М1768. Аэробус

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 5 выпуск)

Условие

а) Расположите первые $100$ натуральных чисел в таком порядке, чтобы для любых нескольких (но не всех) из этих чисел сумма номеров занятых ими мест не равнялась сумме самих этих чисел.

б*) При посадке в аэробус пассажиры сели куда попало. В итоге все места оказались заняты, а для любого множества, в котором не более $100$ пассажиров, среднее арифметическое номеров занятых ими мест не менее чем на $1$ отличается от среднего арифметического номеров мест, указанных в билетах. Каково наименьшее возможное число мест в таком аэробусе?

Решение

а) Укажем два способа: $100, 1, 2, \ldots, 97, 98, 99$ и $2, 3,4, \ldots, 99, 100, 1$ . Каждый из них дает требуемое расположение чисел, в чем легко непосредственно убедиться.

б) Ответ: $301$ место.
Каждый пассажир включен в один из циклов вида $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{m}$ , где $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{m}$ – некоторые пассажиры, причем $P_{i}$ -й пассажир ( $i = 1, 2, \ldots , m — 1$ ) имеет билет на место, которое занимает $P_{i+1}$ -й пассажир, а $P_{m}$ -й пассажир – на место, которое занимает $P_{1}$ -й пассажир. Если в таком цикле $100$ пассажиров или менее, то все они могли составить одну рассматриваемую группу, для которой среднее арифметическое номеров занимаемых ими мест равно среднему арифметическому номеров мест, указанных в их билетах, что противоречит условию. Поэтому $m \geq 101 + r \geq 202$ . Значит, если число циклов не меньше $3$ , то в аэробусе размещаются $303$ или более пассажиров. Заметим далее, что если $P_{k}, P_{k+1}, \ldots , P_{k+r}$ – цепочка пассажиров, последовательно включенных в некоторый цикл, причем номера билетов $P_{k}$ -го и $P_{k+r}$ -го отличаются на $1$ , то $r \geq 101$ . Рассматривая цепочку $P_{k+r}, P_{k+r+1} , \ldots , P_{m}, P_{1}, \ldots , P_{k}$ , получим неравенство $m — (k + r) + k \geq 101$ . Следовательно, $m \geq 101 + r \geq 202$ , и поэтому число мест в аэробусе может быть меньшим, чем $303$ , только если выполняется одно из следующих условий:

Все пассажиры включены в один цикл;
Число циклов равно $2$ , причем любые два билета на соседние (по номерам) места принадлежат пассажирам из разных циклов.

Пусть выполнено первое условие. Рассмотрим пассажиров $A_{n}, A_{n+1}$ и $A_{n+2}$ с билетами на $n$ -е, $(n + 1)$ -е и $(n + 2)$ -е места соответственно. Между $A_{n}$ -м и $A_{n+1}$ -м пассажирами в кратчайшей из цепочек, их соединяющих, имеется не менее $100$ пассажиров, между $A_{n+1}$ -м и $A_{n+2}$ -м также не менее $100$ пассажиров, а между $A_{n+2}$ -м и $A_{n}$ -м либо нет ни одного пассажира, либо имеется не менее $100$ . Значит, если общее число мест меньше $303$ , то либо $A_{n}$ сидит на $(n + 2)$ -м месте, либо $A_{n+2}$ сидит на $n$ -м месте. Ввиду произвольности номера $n$ имеем (с точностью до направления) цикл $A_{1} A_{3} A_{5} \ldots A_{N}A_{2}A_{4} \ldots A_{N’}$ , где $N$ и $N'$ – наибольший нечетный и наибольший четный номера соответственно, а $A_{i}$ –пассажир, занимающий $i$ -е место, $i = 1, 2, \ldots, max ( N, N’)$ .Пассажиры, сидящие на местах $N, 2, 4, \ldots , 198$ , имеют билеты на места $2, 4, 6, \ldots , 200$ , а разность соответствующих средних равна $(N — 200) : 100$ . Так как эта разность больше $1$ , получаем $N \geq 301$ . Нетрудно убедиться, что цикл $A_{1}A_{3}A_{5} \ldots A_{301}A_{2}A_{4} \ldots A_{300}$ удовлетворяет условиям задачи. Пусть теперь выполнено второе условие, т.е. имеются два цикла, каждый из которых включает всех пассажиров с билетами на места одной четности. Если в каком-нибудь из этих циклов пассажир $A_{n}$ сидит не на $(n + 2)$ -м месте, а $A_{n+2}$ – не на $n$ -м месте, то в цикле не менее $202$ пассажиров, а в аэробусе – не менее $403$ мест. В противном же случае имеем (с точностью до направления) цикл $A_{1}A_{3}A_{5} \ldots A_{N}$ , где пассажиры с билетами на места $1,3, 5, \ldots , 199$ сидят на местах $N, 1, 3, \ldots , 197$ ; разность соответствующих средних арифметических $(N — 199) :100$ больше $1$ , откуда $N \geq 301$ .

С.Токарев

М1719. Последовательность

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 1 выпуск)

Условие

Последовательность $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $\ldots$ задана своим первым членом $a_{1} = 1$ и рекуррентной формулой $\displaystyle a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ , где $n = 1, 2, 3, \ldots$

Докажите, что $a_{100} > 14$ .
Найдите $\lbrack a_{1000}\rbrack$ , то есть укажите такое целое число $m$ , для которого $m \leqslant a_{1000} < m + 1$ .
Докажите существование и найдите значение предела $\displaystyle\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$ .

Решение

Возводим равенство $\displaystyle a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ в квадрат и «отбрасываем лишнее»: $a_{n+1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a_{n}^{2}} > {a_{n}^{2}} + 2.$ Вспомнив, что $a_{1}^{2} = 1$ , получаем одно за другим неравенства $a_{2}^{2} > a_{1}^{2} + 2 = 3$ , $a_{3}^{2} > a_{2}^{2} + 2 > 3 + 2 = 5$ , и вообще (при $n > 1$ ), $\begin{equation}\label{m1719_first} a_{n}^{2} > 2n — 1\end{equation}.$ В частности, $a_{100}^{2} > 199 > 196 > 14^{2}$ , что и требовалось.
Ответ: $\lbrack a_{1000}\rbrack = 44$ .

При $n = 1000$ неравенство $\eqref{m1719_first}$ дает $a_{1000}^{2} > 1999 > 44^{2}$ , так что $\lbrack a_{1000}\rbrack \geqslant 44$ . Чтобы получить оценку сверху, введем величины $b_{n}$ , такие что $a_{n}^{2} = 2n — 1 + b_{n}$ . В силу неравенства $\eqref{m1719_first}$ , имеем $b_{n} > 0$ при $n > 1$ . Далее, запишем формулу $\displaystyle a_{n+1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ в виде
$2n + 1 + b_{n+1} = 2n — 1 + b_{n} + 2 + \frac{1}{2n — 1 + b_{n}},$
откуда
$b_{n+1} = b_{n} + \frac{1}{2n — 1 + b_{n}} \leqslant b_{n} + \frac{1}{2n — 1}.$

По индукции из последнего неравенства следует, что
$b_{n+1} \leqslant b_{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2n — 3} + \frac{1}{2n — 1}.$
Поскольку $b_{1} = 0$ , имеем, в частности,
$b_{1000} \leqslant 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{1995} + \frac{1}{1997}.$
Осталось оценить сумму, оказавшуюся в правой части последнего неравенства. Сгруппируем слагаемые:
$b_{1000} \leqslant 1 + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} + \ldots + \frac{1}{25}\right) + \\ + \left(\frac{1}{27} + \frac{1}{29} + \frac{1}{31} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{79}\right) + \left(\frac{1}{81} + \frac{1}{83} + \ldots + \frac{1}{241}\right) + \\ + \left(\frac{1}{243} + \frac{1}{245} + \ldots + \frac{1}{727}\right) + \left(\frac{1}{729} + \frac{1}{731} + \ldots + \frac{1}{1997}\right).$
(Принцип очень простой: в первой скобке три слагаемых, наибольшее из которых равно $\displaystyle\frac{1}{3}$ ; во второй — девять, наибольшее из которых $\displaystyle\frac{1}{9}$ ; …; в пятой — $243$ слагаемых, наибольшее $\displaystyle\frac{1}{243}$ ; наконец, в шестой скобке наибольшее слагаемое равно $\displaystyle\frac{1}{729}$ , а слагаемых всего лишь $635$ .) Следовательно, $b_{1000} < 7$ . Это позволяет утверждать, что $a_{1000}^{2} < 2000 - 1 + 7 < 2025 = 45^2,$ откуда $a_{1000} < 45$ .
Использованный при решении пункта б) прием позволяет доказать, что $\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\frac{b_{n}}{n} = 0.$ Поскольку $a_{n} = \sqrt{2n — 1 + b_{n}}$ , получаем ответ:
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}} = \sqrt{2}.$

А. Спивак

Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$ -периодическую функцию $f(x)$ . Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$ , где $S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$ а $D_n(t)$ — ядро Дирихле: $D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$ : $\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что $\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$ Обозначим $F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$ тогда $\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

$F_n(t)$ — четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция;
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$ ;
$F_n(t) \ge 0$ ;
$\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$ .

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем $(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$ $=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , $0 < \delta < \pi$ .

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$ .

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

Спойлер

По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$ . Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$ , выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ . Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$ . Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ , то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$ , и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ , что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$ . Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$ , $\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$ . Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ .

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$ .

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$ $\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$ -периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$ . Пусть $\left| f(x) \right| < M$ . Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$ , что $\forall n > N$ выполнено неравенство $\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$ $\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$

Аналогично для всех $n > N$ : $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$ .

Спойлер

Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$ . Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$ , $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$ , $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$ , $n = 1, 2, \ldots$ . Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$ .

[свернуть]

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Задание 1 из 5

Соотнесите выражения.

Элементы сортировки

$\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
$\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

$D_n(t) =$

$F_n(t) =$

$\sigma_n(x) =$

Задание 2 из 5

2.
Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:
- $F_n(t)$ - четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция
- $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
- $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
- $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
Задание 3 из 5

3.
Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.
- равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
- $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
- ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
Задание 4 из 5

4.
Что такое суммы Фейера?
- средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
- среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
Задание 5 из 5

5.
К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ ?

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть $\left \{ f_{n} \right \}$ — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций. Предположим, что в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ числовая последовательность $\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}$ сходится, а функциональная последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходная последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ к непрерывно дифференцируемой функции $f$ , причем для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ .

Доказательство

Спойлер

Обозначим $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция $\varphi$ непрерывна на $\left[a;b\right]$ . Положим $g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt$ . Применим на отрезке с концами $x_{0}$ и $x$ теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности $\left \{ f’_{n}(t) \right \}$ . Тогда получим
$g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})$ . Тогда из равенства $g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$ следует, что существует и $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ , т.е. мы показали, что последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ сходится на $\left[a;b\right]$ . Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ и получим, что $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ , а так как функция $g$ дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции $\varphi$ ) и $g'(x)=\varphi (x)$ (в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция $f$ также дифференцируема и $f'(x)=\varphi (x)$ , т.е. функция $f$ имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . Осталось показать, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f$ равномерно на $\left[a;b\right]$ . Имеем
$\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |$ .
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших $n$ , а первое оцениваем так:
$\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt$ .
Теперь остается учесть, что последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится к функции $\varphi$ равномерно на $\left[a;b\right]$ , и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций $\left \{ u_{n} \right \}$ , такая, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ сходится в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ , а ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходный ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ , его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ .

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность дифференцируемых функций $\left \{ f_{n} \right \}$ , сходящаяся в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ и такова, что функциональная последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ к некоторой функции $f$ , причем эта функция $f$ дифференцируема на $\left[a;b\right]$ и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

Спойлер

Зададим $\varepsilon > 0$ . По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности $\left \{ f’_{n} \right \}$ , существует такой номер $N$ , что для всех $n, m\geq N$ и для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо неравенство $\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$
Обозначим $\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)$ . Тогда $\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon$ и, в силу формулы Лагранжа, $\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$
Отсюда следует, что
$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$
Из этого неравенства видно, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ . Далее, для $n,m\geq N$ имеем $\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$
Это неравенство можем переписать так: $\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon$
Устремим $n\rightarrow \infty$ и тогда получим $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$
Зафиксируем $m\geq N$ и найдем такое $\delta >0$ , что для всех $h$ , удовлетворяющих условию $0< \left | h \right |< \delta$ , справедливо неравенство $\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon$
Тогда получим, что $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$
Если в неравенстве $\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon$ ( $n, m\geq N$ ) перейдем к пределу при $n\rightarrow \infty$ (как уже доказано, он существует), то получим $\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$ где обозначено $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ . Отсюда следует, что $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$
Это означает, что существует $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$ .

[свернуть]

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Задание 1 из 5

1.
Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty}n{x}^{n-1}$
- $x-1\; \; \; \; для \; \; \; всех\; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
- $\frac{1}{{(1-x)}^{2}}\; \; \; \; для \; \; \; всех \; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
- $\frac{1}{x}\; \; \; \; \; для \; \; \; всех \; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти область определения функционального ряда $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$ и узнать, равномерно ли он сходится. (несколько правильных ответов)
- $E=[0;+\infty)$
- $E=\mathbb{R}$
- равномерно сходится
- расходится
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Расставить в правильном порядке исследование функционального ряда $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$ на равномерную сходимость.
- $\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=\left | \frac{n+x^{2}}{(n+1)+x^{2}} \right |< 1 \; \; \; \; \; E=\mathbb{R}$
- $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot 2x}{(n+x^{2})^{2}}$
- $\left | a_{n} \right |=\frac{2x}{(n+x)^{2}}\sim \frac{2x}{n^{2}}$ сходится в каждой точке
- $\left ( \frac{2x}{(n+x^{2})^{2}} \right )'=\frac{2(n+x^{2})^{2}-8x^{2}(n+x^{2})}{(n+x^{2})^{4}}=\frac{2n-6x^{2}}{(n+x^{2})^{3}}$
- $2n-6x^{2}=0\;\Rightarrow x=\sqrt{\frac{n}{3}}$
- $\frac{2\sqrt{\frac{n}{3}}}{(\frac{4n}{3})^{2}}=\frac{18}{16\sqrt{3}n^{\frac{3}{2}}}$ сходится равномерно для всех x.
- Поскольку ряд из производных сходится равномерно, то по теореме о дифференцировании, наш исходный ряд можно дифференцировать почленно.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Имеем ли мы право утверждать, что равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)$ справедливо, если доказано лишь то, что каждая функция из функционального ряда дифференцируема?
(да/нет)
- (нет)
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 5

5.

Для каждой функциональной последовательности или ряда указать промежутки равномерной сходимости

Элементы сортировки

$[0;1]$
$\left[0;+\infty \right]$
$\mathbb{R}$
$[0;2]$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{n}}{3n+5}}$

$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-...$

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x+1}\cos{nx}}{\sqrt[3]{n^{4}+2}}}$

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $f_n(x)$ , определенная на множестве $E$ , то говорят, что на множестве $E$ задана функциональная последовательность $\left \{f_n (x)\right \}$ . Множество $E$ называется областью определения последовательности $\left \{f_n (x)\right \}$ .

Если для некоторого $x_0 \in E$ числовая последовательность $\left \{f_n (x_0) \right \}$ сходится, то говорят, что последовательность функций $\left \{f_n (x) \right \}$ сходится в точке $x_0$ . Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке $x \in E$ , называют сходящейся на множестве $E$ .

Если $\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)$ для всех $x \in E$ , то говорят, что последовательность $\left \{f_n (x) \right \}$ на множестве $E$ сходится к функции $f(x)$ . Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций $\left \{ f_n(x) \right \}$ и предельная функция $f(x)$ . Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве $E$ к функции $f(x)$ если
$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$
Последовательность $\left \{ f_n(x) \right \}$ называется равномерно сходящейся на $E$ , если существует функция $f(x)$ , к которой она равномерно сходится.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $\left \{f_n(x) \right \}$ , $f_n(x) = \frac{1}{n}x^n$ на отрезке $\left [ 0;1 \right ]$ . Она равномерно сходится на этом отрезке.

Действительно, так как $0 < \frac{1}{n}x^n < \frac{1}{n}$ и $\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{1}{n} = 0$ , то для любой точности $\varepsilon > 0$ мы можем выбрать номер $n_\varepsilon = \left \lceil \frac{1}{\varepsilon } \right \rceil + 1$ , начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше $\varepsilon$ , $\left | f_n(x) \right | < \varepsilon$ . Значит последовательность сходится равномерно к нулю на $\left [ 0;1 \right ]$ .

[свернуть]

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $u_n(x)$ , определенная на множестве $E$ . Формально говоря нам дана функциональная последовательность $\left \{ u_n(x) \right \}$ .

Выражение вида $u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ называется функциональным рядом. Если для некоторого $x_0 \in E$ числовой ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$ сходится, то говорят, что функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится в точке $x_0$ . Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке $x \in E$ , называют сходящимся на множестве $E$ .

Сумма $n$ первых членов ряда $S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)$ называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность $\left \{ S_n(x) \right \}$ .

Спойлер

Изучим сходимость ряда
$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots,$
Где $x$ — действительное число. Этот ряд сходится при всех $x$ . При $x \neq 0$ мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{1+x^2}$ , $0 < q < 1$ . Таким образом:
$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots = \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 .$
При $x = 0$ каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.

[свернуть]

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ , члены которого являются функциями, определенными на множестве $E$ . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве $E$ , если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве $E$ . Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция $S(x)$ , что
$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$
Обозначим $S_n(x)-S(x)=r_n(x)$ — $n$ -ый остаток ряда, получаем $r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)$ . Тогда условие сходимости ряда примет вид: $\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$
Это означает, что какое бы мы маленькое $\varepsilon$ не взяли, начиная с некоторого номера $n$ , $n$ -ый остаток ряда будет меньше этого $\varepsilon$ .

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ равномерно сходится на множестве $E$ , то последовательность его членов $\left \{ u_n(x) \right \}$ равномерно стремится к нулю на множестве $E$ .

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как $S_n(x)$ , а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как $S(x)$ . Согласно определению равномерной сходимости ряда
$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$
поэтому для $\forall n \ge n_\varepsilon$ справедливо также неравенство
$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности $\left \{ u_n(x) \right \}$ .

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Условие

Решение

Условие

Решение

Ядро Фейера

Доказательство

Теорема (Фейера).

Доказательство.

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Теорема

Доказательство

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Доказательство

Теорема

Доказательство

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Функциональные последовательности

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Функциональные ряды

Равномерная сходимость функциональных рядов

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

6.

Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов