2.1 Определение и элементарные свойства предела последовательности

Последовательность – это функция натурального аргумента. Если каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие действительное число $\{x_n\}.$ Иначе последовательность обозначают так: $x_1, x_2,…, x_n,….$ Число $x_n$ называется $n-$м элементом (или $n-$м членом) последовательности. Элементы последовательности считаются различными, даже если они равные, но имеют разные номера. Например, последовательность $1, 1, …,$ у которой все $x_n = 1$. Последовательность может быть задана формулой, которая по заданному $n$ позволяет вычислить значение $x_n,$ например, $\frac{(-1)^n + 1}{2}.$ Можно задавать последовательность рекуррентно, т. е. указывать закон, по которому каждый следующий элемент вычисляется по известным предыдущим, например, арифметическая $x_{n+1} = x_n + d,$ или геометрическая $x_{n+1} = x_n \cdot q$ прогрессии (при этом нужно определить один или несколько первых элементов). Можно задавать последовательность описанием её элементов, например, $x_n$ – $n$-й десятичный знак после запятой у числа $\pi.$

Определение. Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\},$ если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер $N,$ зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon,$ такой, что для всех номеров $n \ge N$ выполняется неравенство $\left |x_n-a\right | < \varepsilon.$ В этом случае пишут $x_n \to a$ $(n \to \infty),$ или $$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a.$$ В кванторах это определение выглядит следующим образом: $$\lim\limits_{n\to\infty} = a\;\Longleftrightarrow\;\forall\varepsilon > 0\;\exists N \equiv N_{\varepsilon} : \forall n \ge N\;|x_n-a| < \varepsilon.$$

Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится. В противном случае говорят, что последовательность расходится.

Для того чтобы выяснить геометрический смысл предела последовательности, перепишем неравенство $\left |x_n-a \right | < \varepsilon$ в таком эквивалентном виде $a-\varepsilon < x_n < a + \varepsilon.$ Тогда понятно, что с геометрической точки зрения равенство $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$ означает, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N(\varepsilon),$ зависящего от $\varepsilon,$ находится в $\varepsilon-$ окрестности точки $a.$ Вне этой окрестности находится, быть может, лишь конечное число элементов, а именно, те $x_n,$ номера $n$ которых меньше, чем $N(\varepsilon).$

В терминах окрестностей определение предела можно переформулировать следующим образом.

Определение. Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\},$ если для любого $\varepsilon-$ окрестности $U_{\varepsilon}(a)$ числа $a$ найдётся такой номер $N(\varepsilon),$ начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, т. е. $$\forall U_{\varepsilon}(a)\;\exists N : \forall n \ge N\; x_n\in U_{\varepsilon}(a).$$

Пример 1.Пусть $x_n = a\;(n = 1, 2, …).$ Такая последовательность называется стационарной. Ясно, что $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a.$

Пример 2.Пусть $x_n = \frac{(-1)^n}{n}.$ Покажем, что $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0.$ Зададим $\varepsilon > 0$ и рассмотри неравенство $\left | \frac{(-1)^n}{n}-0 \right | = \frac{1}{n} < \frac{1}{\varepsilon}.$ Оно выполняется, если только $n > \frac{1}{\varepsilon}.$ Положим $N = \left [\frac{1}{\varepsilon} \right ] + 1,$ где $\left [b\right ]$ означает целую часть числа $b.$ Тогда из неравенства $n \ge N$ следует, что $n > \frac{1}{\varepsilon},$ а значит, $\left | \frac{(-1)^n}{n}-0 \right | = \frac{1}{n} < \frac{1}{\varepsilon}.$ Таким образом, мы показали по определению, что число $a = 0$ является пределом последовательности $x_n.$

Пример 3. Покажем, что $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n) = 0.$ Зададим $\varepsilon > 0.$ Тогда получим, что неравенство $$\left |(\sqrt{n+1}-\sqrt n)-0\right | = \sqrt{n+1}-\sqrt n = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \le \frac{1}{\sqrt n} < \varepsilon$$ справедливо, если только $n > \frac{1}{\varepsilon^2}.$ Поэтому достаточно взять $N = \left [\frac{1}{\varepsilon^2}\right ]+1.$

Замечание. При доказательстве равенства $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$ по определению не требуется находить наименьший номер $N,$ начиная с которого выполняется неравенство $\left |x_n-a \right | < \varepsilon.$ Достаточно лишь указать какой-нибудь номер $N(\varepsilon),$ начиная с которого $\left |x_n-a \right | < \varepsilon.$

Отрицание определения предела. Число $a$ не является пределом последовательности $\{x_n\},$ если найдётся такое положительное $\varepsilon ,$ что для любого $N$ существует $n \ge N$ такое, что $\left |x_n-a\right | \ge \varepsilon,$ т. е. $$\exists\varepsilon > 0 : \forall N\;\exists n \ge N : |x_n-a| \ge \varepsilon.$$В этой записи число $N$ не может зависеть от $\varepsilon,$ а $n$ зависит от $N.$

В терминах окрестностей получаем, что число $a$ не является пределом последовательности $\{x_n\},$ если найдётся такая окрестность числа $a,$ вне которой находится бесконечно много элементов последовательности $x_n.$

Теперь легко можем сформулировать в кванторах определение расходящейся последовательности: $$\forall a\;\exists\varepsilon = \varepsilon (a) > 0 : \forall N\;\exists n \ge N : |x_n-a| \ge \varepsilon.$$

Пример 4.Докажем, что последовательность $x_n = (-1)^n$ расходится. Зададим произвольное $a \in \mathbb{R}$ и положим $\varepsilon = \frac{1}{2}.$ Если $a \ge 0,$ то вне окрестности $(a-\varepsilon , a+\varepsilon )$ находятся элементы последовательности с нечётными номерами, а если $a < 0,$ то с чётными номерами. Итак, какое бы $N$ мы ни взяли, найдётся $n \ge N$ (например, $n = 2N+1,$ если $a \ge 0$ и $n = 2N,$ если $a < 0$), для которого справедливо неравенство $|x_n-a| \ge \varepsilon.$

Примеры решения задач

  1. Доказать исходя из определения, что число $1$ является пределом последовательности $$\{x_n\} = \frac{n}{n+1}.$$
    Решение

    Рассмотрим модуль разности $$\left | x_{n}-1 \right | = \left | \frac{n}{n+1}-1 \right | = \frac{1}{n+1}.$$
    Возьмем произвольное число $\varepsilon > 0.$ Должно выполняться неравенство $\frac{1}{n+1} < \varepsilon.$ Т. е при $n > \frac{1}{\varepsilon}-1$

    Выберем в качестве $N_{\varepsilon}$ какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию $N_{\varepsilon}>\frac{1}{\varepsilon}-1,$ например, число $N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon}-1 \right ] + 1.$

    Тогда для всех $n\geq N_{\varepsilon }$ будет выполняться неравенство $$\left | x_{n}-1 \right | = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{N_{\varepsilon}+1} < \varepsilon.$$

    Это и означает, что $1$ является пределом последовательности $\{\frac{n}{n+1}\},$ то есть $$\lim\limits_{n\to \infty } \frac{n}{n+1} = 1.$$

    [свернуть]
  2. Пользуясь определением, найти предел последовательности $$\{x_n\} = \frac{n-1}{n}.$$
    Решение

    Докажем, что $\lim\limits_{n\to \infty } x_{n} = 1.$ Так как $x_{n}=1-\frac{1}{n},$ то $\left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}.$ Возьмем произвольное число $\varepsilon > 0.$ Неравенство $\left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon$ будет выполняться, если $\frac{1}{n} < \varepsilon .$

    Выберем в качестве $N_{\varepsilon}$ какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию $N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon},$ например, число $N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1.$

    Тогда для всех $n\geq N_{\varepsilon }$ будет выполняться неравенство $\left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \le \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon.$ По определению предела это означает, что $\lim\limits_{n\to \infty } x_{n} =1.$

    [свернуть]
  3. Доказать исходя из определения, что $$\lim\limits_{n\to \infty } \frac{2n}{n^3+1} = 0.$$
    Решение

    Возьмем произвольное число $\varepsilon > 0.$ Должно выполняться неравенство $\left | \frac{2n}{n^3+1} \right | < \varepsilon.$ $$\frac{2n}{n^3+1} < \frac{2}{n^2} < \varepsilon .$$

    Выберем в качестве $N_{\varepsilon}$ какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию $N_{\varepsilon}> \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}},$ например, число $N_{\varepsilon }=\left [ \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}} \right ] + 1.$

    Тогда для всех $n\geq N_{\varepsilon }$ неравенство будет выполняться. Следовательно $\lim\limits_{n\to \infty } \frac{2n}{n^3+1} = 0.$

    [свернуть]

Литература

  1. Лысенко З.М. Конспект практики по математическому анализу
  2. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 15-17.
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.128-130.
  4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — С. 37-39.

Предел последовательности

Тест на проверку усвоенного в пройденной теме.

2.5 Критерий Коши

Если для исследования сходимости последовательности применять определение предела, то мы заранее должны знать, является ли данная последовательность сходящейся и значение ее предела. Используя определение предела, мы можем лишь доказывать выдвинутую гипотезу. Однако в ряде случаев по самому виду последовательности трудно определить, является ли она сходящейся или расходящейся. Например, $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . В связи с этим возникает необходимость найти внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не
зависящее от числа $a$ – предела последовательности. Мы докажем, что таким свойством является фундаментальность.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для всех номеров $n \geqslant N$, $m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < \varepsilon$.

Существенное отличие определения фундаментальности от определения предела состоит в том, что в определении предела мы должны знать значение предела, а в определении фундаментальности это не требуется. Смысл определения предела состоит в том, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от значения предела, т. е. $|x_n — a| < \varepsilon$ при $n \geqslant N = N(\varepsilon)$. В определении фундаментальности требуется чтобы все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличались друг от друга $\Big(|x_n — x_m| < \varepsilon$, $n, m \geqslant N = N(\varepsilon)\Big).$

Равносильность сходимости последовательности и ее фундаментальности устанавливает следующая теорема.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость доказывается совсем просто. В самом деле, нужно показать, что из сходимости следует фундаментальность. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$. Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем номер $N$, такой, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Если $n, m \geqslant N$, то получим $$|x_n — x_m| \leqslant |x_n — a| + |x_m — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$ а это и означает, что $\{x_n\}$ – фундаментальна.

Достаточность. Нужно показать, что из фундаментальности последовательности следует ее сходимость. Сначала мы покажем, что из фундаментальности следует ограниченность. Затем, используя лемму Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность и, наконец, снова используя фундаментальность, покажем, что и вся последовательность сходится к тому же пределу, что и выделенная подпоследовательность.

Итак, пусть $\{x_n\}$ – фундаментальная последовательность. Докажем ее ограниченность. Зададим $\varepsilon = 1$ и, пользуясь фундаментальностью, найдем номер $N_1$, такой, что для любых $n, m \geqslant N_1$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < 1$. Зафиксируем $m = N_1$. Тогда получим, что для всех $n \geqslant N_1$ имеет место неравенство $|x_n — x_m| < 1$, т. е. ${x_N}_1 — 1 < x_n < {x_N}_1 + 1$. Отсюда следует, что $|x_n| \leqslant |{x_N}_1| + 1$ для всех $n \geqslant N_1$. Во множестве $E = \{|{x_N}_1| + 1, |x_1| , \ldots , |{x_N}_1 − 1|\}$, состоящего из конечного числа элементов, выберем наибольший $A = \max\{|{x_N}_1| + 1, |x_1| ,\ldots, |{x_N}_1 − 1|\}$. Тогда получим, что $|x_n| \leqslant A$ для всех $n = 1, 2,\ldots$, а это и означает, что $\{x_n\}$ – ограниченная последовательность.

Применяя теперь к ограниченной последовательности $\{x_n\}$ лемму Больцано – Вейерштрасса, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность ${\{{x_n}_k\}}^\infty_{k = 1}$ и обозначим через a предел этой подпоследовательности. Покажем, что вся последовательность $\{x_n\}$ также сходится к числу a, т. е. что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь фундаментальностью последовательности $\{x_n\}$, найдем такой номер $N$, что для всех номеров $n, m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − x_m| < \frac{\varepsilon}{2}$. Далее, пользуясь тем, что $\lim\limits_{k\to \infty}{x_n}_k = a$, для заданного $\varepsilon$ найдем номер $k$, такой, что $n_k \geqslant N$ (это возможно, поскольку $n_k \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow \infty$) и $|{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Положим $m = n_k$. Тогда получим, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − {x_n}_k| < \frac{\varepsilon}{2}$. Отсюда следует, что для $n \geqslant N$ $$|x_n — a| \leqslant |x_n — {x_n}_k| + |{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Итак, для заданного $\varepsilon > 0$ мы нашли номер $N$, начиная с которого справедливо неравенство $|x_n — a| < \varepsilon$. Поскольку выбранное $\varepsilon > 0$ произвольно, то по определению предела последовательности получаем, что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Определение фундаментальности последовательности можно сформулировать в такой эквивалентной форме.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для любого $n \geqslant N$ и для любого $p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} — x_n| < \varepsilon$.

Пользуясь этим определением, скажем, что последовательность $\{x_n\}$ не является фундаментальной, если найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $N$ существуют такой номер $n \geqslant N$ и такое натуральное число $p$, что $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$.

Пример 1. Рассмотрим последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $x_{n + p} − x_n = \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p} \geqslant \frac{1}{n + p} + \ldots + \frac{1}{n + p} = \frac{p}{n + p}$. Если $n$ зафиксировано, то для $p = n$ получаем $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \frac{1}{2}$. Выберем $\varepsilon_0 = \frac{1}{2} > 0$. Тогда для любого номера $N$ положим $n = N$, $p = n$ и будем иметь $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$. Это означает, что данная последовательность не является фундаментальной и, следовательно, в силу критерия Коши, она расходится.

Пример 2. Покажем, что последовательность $x_n = \frac{\sin 1}{1^2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \ldots + \frac{\sin n}{n^2}$ фундаментальна, а значит, сходящаяся. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $$|x_{n + p} − x_n| \leqslant \frac{1}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{1}{n(n + 1)} + \ldots + \frac{1}{(n + p — 1)(n + p)} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p — 1} — \frac{1}{n + p} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + p} \leqslant \frac{1}{n} < \varepsilon,$$ если только $n \geqslant N = [\frac{1}{\varepsilon}] + 1$. Этим самым доказано, что данная последовательность фундаментальна.

Пример 3. Доказать, что последовательность $x_n = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2},$ где $|a_n| \leqslant 2$ для всех $n$ натуральных, сходится, с помощью критерия Коши.

Решение

Для натуральных $n$ и $p$ $$|x_{n + p} — x_n| = \frac{|a_{n + 1}|}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{|a_{n + p}|}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{2}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)n} + \ldots + \frac{2}{(n + p)(n + p — 1)} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + 1} + \ldots + \frac{2}{n + p — 1} — \frac{2}{n + p} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + p} \leqslant \frac{2}{n} < \varepsilon$$ если только $n \geqslant N = [\frac{2}{\varepsilon}] + 1$. таким образом доказано, что последовательность фундаментальна, а следовательно она сходится.

Упражнение. Покажите, что условие $\lim\limits_{n \to \infty}(x_{n+p} — x_n) = 0$, справедливое при любом натуральном $p$, не влечет фундаментальность последовательности $\{x_n\}$

Литература

Критерий Коши

Тест по теме: «Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.»


Таблица лучших: Критерий Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

2.2 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность $\left\{x_n\right\}$ называется бесконечно малой, если $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = 0$.

Легко видеть, что последовательность $\left\{x_n\right\}$ сходится к числу $a$ тогда и только тогда, когда последовательность $a_n = x_n — a$ бесконечно малая. Используя это, можно дать следующее равносильное определение предела.

Определение. Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{ x_n\right\}$, если последовательность $\left\{x_n — a\right\}$ бесконечно малая.

Следует, однако, понимать, что при таком определении предела нужно отдельно определять понятие бесконечно малой последовательности, а именно, бесконечно малой называть такую последовательность $\left\{ x_n\right\}$, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется номер $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, такой, что при любом $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| < \varepsilon$.

Теорема (свойства бесконечно малых последовательностей).
1) Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.
2) Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Свойство 1) следует из арифметических свойств переделов (теорема 7).

Докажем 2). Пусть $\left\{a_n\right\}$ — бесконечно малая, а $\left\{x_n\right\}$ ограниченная последовательности. Обозначим $\beta_n = a_nx_n$. Поскольку $\left\{x_n\right\}$ ограничена, то существует такое $A > 0$, что $|x_n| \leq A$ при любом $ n \in \mathbb{N}$. Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь тем, что $\left\{a_n\right\}$ бесконечно малая, найдем такой номер $N$, что при всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|a_n| < \frac{\varepsilon}{A}$. Тогда для $n \geq N$ получим $|\beta_n| = |a_n|$ $|x_n| \leq A$ $|a_n| < \varepsilon$, а это означает, что последовательность $\left\{\beta_n\right\}$ бесконечно малая. $\small\Box$

Бесконечно большие последовательности

Выше мы показали, что каждая сходящаяся последовательность ограничена. Иначе говоря, всякая неограниченная последовательность расходится. Мы выделим некоторые специальные классы неограниченных последовательностей.

Определение. Говорят, что последовательность $\left\{x_n\right\}$ стремится к $+\infty$, если для любого действительного числа $M$ найдется номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $M$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $x_n > M$. В этом случае пишут $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = +\infty$, или $x_n \rightarrow + \infty$ при $n \rightarrow \infty$.

Говорят, что последовательность $\left\{x_n\right\}$ стремится к $-\infty$, если для любого действительного числа $M$ найдется номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $M$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $x_n < -M$. В этом случае пишут $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = -\infty$, или $x_n \rightarrow -\infty$ при $n \rightarrow \infty$.

Последовательность $\left\{x_n\right\}$ называется бесконечно большой, если модули её элементов стремятся к $+\infty$ $(\lim\limits_{n\to\infty} |x_n| = +\infty)$, т.е. если для любого $M$ найдется номер $N$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| > M$. Обозначают это так: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \infty$, или $x_n \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$.

Иллюстрация

Ясно, что каждое из условий $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = +\infty$, или $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = -\infty$ влечет $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \infty$. Обратное неверно. Например, последовательность $x_n = (-1)^nn$ стремится к $\infty$, но не стремится ни к $+\infty$, ни к $-\infty$.

Напомним, что неограниченная последовательность $\left\{x_n\right\}$ — это такая, что для любого $M$ найдется такой номер $n$, что $|x_n| > M$. Ясно, что каждая бесконечно большая последовательность неограничена, но обратное неверно. Например, последовательность $x_n = n^{(-1)^n}$ неограничена, но не является бесконечно большой.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями устанавливает следующее

Утверждение. Пусть $x_n \neq 0$ $(n = 1, 2,\dots)$. Тогда последовательность $\left\{x_n\right\}$ бесконечно большая в том и только в том случае, когда последовательность $ a_n = \frac{1}{x_n} $ бесконечно малая.

Доказательство этого утверждения сразу следует из эквивалентности двух следующих неравенств: $|a_n| < \varepsilon$ и $|x_n| = |\frac{1}{a_n}| > \frac{1}{\varepsilon}$. Например, если $\left\{x_n\right\}$ — бесконечно большая, то для заданного $\varepsilon > 0$ найдем такой номер $N$, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| > \frac{1}{\varepsilon}$. Тогда для $n \geq N$ будем иметь $|a_n| = |\frac{1}{x_n}| < \varepsilon$, а это и означает, что последовательность $\left\{a_n\right\}$ бесконечно малая.

Доказательство обратного утверждения аналогично.$\small\Box$

Некоторые виды неопределенностей.

Пусть $x_n \rightarrow +\infty$, $y_n \rightarrow +\infty$. Тогда легко убедится в том, что $x_n + y_n \rightarrow +\infty$ и $x_ny_n \rightarrow +\infty$. Однако, об $x_n — y_n$ ничего определенного сказать нельзя. Так, например, если $x_n = n^2 \rightarrow +\infty$, $y_n = n \rightarrow +\infty$, то $x_n — y_n = n^2 — n \geq n$ $(n \geq 2)$ и $x_n — y_n \rightarrow +\infty$. Для $x_n = n, y_n = n^2$ имеем $x_n — y_n = n — n^2 \geq -n$ и $x_n — y_n \rightarrow -\infty$. Если же $x_n = n \rightarrow +\infty$, $y_n = n + (-1)^n \rightarrow + \infty$, то последовательность $x_n — y-n = (-1)^{n+1}$ не имеет предела.

Говорят, что разность двух стремящихся к $+\infty$ последовательностей составляет неопределенность вида $\left[(+\infty) — (+\infty)\right]$. Другой вид неопределенности $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ — отношение двух стремящихся к $\infty$ последовательностей, т.е. $\frac{x_n}{y_n}$, где $x_n \rightarrow \infty $, $y_n \rightarrow \infty $. Вы самом деле, для $x_n = n^2$, $y_n = n$ имеем $\frac{x_n}{y_n} = n \rightarrow \infty $, $\frac{y_n}{x_n} = \frac{1}{n} \rightarrow 0$. Если же $x_n = (2 + (-1)^n)n$, $y_n = n$, то отношение $\frac{x_n}{y_n} = 2 + (-1)^n$, очевидно, не имеет предела.

Так как обратная к бесконечно большой является бесконечно малой последовательностью, то получаем еще такие виды неопределенностей: $\left[0 \cdot \infty\right] = \left[\frac{1}{\infty} \cdot \infty\right] = \left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \left[\frac{0}{0}\right]$. Приведите соответствующие примеры.

Комментарий

По данной теме существует множество примеров, в которых встречаются вышеописанные неопределенности. Раскрыть их позволяют эквивалентные бесконечно малые последовательности. Читателю может ознакомиться с ними ниже.

Эквивалентные бесконечно малые последовательности

Определение. Две бесконечно малые последовательности $\left\{\alpha_n\right\}$ и $\left\{\beta_n\right\}$ называются эквивалентными, если $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\alpha_n}{\beta_n} = 1$. Пишут так: $\alpha_n \sim \beta_n$.

При $n \rightarrow 0$ справедливы следующие отношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

  • $\sin{n} \sim n, $
  • $\tan{n} \sim n, $
  • $1-\cos{n} \sim \frac{1}{2}n^2, $
  • $\frac{\pi}{2} — \arccos{n} \sim n, $
  • $\arcsin{n} \sim n, $
  • $\arctan{n} \sim n, $
  • $a^n-1 \sim n \ln{a}, $
  • $\log_a(1+n) \sim \frac{n}{\ln{a}}, $
  • $(1+n)^\alpha — 1 \sim \alpha \cdot n.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых фигурируют бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Определить будет ли последовательность $x_n = \frac{n}{n^2 + 1}$ бесконечно малой.
    Решение

    Найдем предел $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2 + 1}{n^2}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{0}{1 + \frac{1}{n^2}} = $ $ = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{0}{1 + 0} = 0.$

    Предел последовательности равен нулю, а значит она бесконечно малая.

  2. Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n} = 0$.
    Решение

    Последовательность $(-1)^n$ ограничена, а $\frac{1}{n}$ бесконечно малая, так как $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$. Согласно теореме о свойствах бесконечно малых последовательностей, произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную будет бесконечно малой последовательностью, значит и $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n} = 0$.

  3. Доказать, что $x_n = \frac{1}{n^4}$ бесконечно малая.
    Решение

    Так как $x_n = \frac{1}{n^4} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$, имеем произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей. По теореме о свойствах бесконечно малых, последовательность $x_n$ — бесконечно малая.

  4. Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n2^n = \infty$.
    Решение

    Докажем, что последовательность бесконечно большая. Согласно определению, последовательность $\left\{x_n\right\}$ называется бесконечно большой, если для любого $M$ найдется номер $N$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| > M$. Найдем этот номер $N$.

    $|(-1)^n2^n| \geq M$, значит $2^n \geq M$. Прологарифмировав обе части неравенства по основанию $2$, получаем $n \geq \log_2M$.

    Выберем наименьшее $N$, удовлетворяющее данному условию, а это $N = [|\log_2M|] + 1$.

    Так как $N$ существует, последовательность будет бесконечно большой, а значит и $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n2^n = \infty$.

  5. Найти предел последовательности $x_n = \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{4^{\frac{1}{n}} — 1}$.
    Решение

    Сделаем замену $\frac{1}{n} = x$ и тогда $x \rightarrow 0$.

    $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{4^{\frac{1}{n}} — 1} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{4^x-1} = [\frac{\infty}{\infty}]$.

    Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми последовательностями для раскрытия неопределенности.

    $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{4^x-1} \sim \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x\ln4} = \frac{1}{\ln4}$.

Литература

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 24-26.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — c. 47-56.
  4. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 45-50.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Пройдите этот тест для проверки своих знаний вышеизложенного материала.

M1699. Неравенство

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 5 выпуск)

Условие

Докажите, что при любом натуральном $n$ справедливо неравенство $$\left \{ \sqrt{1} \right \} + \left \{ \sqrt{2} \right \} +\dots+ \left \{ \sqrt{n} \right \} \leqslant \frac{n^2-1}{2}$$
(Здесь $\left \{ k \right \}$ — дробная часть числа $k$.)

Решение

При $n = 1$ неравенство обращается в равенство $0 = 0$. При $n > 1$ докажем, что сумма дробных частей на каждом промежутке между двумя последовательными квадратами удовлетворяет неравенству $$\sum_{k=m^2}^{m^2+2m} \left \{ \sqrt{k} \right \} \leqslant \frac{2m+1}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

Нетрудно проверить (например, с помощью очевидного неравенства $\displaystyle \sqrt{m^2+x} \leqslant m + \frac{x}{2m}$), что
$$\sqrt{m^2+a} + \sqrt{m^2 + m -a} \leqslant 2m+1$$
при $0 \leqslant a \leqslant m$.

Следовательно, $$\left \{ \sqrt{m^2+a} \right \} + \left \{ \sqrt{m^2 + 2m -a} \right \} \leqslant 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

Просуммировав эти неравенства при $a =0,1,\dots,m-1$ и неравенство $\displaystyle \left \{ m^2+m \right \} \leqslant \frac{1}{2}$ (получаемое деление на $2$ обеих частей $(2)$ при $a = m$), приходим к неравенству $(1)$. Суммируя неравенство $(1)$ по всем $m$ от $1$ до $n-1$, получаем $$\sum_{k=1}^{n^2-1} \left \{ \sqrt{k} \right \} \leqslant \frac{n^2-1}{2}.$$

Остается заметить, что $\left \{ \sqrt{n^2} \right \} = 0.$

А. Храбров

М1768. Аэробус

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 5 выпуск)

Условие

а) Расположите первые 100 натуральных чисел в таком порядке, чтобы для любых нескольких (но не всех) из этих чисел сумма номеров занятых ими мест не равнялась сумме самих этих чисел.

б*) При посадке в аэробус пассажиры сели куда попало. В итоге все места оказались заняты, а для любого множества, в котором не более 100 пассажиров, среднее арифметическое номеров занятых ими мест не менее чем на 1 отличается от среднего арифметического номеров мест, указанных в билетах. Каково наименьшее возможное число мест в таком аэробусе?

Решение

а) Укажем два способа: 100, 1, 2, \ldots, 97, 98, 99 и 2, 3,4, \ldots, 99, 100, 1. Каждый из них дает требуемое расположение чисел, в чем легко непосредственно убедиться.

б) Ответ: 301 место.
Каждый пассажир включен в один из циклов вида P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{m}, где P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{m} – некоторые пассажиры, причем P_{i}-й пассажир (i =  1, 2, \ldots , m - 1) имеет билет на место, которое занимает P_{i+1}-й пассажир, а P_{m}-й пассажир – на место, которое занимает P_{1}-й пассажир. Если в таком цикле 100 пассажиров или менее, то все они могли составить одну рассматриваемую группу, для которой среднее арифметическое номеров занимаемых ими мест равно среднему арифметическому номеров мест, указанных в их билетах, что противоречит условию. Поэтому m \geq 101 + r \geq 202. Значит, если число циклов не меньше 3, то в аэробусе размещаются 303 или более пассажиров. Заметим далее, что если P_{k}, P_{k+1}, \ldots , P_{k+r} – цепочка пассажиров, последовательно включенных в некоторый цикл, причем номера билетов P_{k}-го и P_{k+r}-го отличаются на 1, то r \geq 101. Рассматривая цепочку P_{k+r}, P_{k+r+1} , \ldots , P_{m}, P_{1}, \ldots , P_{k}, получим неравенство m - (k + r) + k \geq 101. Следовательно, m \geq 101 + r \geq 202 , и поэтому число мест в аэробусе может быть меньшим, чем 303, только если выполняется одно из следующих условий:

  1. Все пассажиры включены в один цикл;
  2. Число циклов равно 2, причем любые два билета на соседние (по номерам) места принадлежат пассажирам из разных циклов.

Пусть выполнено первое условие. Рассмотрим пассажиров A_{n}, A_{n+1} и A_{n+2} с билетами на n-е, (n + 1)-е и (n + 2)-е места соответственно. Между A_{n}-м и A_{n+1}-м пассажирами в кратчайшей из цепочек, их соединяющих, имеется не менее 100 пассажиров, между A_{n+1}-м и A_{n+2}-м также не менее 100 пассажиров, а между A_{n+2}-м и A_{n}-м либо нет ни одного пассажира, либо имеется не менее 100. Значит, если общее число мест меньше 303, то либо A_{n} сидит на (n + 2)-м месте, либо A_{n+2} сидит на n-м месте. Ввиду произвольности номера n имеем (с точностью до направления) цикл A_{1} A_{3} A_{5} \ldots A_{N}A_{2}A_{4} \ldots A_{N'}, где N и N' – наибольший нечетный и наибольший четный номера соответственно, а A_{i}–пассажир, занимающий i-е место, i = 1, 2, \ldots, max ( N, N').Пассажиры, сидящие на местах N, 2, 4, \ldots , 198, имеют билеты на места 2, 4, 6,  \ldots , 200, а разность соответствующих средних равна (N - 200) : 100. Так как эта разность больше 1, получаем N \geq 301. Нетрудно убедиться, что цикл  A_{1}A_{3}A_{5} \ldots A_{301}A_{2}A_{4} \ldots A_{300} удовлетворяет условиям задачи. Пусть теперь выполнено второе условие, т.е. имеются два цикла, каждый из которых включает всех пассажиров с билетами на места одной четности. Если в каком-нибудь из этих циклов пассажир A_{n} сидит не на (n + 2)-м месте, а A_{n+2}– не на n-м месте, то в цикле не менее 202 пассажиров, а в аэробусе – не менее 403 мест. В противном же случае имеем (с точностью до направления) цикл A_{1}A_{3}A_{5} \ldots A_{N} , где пассажиры с билетами на места 1,3, 5, \ldots , 199 сидят на местах N, 1, 3, \ldots , 197; разность соответствующих средних арифметических  (N - 199) :100 больше 1, откуда N \geq 301.

С.Токарев