Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

M1686. О равенстве непрерывных на отрезке функций

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 3 выпуск)

Условие

Функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [0;1] и удовлетворяют равенствам
10f(x)dx=10g(x)dx=1 и 10f2(x)+g2(x)dx=2.
Докажите, что f(x)=g(x) на отрезке [0;1].

Для любой пары неотрицательных чисел а и b справедливо элементарное неравенство a+b2(a2+b2). При этом неравенство обращается в равенство лишь тогда, когда a=b. Ввиду этого и условий задачи, можно записать цепочку неравенств 210(|f(x)|+|g(x)|)dx210f2(x)+g2(x)dx=2.

Отсюда следует, что функции f(x) и g(x) равны и неотрицательны на отрезке [0;1].

Подобным образом читатель может доказать аналогичное утверждение для трех (и более) функций: если f(x), g(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [0;1] и 10f(x)dx=10g(x)dx=10φ(x)=1, а
10f2(x)+g2(x)+φ2(x)dx=3, то f(x)=g(x)=φ(x) на [0;1].

В.Произволов

4.1 Непрерывные функции. Определение и примеры

Определение. Пусть функция f определена на интервале (a,b) и точка x0(a,b). Говорят, что функция f непрерывна в точке x0, если limxx0f(x)=f(x0).

Замечание. В отличие от определения предела функции f в точке x0, здесь мы требуем, чтобы функция f была определена не только в проколотой окрестности точки x0, а в целой окрестности точки x0. Кроме того, limxx0f(x) не просто существует, а равен определенному значению, а именно, f(x0).

Используя определение предела функции в смысле Коши, определение непрерывности функции f в точке x0 в кванторах можно записать следующим образом: \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x — x_0| < \delta \Rightarrow \Big|f(x) — f(x_0)\Big| < \varepsilon.

В этом определении можно не требовать выполнения условия |x — x_0| > 0, т. к. при |x − x_0| = 0 неравенство \Big|f(x) − f(x_0)\Big| < \varepsilon, очевидно, выполнено.

Так как величина \lim\limits_{x \to x_0}f(x) зависит лишь от тех значений, которые функция f принимает в сколь угодно малой окрестности точки x_0, то непрерывность – это локальное свойство функции.

В терминах окрестностей определение непрерывности выглядит следующим образом.

Определение. Функция f называется непрерывной в точке x_0, если для любой окрестности V точки f(x_0) найдется такая окрестность U точки x_0, что для всех x \in U значение f(x) \in V, т. е. f\Big(U \cap (a, b)\Big) \subset V.

Применяя определение предела функции в смысле Гейне, определение непрерывности можно сформулировать так.

Определение. Функция f, определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке x_0 \in (a, b), если любая последовательность аргументов \{x_n\} \Big(x_n \in (a, b), x_n \to x_0\Big) порождает последовательность значений функции \{f(x_n)\}, стремящуюся к f(x_0).

Применяя понятие, одностороннего предела (т. е. предела слева и справа) в точке x_0, можно дать определения непрерывности слева (справа) в точке x_0. Именно, функция f называется непрерывной слева (справа) в точке x_0, если \lim\limits_{x \to x_0-0}f(x) = f(x_0) \Big(\lim\limits_{x \to x_0+0}f(x) = f(x_0)\Big). При этом в определении непрерывности слева достаточно считать, что функция f определена лишь в левой полуокрестности точки x_0, т. е. на (a, x_0], а для
непрерывности справа – на [x_0, b).

Легко видеть, что справедливо следующее

Утверждение. Для того чтобы функция f была непрерывной в точке x_0, необходимо и достаточно, чтобы f была непрерывной слева и справа в точке x_0.

Определение. Функция f, определенная на интервале (a, b), называется разрывной в точке x_0 \in (a, b), если f не является непрерывной в этой точке.

Итак, функция f является разрывной в точке x_0, если выполнено одно из двух следующих условий.

  1. Либо не существует \lim\limits_{x \to x_0}f(x).
  2. Либо предел \lim\limits_{x \to x_0}f(x) существует, но он не равен f(x_0).

Пример 1. f(x) ≡ C = Const. Эта функция непрерывна в каждой точке x_0 \in \mathbb{R}, т. к. для любого x \in \mathbb{R} \Big|f(x) − f(x_0)\Big| = 0.

Пример 2. f(x) = x^2, -\infty \lt x \lt +\infty, x_0 \in \mathbb{R}. Зададим \varepsilon > 0. Тогда из неравенства |x^2 — {x_0}^2| \leqslant \Big(|x| + |x_0|\Big)|x − x_0| следует, что при |x − x_0| < \delta = \min\Big(1, \frac{\varepsilon}{2|x_0| + 1}\Big) справедливо неравенство |x^2 — {x_0}^2| < \varepsilon, т. е. \lim\limits_{x \to x_0}x^2 = {x_0}^2, а значит, функция f(x) = x^2 непрерывна в любой точке x_0 \in \mathbb{R}.

Пример 3. f(x) = \sqrt{x}, 0 \leqslant x \leqslant +\infty Если x_0 \in (0, +\infty), то \Big|\sqrt{x} — \sqrt{x_0}\Big| = \frac{|x — x_0|}{\sqrt{x} + \sqrt{x-0}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{x_0}}|x — x_0| \lt \varepsilon если только |x − x_0| \lt \delta \equiv \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon. Таким образом, функция f(x) = \sqrt{x} непрерывна в каждой точке x_0 \gt 0. В точке x_0 = 0 можно ставить вопрос о непрерывности справа. Имеем \Big|\sqrt{x} — \sqrt{0}\Big| = \sqrt{x} \lt \varepsilon, если только 0 \leqslant x \lt \delta \equiv \varepsilon^2. Итак, \lim\limits_{x \to 0+}\sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}, т. е. функция f(x) = \sqrt{x} непрерывна справа в точке 0.

Пример 4. f(x) = \sin x, -\infty \lt x \lt +\infty. Пусть x_0 \in \mathbb{R}. Тогда |\sin x − \sin x_0| = \bigg|2\cos{\frac{x + x_0}{2}}\sin{\frac{x — x_0}{2}}\bigg| \leqslant 2\bigg|\sin{\frac{x — x_0}{2}}\bigg| \leqslant |x — x_0|, где последнее неравенство в этой цепочке следует из доказанного выше неравенства |\sin t| \leqslant |t| (0 \lt |t| \lt \frac{\pi}{2}). Можем считать, что |x − x_0| \lt \pi. Тогда при |x − x_0| \lt \delta \equiv \min(\pi, \varepsilon) справедливо |\sin{x} − \sin{x_0}| \lt \varepsilon, т. е. функция f(x) = \sin{x} непрерывна в каждой точке x_0 \in \mathbb{R}. Аналогично доказываем, что функция f(x) = \cos{x} непрерывна в каждой точке x_0 \in \mathbb{R}.

Пример 5. f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}} при x \neq 0 и f(0) = 0. Покажем, что функция f непрерывна в точке x_0 = 0. Имеем f(0) = 0 и \lim\limits_{x \to 0}f(x) = \lim\limits_{x \to 0}x\sin{\frac{1}{x}} = 0 (т. к. \Big|f(x) − 0\Big| = \Big|x\sin{\frac{1}{x}}\Big| \leqslant |x| \lt \varepsilon, если только |x − 0| = |x| \lt \delta \equiv \varepsilon). Итак, \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(0), так что f непрерывна в точке 0.

Пример 6. f(x) = \text{sign}\;x, x \in \mathbb{R}. Если x_0 \neq 0, то функция f постоянна в некоторой окрестности точки x_0 и, следовательно, непрерывна в этой точке. Если же x_0 = 0, то не существует предела функции f при x \to 0. Значит, функция f разрывна в точке 0. Более того,\lim\limits_{x \to 0+}\text{sign}\; x = 1, \lim\limits_{x \to x_0}f(x)\text{sign}\;x = −1, \text{sign}\;0 = 0, так что функция \text{sign}\; x разрывна в точке 0 как слева, так и справа.

Пример 7. Рассмотрим функцию Дирихле \mathcal{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если $x \in \mathbb{Q}$;} \\ 0, & \text{если $x \in {\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}}$.} \end{cases} Пусть x_0 \in \mathbb{R}. Покажем, что не существует предела функции \mathcal{D} при x \to x_0. Для этого выберем последовательность \{x^\prime\} отличных от x_0 рациональных чисел, стремящуюся к x_0. Тогда \mathcal{D}(x^\prime_n) = 1 и, значит, \lim\limits_{n \to +\infty}\mathcal{D}(x^\prime_n) = 1. Если же взять последовательность {x^{\prime\prime}_n} отличных от x_0 иррациональных чисел, стремящуюся к x_0, то получим, что \mathcal{D}(x^{\prime\prime}_n) = 0 и \lim\limits_{n \to +\infty}\mathcal{D}(x^{\prime\prime}_n) = 0. В силу определения предела функции по Гейне получаем, что функция \mathcal{D} не имеет предела в точке x_0. Так как x_0 \in \mathbb{R} – произвольная точка, то это означает, что функция Дирихле разрывна в каждой точке.

Пример 8. f(x) = x \cdot \mathcal{D}(x), x \in \mathbb{R}. Функция f разрывна в каждой точке x_0 \neq 0. В самом деле, если \{x^\prime_n\} и \{x^{\prime\prime}_n\} соответственно последовательности рациональных и иррациональных отличных от x_0 чисел, стремящиеся к x_0, то \lim\limits_{n \to \infty}f(x^{\prime}_n) = x_0 и \lim\limits_{n \to \infty}f(x^{\prime\prime}_n) = 0, так что, в силу определения предела функции по Гейне, функция f не имеет предела в точке x_0. Если же x_0 = 0, то \lim\limits_{n \to 0}f(x) = 0 = f(0). Действительно, |f(x)| = |x \cdot \mathcal{D}(x)| \leqslant |x| \lt \varepsilon, если только |x − 0| = |x| \lt \delta \equiv \varepsilon. Это означает, что данная функция непрерывна в единственной точке x_0 = 0.

Пример 9. Дана функция f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{если $x \neq 0$;} \\ 1, & \text{если $x = 0$.} \end{cases} Проверить на непрерывность в точке x_0 = 0.

Решение

\lim\limits_{x \to x_0 — 0}\frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0 + 0}\frac{\sin x}{x} = 1 = f(x_0) Отсюда следует, что f(x) непрерывна в точке x_0, т. к. для того чтобы функция f была непрерывной в точке x_0, необходимо и достаточно, чтобы f была непрерывной слева и справа в точке x_0.

Пример 10. Покажите, что функция f(x) = \frac{x + 3}{x — 2} разрывна в точке x_0 = 2.

Решение

Для этого достаточно показать, что предел данной функции при x \to x_0 либо не равен значению функции в точке x_0, либо не существует. \lim\limits_{x \to 2 — 0}\frac{x + 3}{x — 2} = -\infty \lim\limits_{x \to 2 + 0}\frac{x + 3}{x — 2} = +\infty Т. к. левосторонний и правосторонний пределы f(x) не совпадают, то предела функция в точке x_0 не имеет, следовательно она разрывна в этой точке.

Литература

Непрерывные функции. Определение и примеры

Тест по теме: «Непрерывные функции. Определение и примеры.»


Таблица лучших: Непрерывные функции. Определение и примеры

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

4.2 Определение и примеры непрерывных функций

Определение. Пусть функция f определена на интервале (a, b) и точка x_0 \in (a, b). Говорят, что функция f непрерывна в точке x_0, если
\lim_{x \to x_0} f(x) = f (x_0).

Замечание. В отличие от определения предела функции f в точке x_0, здесь мы требуем, чтобы функция f была определена не только в проколотой окрестности точки x_0, а в целой окрестности точки x_0. Кроме того, \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) не просто существует, а равен определенному значению, а именно, f(x_0).

Используя определение предела функции в смысле Коши, определение непрерывности функции f в точке x_0 в кванторах можно записать следующим образом:
\forall \varepsilon > 0 \space \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0 : \forall x \in (a, b) : |x−x_0| < \delta \Rightarrow \\ \Rightarrow |f(x)−f(x_0)| < \varepsilon.
В этом определении можно не требовать выполнения условия |x−x_0| > 0, т. к. при |x−x_0| = 0 неравенство |f(x)−f(x_0)| < \varepsilon, очевидно, выполнено.

Так как величина \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) зависит лишь от тех значений, которые функция f принимает в сколь угодно малой окрестности точки x_0, то непрерывность — это локальное свойство функции.

В терминах окрестностей определение непрерывности выглядит следующим образом.

Определение. Функция f называется непрерывной в точке x_0, если для любой окрестности V точки f(x_0) найдется такая окрестность U точки x_0, что для всех x \in U значение f(x) \in V , т. е. f(U \cap (a, b)) \subset V.

Применяя определение предела функции в смысле Гейне, определение непрерывности можно сформулировать так.

Определение. Функция f, определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке x_0 \in (a, b), если любая последовательность аргументов \{x_n\} \space (x_n \in (a, b), x_n \to x_0) порождает последовательность значений функции \{f(x_n)\}, стремящуюся к f(x_0).

Применяя понятие одностороннего предела (т. е. предела слева и справа) в точке x_0, можно дать определения непрерывности слева (справа) в точке x_0. Именно, функция f называется непрерывной слева (справа) в точке x_0, если \displaystyle \lim_{x \to x_0−0} f(x) = f(x_0) (\lim_{x \to x_0+0} f(x) = f(x_0)). При этом в определении непрерывности слева достаточно считать, что функция f определена лишь в левой полуокрестности точки x_0, т. е. на (a, x_0], а для непрерывности справа — на [x_0, b).

Легко видеть, что справедливо следующее

Утверждение. Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке x_0, необходимо и достаточно, чтобы f была непрерывной слева и справа в точке x_0.

Определение. Функция f, определенная на интервале (a, b), называется разрывной в точке x_0 \in (a, b), если f не является непрерывной в этой точке.

Итак, функция f является разрывной в точке x_0, если выполнено одно из двух следующих условий.

1. Либо не существует \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x).

2. Либо предел \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) существует, но он не равен f(x_0).

Пример 1. f(x) \equiv C = Const. Эта функция непрерывна в каждой точке x_0 \in \mathbb{R}, т. к. для любого x \in \mathbb{R} \space |f(x)−f(x_0)| = 0.

Пример 2. f(x) = x^2, −\infty < x < +\infty, x_0 \in \mathbb{R}. Зададим \varepsilon > 0. Тогда из неравенства
|x^2-x_0^2| \leq (|x|+|x_0|)|x-x_0|
следует, что при |x−x_0| < \delta = \min{\Bigr(1, \frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\Bigl)} справедливо неравенство |x^2-x_0^2| < \varepsilon, т. е. \displaystyle \lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2, а значит, функция f(x) = x^2 непрерывна в любой точке x_0 \in \mathbb{R}.

Пример 3. f(x) = \sqrt{x}, \space 0 \leq x < +\infty. Если x_0 \in (0, +\infty), то
|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| = \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} \leq \frac{1}{\sqrt{x_0}} |x-x_0| < \varepsilon,
если только |x-x_0| < \delta \equiv \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon. Таким образом, функция f(x) = \sqrt{x} непрерывна в каждой точке x_0 > 0. В точке x_0 = 0 можно ставить вопрос о непрерывности справа. Имеем |\sqrt{x}-\sqrt{0}| = \sqrt{x} < \varepsilon \space, если только 0 \leq x < \delta \equiv \varepsilon^2. Итак, \displaystyle \lim_{x \to 0+} \sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}, т. е. функция f(x) = \sqrt{x} непрерывна справа в точке 0.

Пример 4. f(x)=\sin{x}, -\infty < x < +\infty. Пусть x_0 \in \mathbb{R}. Тогда
|\sin{x}−\sin{x_0}| = \Bigg|2\cos{\frac{x+x_0}{2}}\sin{\frac{x-x_0}{2}}\Bigg| \leq \\ \leq 2\Bigg|\sin{\frac{x-x_0}{2}}\Bigg| \leq |x−x_0|,
где последнее неравенство в этой цепочке следует из доказанного выше неравенства |\sin{t}| \leq |t| \space (0 < |t| < \pi/2). Можем считать, что |x−x_0| < \pi. Тогда при |x−x_0| < \delta \equiv \min{(\pi, \varepsilon)} справедливо |\sin{x}−\sin{x_0}| < \varepsilon, т. е. функция f(x) = \sin{x} непрерывна в каждой точке x_0 \in \mathbb{R}.

Аналогично доказываем, что функция f(x) = \cos{x} непрерывна в каждой точке x_0 \in \mathbb{R}.

Пример 5. f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}} при x \neq 0 и f(0) = 0. Покажем, что функция f непрерывна в точке x_0= 0. Имеем f(0) = 0 и
\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}} = 0
(т. к. |f(x)−0| = |x \sin{\frac{1}{x}}| \leq |x| < \varepsilon, если только |x−0| = |x| < \delta \equiv \varepsilon). Итак, \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = f(0), так что f непрерывна в точке 0.

Пример 6. f(x) = \operatorname{sign} x, x \in R. Если x_0 \neq 0, то функция f постоянна в некоторой окрестности точки x_0 и, следовательно, непрерывна в этой точке. Если же x_0 = 0, то не существует предела функции f при x \to 0. Значит, функция f разрывна в точке 0. Более того, \displaystyle \lim_{x \to 0+} \operatorname{sign} x = 1, \lim_{x \to 0−} \operatorname{sign} x = −1, \operatorname{sign} 0 = 0, так что функция \operatorname{sign} x разрывна в точке 0 как слева, так и справа.

Пример 7. Рассмотрим функцию Дирихле
\begin{equation*}D(x) = \begin{cases} 1, \quad x \in \mathbb{Q}, \\ 0, \quad x \in \mathbb{R \setminus Q}. \end{cases} \end{equation*}
Пусть x_0 \in \mathbb{R}. Покажем, что не существует предела функции D при x \to x_0. Для этого выберем последовательность \{x^\prime_n\} отличных от x_0 рациональных чисел, стремящуюся к x_0. Тогда D(x^\prime_n) = 1 и, значит, \displaystyle \lim_{n \to \infty} D(x^\prime_n) = 1. Если же взять последовательность \{x^{\prime\prime}_n\}, отличных от x_0 иррациональных чисел, стремящуюся к x_0, то получим, что D(x^{\prime\prime}_n) = 0 и \displaystyle \lim_{n \to \infty} D(x^{\prime\prime}_n) = 0. В силу определения предела функции по Гейне получаем, что функция D не имеет предела в точке x_0. Так как x_0 \in \mathbb{R} — произвольная точка, то это означает, что функция Дирихле разрывна в каждой точке.

Пример 8. f(x) = x \cdot D(x), \space x \in \mathbb{R}. Функция f разрывна в каждой точке x_0 \neq 0. В самом деле, если \{x^\prime_n\} и \{x^{\prime\prime}_n\} соответственно последовательности рациональных и иррациональных отличных от x_0 чисел, стремящиеся к x_0, то \displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x^\prime_n) = 0 и \displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x^{\prime\prime}_n) = 0, так что, в силу определения предела функции по Гейне, функция f не имеет предела в точке x_0. Если же x_0 = 0, то \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0). Действительно, |f(x)| = |x \cdot D(x)| \leq |x| < \varepsilon, если только |x−0| = |x| < \delta \equiv \varepsilon. Это означает, что данная функция непрерывна в единственной точке x_0 = 0.

Примеры решения задач

Пусть функция f определена в окрестности точки x_0, кроме самой точки x_0. Доопределить функцию f, задав f(x_0) так, чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке x_0, если:

  1. \displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{x+1}, \space x_0 = -1.

    Решение

    \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (x-1) = -2
    Таким образом, положим \displaystyle f(-1) = \lim_{x \to -1} f(x) = -2. Значит, функция непрерывна в точке x_0 = -1.

  2. \displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, \space x_0 = 0.

    Решение

    Воспользовавшись таблицей эквивалентных, получим:
    \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}-1}{x} \backsim \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x}{x} = \frac{1}{2}
    Таким образом, положим \displaystyle f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}. Значит, функция непрерывна в точке x_0 = 0.

  3. \displaystyle f(x) = x\cot{x}, \space x_0 = 0.

    Решение

    Воспользовавшись таблицей эквивалентных, получим:
    \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} x\frac{\cos{x}}{\sin{x}} \backsim \lim_{x \to 0} x\frac{\cos{x}}{x} = 1
    Таким образом, положим \displaystyle f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 1. Значит, функция непрерывна в точке x_0 = 0.

Непрерывные функции

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили эту тему и закрепите свои знания по ней, пройдя тест.

Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных множествах

Первая теорема Вейерштрасса

Пусть K — компакт в \mathbb{R}^{n} и функция f: K\rightarrow \mathbb{R}^{m} непрерывна на K. Тогда эта функция ограничена на K.

Доказательство

В силу непрерывности f, для любого x\in K найдётся окрестность U_{x}, такая что функция f ограничена на множестве U_{x}, то есть для каждого y\in K \cap U_{x} справедливо неравенство \begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}, где M_{x} зависит от x. Совокупность открытых шаров U_{x} образует открытое покрытие компактного множества K. В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие U_{x_{1}}, …, U_{x_{p}}. Этим шарам соответствуют числа M_{x_{1}}, …, M_{x_{p}}. На каждом и этих шаров функция f ограничена этим числом. Пускай M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}. Тогда для любого x\in K получим, что \begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M.

Пусть функция f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на \left[a, b \right]. По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на \left[a, b \right].

Vey1

Вторая теорема Вейерштрасса

Пусть f: K\rightarrow \mathbb{R} — действительная непрерывная функция на компакте K\subset \mathbb{R}^{n}. Тогда на этом множестве функция f достигает своей верхней и нижней границы, то есть существуют такие x^{‘}, x^{»}\in K, что

f(x^{‘})=\sup_{x\in E}f\left(x \right), f(x^{»})=\inf_{x\in E}f\left(x \right).

Доказательство

Пусть f: E\rightarrow \mathbb{R}, где E\subset \mathbb{R}^{n}. Функция f называется ограниченной сверху на множестве E, если существует такая постоянная M, то для всех x\in E справедливо неравенство \begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M. Каждое такое число M называется верхней границей функции f, а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции f и обозначается \sup_{x\in E}f\left(x \right).

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого x\in K справедливо неравенство f(x)<M, где M — верхняя грань функции f на K.

Рассмотрим функцию \varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}. Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке x\in K. По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число \mu >0, что \varphi (x)\leq \mu для любого x\in K. Это означает, что \frac{1}{M-f(x)}\leq \mu, или, что то же самое, f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K). Следовательно, число M-\frac{1}{\mu} является верхней границей для функции f. Но так как \mu >0, то это противоречит тому, что M является верхней гранью функции f, то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна на \left[a, b \right]. Тогда на этом множестве функция f достигает своей верхней и нижней граней M=f(x^{»})=\sup_{x\in E}f\left(x \right), m=f(x^{‘})=\inf_{x\in E}f\left(x \right).

Vey2

Пример

Пусть f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1. Будет ли f ограничена на \left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right]?

Спойлер

Тест на знание теорем Вейерштрасса о непрерывных функциях на компакте

Тест поможет понять, как хорошо вы усвоили приведённый выше материал.

Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если f\in C[a;b] и f строго возрастает на I = [a;b], то на E = [f(a),f(b)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(a), f(b)] и строго возрастающей на [a;b].

Если f\in C[a;b] и f строго убывает на [a;b], то на [f(b), f(a)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(b), f(a)] и строго убывающей на [a;b].

Доказательство:

Предположим, что функция f строго возрастает на отрезке I.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений E непрерывной функции f тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции f для каждого y\in E существует единственная точка x\in I такая, что f(x)=y.
Следовательно, для функции f существует обратная функция f^{-1}, определенная на отрезке E, имеющая множество значений I.

Покажем, что f^{-1} строго возрастает на E.

Пусть y_{1} и y_{2} — две произвольные точки из E такие, что y_{1}<y_{2}, и прообразами этих точек будут точки x_{1} и x_{2}. f^{-1}(y_{1})=x_{1} и f^{-1}(y_{2})=x_{2}.

Поскольку f — строго возрастающая функция, то неравенство y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2} возможно тогда и только тогда, когда x_{1}<x_{2} или, что то же самое, когда f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2}).

В силу произвольности y_{1} < y_{2} делаем вывод, что функция f^{-1} строго возрастает на множестве E.

Для случая, когда f строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература