( y \right) ,b\left( y \right) \right) \cdot \frac { db }{ dy } =\intop_{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \frac { da }{ dy }+$ $+f\left( b\left( y \right) ,y \right) \frac { db }{ dy }=\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot { a }^{ \prime }\left( y \right) +$ $+f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot b^{ \prime }\left( y \right).$

Таким образом, формула Лейбница доказана. $\blacksquare$

[свернуть]

Свойство интегрируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема (о интегрируемости интеграла от параметра). Пусть задана $f(x,y)$ непрерывная на некотором прямоугольнике
$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$
Тогда функция (собственный интеграл, зависящий от параметра)
$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$
интегрируема на отрезке $[c, d]$ , причем
$\intop _{ c }^{ d }{ { J }\left( y \right) dy } =\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx }.$

Доказательство

$\Box$ Из свойства непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, следует, что $J(y)$ непрерывна на $[c,d]$ , а следовательно и интегрируема. Тогда по теореме о сведении двойного интеграла к повторному имеем:
$\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =\iint _{ П }^{ }{ f\left( x,y \right) dxdy }.$ $\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx } =\iint _{ П }^{ }{ f\left( x,y \right) dxdy }.$ $\intop _{ c }^{ d }{ { J }\left( y \right) dy } =\iint _{ \Pi }^{ }{ f\left( x,y \right) dxdy } =\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =$ $=\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx }.$

Теорема доказана. $\blacksquare$

[свернуть]

Данное свойство дает нам возможность интегрировать исходную функцию $J(y)$ по параметру $y$ под знаком интеграла.

Примеры и практическая значимость

Следует заметить, что введенный нами математический объект имеет достаточно интересное применение не только в плане непосредственного вычисления. Например, собственные интегралы, зависящие от параметра $x$ , такого вида
${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( x\cdot \sin { \varphi } -n\cdot \varphi \right) } d\varphi } ,$ ${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \intop _{ -\pi }^{ \pi }{ { e }^{ i\left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) }d\varphi } ,$
где $n$ – некоторое целое число, являются интегральным представлением функций Бесселя первого рода. Интегральный подход использовал сам Бессель для изучения некоторых интересных свойств этих функций.

Такие функции имеют разнообразное применение не только в математических дисциплинах. Например, они применяются в решении задач о статических потенциалах, распространении волн, формы колебания тонкой круглой мембраны, обработке сигналов и т.д.

Графическое представление функций Бесселя первого рода $0$ , $1$ и $2$ порядков

Для более глубокого понимания темы, к рассмотрению предлагается практическое задание.

Пример

Закрепим материалы статьи и проверим правильность интегрального вида функций Бесселя приведенных выше, то есть, убедимся, что они являются таковыми по определению, а именно являются решением дифференциального уравнения Бесселя:
${ x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ x }\frac { { d }y }{ { dx } } +\left( { x }^{ 2 }-{ n }^{ 2 } \right) y=0,$
где $n$ – некоторое, в общем случае комплексное число.

Выполним проверку например для
${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) ) } d\varphi }.$

Вычислим требующиеся производные и подставим их в дифференциальное уравнение Бесселя:
$-{ x }^{ 2 }\cdot \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) } \cdot \sin ^{ 2 }{ \varphi } dx } +$ $+{ x }\cdot \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) } \cdot \sin { \varphi } \cdot d\varphi } +$ $+\left( { x }^{ 2 }-{ n }^{ 2 } \right) \int _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) } dx } =$ $=-\int _{ 0 }^{ \pi }{ (({ x }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \varphi } +{ n }^{ 2 }-{ x }^{ 2 })\cos { (x\cdot \sin { \varphi } — } } n\cdot \varphi )-$ $-x\cdot \sin { \varphi } \sin { (n\varphi -x\cdot \sin { \varphi } ) } d\varphi =$ $=-(n+\cos { \varphi ) } \sin { (n\varphi -x\cdot \sin { \varphi } ) } |\begin{matrix} \pi \\ 0 \end{matrix} = 0.$

Данный результат подтверждает, что представленный интеграл задает некоторую функцию Бесселя.

[свернуть]

Примечание

^*На данном этапе существуют разногласия по поводу применения формулы конечных приращений Лагранжа для доказательства данной теоремы, основанные на том, что вообще говоря $\theta_{x}$ представляет из себя некоторую функцию зависящую от переменной $x$ , что вызывает вопрос не нарушает ли она непрерывность, а следовательно, и интегрируемость подынтегрального выражения. Несмотря на это в большинстве рассмотренных источников указано именно такое доказательство, аргументированное тем, что $\theta_{x} \in (0, 1)$ не меняет условия принадлежности рассматриваемой точки исходному отрезку. Если же читатель не согласен с таким применением теоремы Лагранжа о среднем значении, то доказать свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра, можно аналогично доказательству свойства непрерывности, которое было приведено ранее.

Список литературы

Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

Для закрепления материала темы, рекомендуется пройти следующий тест.

Таблица лучших: Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

максимум из 19 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть $\left \{ f_{n} \right \}$ — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций. Предположим, что в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ числовая последовательность $\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}$ сходится, а функциональная последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходная последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ к непрерывно дифференцируемой функции $f$ , причем для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ .

Доказательство

Спойлер

Обозначим $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция $\varphi$ непрерывна на $\left[a;b\right]$ . Положим $g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt$ . Применим на отрезке с концами $x_{0}$ и $x$ теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности $\left \{ f’_{n}(t) \right \}$ . Тогда получим
$g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})$ . Тогда из равенства $g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$ следует, что существует и $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ , т.е. мы показали, что последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ сходится на $\left[a;b\right]$ . Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ и получим, что $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ , а так как функция $g$ дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции $\varphi$ ) и $g'(x)=\varphi (x)$ (в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция $f$ также дифференцируема и $f'(x)=\varphi (x)$ , т.е. функция $f$ имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . Осталось показать, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f$ равномерно на $\left[a;b\right]$ . Имеем
$\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |$ .
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших $n$ , а первое оцениваем так:
$\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt$ .
Теперь остается учесть, что последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится к функции $\varphi$ равномерно на $\left[a;b\right]$ , и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций $\left \{ u_{n} \right \}$ , такая, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ сходится в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ , а ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходный ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ , его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ .

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность дифференцируемых функций $\left \{ f_{n} \right \}$ , сходящаяся в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ и такова, что функциональная последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ к некоторой функции $f$ , причем эта функция $f$ дифференцируема на $\left[a;b\right]$ и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

Спойлер

Зададим $\varepsilon > 0$ . По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности $\left \{ f’_{n} \right \}$ , существует такой номер $N$ , что для всех $n, m\geq N$ и для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо неравенство $\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$
Обозначим $\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)$ . Тогда $\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon$ и, в силу формулы Лагранжа, $\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$
Отсюда следует, что
$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$
Из этого неравенства видно, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ . Далее, для $n,m\geq N$ имеем $\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$
Это неравенство можем переписать так: $\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon$
Устремим $n\rightarrow \infty$ и тогда получим $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$
Зафиксируем $m\geq N$ и найдем такое $\delta >0$ , что для всех $h$ , удовлетворяющих условию $0< \left | h \right |< \delta$ , справедливо неравенство $\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon$
Тогда получим, что $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$
Если в неравенстве $\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon$ ( $n, m\geq N$ ) перейдем к пределу при $n\rightarrow \infty$ (как уже доказано, он существует), то получим $\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$ где обозначено $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ . Отсюда следует, что $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$
Это означает, что существует $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$ .

[свернуть]

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Задание 1 из 5

1.
Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty}n{x}^{n-1}$
- $x-1\; \; \; \; для \; \; \; всех\; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
- $\frac{1}{{(1-x)}^{2}}\; \; \; \; для \; \; \; всех \; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
- $\frac{1}{x}\; \; \; \; \; для \; \; \; всех \; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти область определения функционального ряда $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$ и узнать, равномерно ли он сходится. (несколько правильных ответов)
- $E=[0;+\infty)$
- $E=\mathbb{R}$
- равномерно сходится
- расходится
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Расставить в правильном порядке исследование функционального ряда $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$ на равномерную сходимость.
- $\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=\left | \frac{n+x^{2}}{(n+1)+x^{2}} \right |< 1 \; \; \; \; \; E=\mathbb{R}$
- $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot 2x}{(n+x^{2})^{2}}$
- $\left | a_{n} \right |=\frac{2x}{(n+x)^{2}}\sim \frac{2x}{n^{2}}$ сходится в каждой точке
- $\left ( \frac{2x}{(n+x^{2})^{2}} \right )'=\frac{2(n+x^{2})^{2}-8x^{2}(n+x^{2})}{(n+x^{2})^{4}}=\frac{2n-6x^{2}}{(n+x^{2})^{3}}$
- $2n-6x^{2}=0\;\Rightarrow x=\sqrt{\frac{n}{3}}$
- $\frac{2\sqrt{\frac{n}{3}}}{(\frac{4n}{3})^{2}}=\frac{18}{16\sqrt{3}n^{\frac{3}{2}}}$ сходится равномерно для всех x.
- Поскольку ряд из производных сходится равномерно, то по теореме о дифференцировании, наш исходный ряд можно дифференцировать почленно.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Имеем ли мы право утверждать, что равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)$ справедливо, если доказано лишь то, что каждая функция из функционального ряда дифференцируема?
(да/нет)
- (нет)
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 5

5.

Для каждой функциональной последовательности или ряда указать промежутки равномерной сходимости

Элементы сортировки

$[0;1]$
$\left[0;+\infty \right]$
$\mathbb{R}$
$[0;2]$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{n}}{3n+5}}$

$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-...$

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x+1}\cos{nx}}{\sqrt[3]{n^{4}+2}}}$

Критерий дифференцируемости функции

Определение

Функция $f(x)=f(x_{1},…,x_{n})$ называется дифференцируемой в точке $x^{0}=(x^{0}_{1},…,x^{0}_{n})$ , если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа $A_{1},…,A_{n}$ , что при $x\rightarrow x^{0}$ выполняется равенство: $f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой $\delta$ -окрестности $U=U({M}’,\delta )$ точки ${M}’=({x}’,{y}’)$ и пусть $M=(x,y)\in U({M}’;\delta )$ , $\Delta x=x-{x}'$ , $\Delta y=y-{y}'$ . Тогда, $\rho =\rho(M,{M}’)=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta$ .

Пусть, наконец, $\Delta z=f({x}’+\Delta x,{y}’+\Delta y)-f({x}’,{y}’)$ .

Обычно $\Delta z$ называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),(2)$

где функции $f_{i}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$ .

Доказательство

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ . Тогда выполняется условие $(1)$ . Заметим, что равенство $\psi (x)=o(\rho(x,x^{0}))$ при $x\rightarrow x^{0}$ означает, что $\psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0})$ , где $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0$ .

Тогда $\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$ где $\varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}$ , $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0$ , так как $0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1$ .

Доопределим функции $\varepsilon _{i}(x)$ в точке $x^{0}$ по непрерывности, полагая что $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0$ .

Тогда из $(1)$ и $(3)$ получаем $f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$ $=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$ $f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)$ .

Так как функции $\varepsilon _{i}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$ , то и функции $f_{i}(x)$ непрерывны в этой точке и $f_{i}(x^{0})=A_{i}$ , $i=\overline{1,n}$ .

Пусть выполнено $(2)$ . Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции $f_{i}(x)$ в точке $x^{0},$ положим $A_{i}=f_{i}(x^{0})$ , $f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)$ , $\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0$ .

Получаем $f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$ $=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$ так как при $x\rightarrow x^{0}$ : $\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$ $\square$

Литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ
Дана функция $y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x$ .
При каких значениях $x$ производная ${y}'(x)=0$ ?
- -1;0;
- -2:1;
- -3;4;
- -1;0;
Правильно

Неправильно

Подсказка

${y}’=x^{2}+x-2$ .

Задание 2 из 5

2.

Количество баллов: 1

Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

Элементы сортировки

Дифференцируема всюду
Недифференцируема при $x=\frac{2k-1}{2}\pi$ , $k$ - целое
Недифференцируема при $x=1$
Недифференцируема при $x=k\pi$ , $k$ - целое

$y=\left | (x-1) (x-2)^{2}(x-3)^{3}\right |$

$y=\left | \cos x \right |$

$y=\left | \pi^{2}-x^{2} \right | \sin ^{2}x$

$y=\arcsin(\cos x)$

Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ
В каком случае формулировка теоремы написана правильно ?
- Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $f(x^{0})=f(x)-\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$ .
- Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$ .
- Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}+x_{i}^{0}),$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$ .
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 5

Рубрика: Математический анализ
Выяснить, будет ли функция $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ дифференцируема в точке $(0,0)$ ?
- Нет
- Да
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 5

5.

Количество баллов: 6

При каком условии функция $f(x)=x^{n}\sin \frac{1}{x}, (x\neq 0)$ и $f(0)=0$ :

Элементы сортировки

$n>0$
$n>1$
$n>2$

а) непрерывна при

$x=0$

б) дифференцируема при

$x=0$

в) имеет непрерывную производную при

$x=0$

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ . Тогда ее полное приращение в точке $a$ можно записать в виде

$\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,$

где $\alpha(\Delta x)\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ . Из этого представления следует, что существует предел

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0$ ,

означающий, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ .

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания

Задание 1 из 4

1.

Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ

Найти производные следующих функций:

Элементы сортировки

$2^x\ln 2-\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{\cos(\tan(\sqrt{x}))}{2\sqrt{x}\cos^2\sqrt{x}}$
$3x^2-1$
$\frac{e^x+14(x^2-2)}{x^2+2x}$

$2^x-\arctan {x}$

$\sin(\tan(\sqrt{x}))$

$x^3-x$

$\frac{(e^x+14)}{(x^2+2x)} x$

Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 2

Рубрика: Математический анализ
Заполните пропуски
- Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке, то она (непрерывна) в этой точке.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 2

Рубрика: Математический анализ
Является ли необходимое условие дифференцируемости функции достаточным условием дифференцируемости?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 2

Рубрика: Математический анализ
Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ . Тогда ее полное приращение в точке $a$ можно записать в виде
- $\Delta f(a)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|$
- $\Delta f(a)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)$
- $\Delta f(x)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|$
- $\Delta f(a)=\sum_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+|\Delta x|$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Пусть функция $f$ принадлежит классу $C^{1}(E)$ , где открытое множество $E\subset \mathbb{R}^{n}$ . Тогда $f$ дифференцируема на $E$ .

Через $C^{1}(E)$ обозначается класс всех всех непрерывно дифференцируемых на множестве $E$ функций.

Доказательство

Фиксируем $x_{0}\in E$ . Поскольку множество $E$ открыто, то существует шар $U_{0}$ с центром в этой точке, целиком содержащийся в $E$ . Пусть $r$ – радиус этого шара и вектор $h$ имеет длину $\left | h \right |<r$ . Обозначим: $x_{j}=x_{0}+h^{1}e_{1}+…+h^{j}e_{j}, (j=1,…,n)$ . Ясно, что $x_{n}=x_{0}+h$ .
Заметим, что все $x_{j}$ принадлежат шару $U_{0}$ . Действительно, $\left | x_{0}-x_{j} \right |=\sqrt{\sum_{i=1}^{j}(h^{j})^{2}}\leq \left | h \right |< r.$
Поскольку шар – выпуклое множество, то каждый из отрезков $[ x_{j-1},x_{j} ]$ содержится в $U_{0}$ . Действительно, этот отрезок – это множество точек $x=(1-t)x_{j-1}+tx_{j}$ , где $0\leq t\leq 1$ , и мы получаем $\left | x_{0}-x_{j} \right |\leq (1-t)\left | x_{0}-x_{j-1} \right |+\left | x_{0}-x_{j} \right |< r$ .
Воспользуемся равенством: $f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ].$
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части. При фиксированном $j$ положим $g(t)=f(x_{j-1}+te_{j})$ , $(0\leq t\leq h^{j})$ . По определению частной производной имеем: $g{}'(t)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{j-1}+te_{j}) .$
По формуле Лагранжа получаем:
$f(x_{j})-f(x_{j-1})=g(h^{j})-g(0)=g{}'(\tau _{j})h^{j}=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi _{j})h^{j},$
где $\xi _{j}=x_{j-1}+\tau_{j}e_{j}$ — некоторая точка отрезка, соединяющего $x_{j-1}$ и $x_{j}$ .
Имеем $\left | x_{0}-\xi_{j} \right |\leq \left | h \right |$ .
Обозначим $\alpha _{j}(h)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})-\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j}) .$
По условию все частные производные непрерывны в точке $x_{0}$ и поэтому $\lim_{h\rightarrow 0}\alpha _{j}(h)=0 , (j=1,…,n)$ .
В силу равенства $f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ]$ имеем:
$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j})h^{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j}-\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(h)h^{j}=$ $=A(h)+\rho (h),$
где $A(h)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j} .$
Итак, $A$ является линейной формой аргумента $h$ , а $\left | \rho(h) \right |\leq \left | h \right |\sum_{j=1}^{n}\left | \alpha_{j}(h) \right |$ .
Поэтому, получаем, что $\frac{\rho(h)}{\left | h \right |}\rightarrow 0$ при $h\rightarrow 0$ .
Согласно определению дифференцируемости, теорема доказана. $\square$

Замечание 1

Из доказательства видно, что если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и в этой точке все они непрерывны, то функция дифференцируема в точке $x_{0}$ .

Замечание 2

Непрерывность частных производных – только достаточное условие дифференцируемости. Оно не является необходимым.

Следствие

Каждая функция класса $C^{1}$ непрерывна.

[spoilergroup]

Спойлер

Пусть
$f(x)=\left | x \right |^{2}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}$ , $x\neq 0$ и $f(x)=0$ , $x=0$ .
Найдем частные производные
$\frac{\partial f}{\partial x^{i}}=2x^{j}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}-\frac{2x^{i}}{\left | x \right |^{2}}\cos \frac{1}{\left | x \right |^{2}}$ , $(x\neq0)$ .
При $x=0$ наша функция дифференцируема, т.к. $f(h)-f(0)=f(h)=\bar{o}(\left | h \right |)$ . Однако, как легко видеть, все частные производные разрывны в точке $x=0$ .

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Проверка знания достаточного условия дифференцируемости функции в точке

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 5

Рубрика: Математический анализ
Попробуйте правильно по-другому сформулировать формулировку теоремы исходя из самой теоремы.
- Если все частные производные (определены) в некоторой окрестности точки и в этой точке , то тогда функция в этой точке .
Правильно

Неправильно

Подсказка

Указано в разброс:

опр., дифф., непр.
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 5

Рубрика: Математический анализ
Будет ли дифференцируема фунция $f(x,y,z)=16x^{3}-3y^{2}+7z$ на $\mathbb{R}^{2}$ ?
- Да, будет
- Нет, не будет
Правильно

Неправильно

Подсказка

Ф-я не ограничена

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 1

Рубрика: Математический анализ

Определить, будет ли функции дифференцируемы согласно данной теореме и сопоставить заданные функции с их характеристиками.

Элементы сортировки

дифференцируема в любой точке
дифференцируема в любой точке полуплоскости $x+y>0$ , так как там существует и непрерывна ее частная производная
не дифференцируема в точке $(0,0)$
дифференцируема в любой точке

$z=x^{2}y$

$z=\sqrt{x+y}$

$z=x+y+\sqrt{\left |x \right |+\left |y \right |}$

$z=x^{2}e^{xy}$

Таблица лучших: Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

максимум из 11 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Свойство непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра

Свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

Формула Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы интегрирования которого зависят от переменной дифференцирования

Свойство интегрируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

Примеры и практическая значимость

Примечание

Список литературы

Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

7.

8.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

Теорема

Доказательство

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Доказательство

Теорема

Доказательство

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Определение

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Доказательство

Литература

Тест

Критерий дифференцируемости функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Доказательство

Следствие

Использованная литература

Рекомендованная литература

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Навигация (только номера заданий)

Информация