Processing math: 100%

Метка: свойства

Операции над многочленами

Сложение многочленов

Определение. Пусть даны многочлены u(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0, v(x)=bmxm+bm−1xm−1+…+b2x2+b1x+b0. Будем считать, что n⩾m. Тогда их суммой является многочлен s(x)=u(x)+v(x)=cnxn+cn−1xn−1+…+c2x2+c1x+c0, каждый коэффициент ci которого получается сложением соответствующих коэффициентов ai и bi, (i=0,1,…,n−1,n). Причём, если n⩾i>m, то считаем, что bi=0.

Замечание. Можно определить и вычитание многочленов, как сложение с противоположным. «Нулём» будет выступать нулевой многочлен (0), а противоположный данному многочлен получается заменой всех коэффициентов на противоположные: u(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0, −u(x)=−anxn−an−1xn−1−…−a2x2−a1x−a0.

Основные свойства сложения

1. Степень суммы. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых. (Лемма)

2. Коммутативность: u(x)+v(x)=v(x)+u(x).

Пусть u(x)+v(x)=s1(x),v(x)+u(x)=s2(x). Рассмотрим коэффициенты s1(x) и s2(x). Они равны в силу коммутативности сложения чисел (ai+bi=bi+ai), а значит, s1(x)=s2(x), что доказывает коммутативность сложения многочленов.

3. Ассоциативность: (u(x)+v(x))+w(x)=u(x)+(v(x)+w(x)).

Пусть коэффициенты u(x), v(x) и w(x) равны ai, bi, и ci соответственно. Зададим их суммы: (u(x)+v(x))+w(x)=f(x), u(x)+(v(x)+w(x))=g(x). Для доказательства ассоциативности, докажем равенство f(x) и g(x). Рассмотрим общие формулы их коэффициентов: fi=(ai+bi)+ci, gi=ai+(bi+ci). Аналогично коммутативности, равенство этих двух многочленов следует из ассоциативности операции сложения для чисел, из чего и следует ассоциативность сложения многочленов.

Умножение многочленов

Определение. Пусть даны многочлены u(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0, v(x)=bmxm+bm−1xm−1+…+b2x2+b1x+b0. Тогда их произведением является многочлен p(x)=u(x)⋅v(x)=cn+mxn+m+cn+m−1xn+m−1+…+c2x2+c1x+c0, образующийся в результате простого умножения u(x)⋅v(x) и приведения подобных членов. Таким образом, каждый коэффициент произведения ci=∑α+β=iaαbβ,(i=0,1,…,n+m−1,n+m).

Замечание. Для многочленов операция обратная умножению (деление) не определена. Однако, существует алгоритм деления с остатком.

Основные свойства умножения

1. Степень произведения. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей. (Лемма)

2. Коммутативность: u(x)⋅v(x)=v(x)⋅u(x).

Рассмотрим многочлены u(x) и v(x) из определения произведения. Пусть f(x)=u(x)⋅v(x)=cn+mxn+m+cn+m−1xn+m−1+…+c2x2+c1x+c0, g(x)=v(x)⋅u(x)=dn+mxn+m+dn+m−1xn+m−1+…+d2x2+d1x+d0. Тогда, коэффициенты многочлена f(x) равны ci=∑α+β=iaαbβ, а многочлена g(x) — di=∑α+β=ibβaα. Из очевидного равенства этих сумм вытекает равенство f(x) и g(x), а значит, u(x)⋅v(x)=v(x)⋅u(x) и коммутативность доказана.

3. Ассоциативность: (u(x)⋅v(x))⋅w(x)=u(x)⋅(v(x)⋅w(x)).

Пусть коэффициенты u(x), v(x) и w(x) равны ai, bi, и ci соответственно, а именно: u(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0, v(x)=bmxm+bm−1xm−1+…+b2x2+b1x+b0, w(x)=csxs+cs−1xs−1+…+c2x2+c1x+c0. Теперь, зададим их произведения в нужном порядке: f(x)=u(x)⋅v(x)=dn+mxn+m+dn+m−1xn+m−1+…+d2x2+d1x+d0, g(x)=v(x)⋅w(x)=rm+sxm+s+rm+s−1xm+s−1+…+r2x2+r1x+r0, h(x)=(u(x)⋅v(x))⋅w(x)=kn+m+sxn+m+s+…+k2x2+k1x+k0, l(x)=u(x)⋅(v(x)⋅w(x))=pn+m+sxn+m+s+…+p2x2+p1x+p0. Для доказательства ассоциативности, докажем равенство многочленов h(x) и l(x). Рассмотрим общую формулу коэффициента h(x): ki=∑q+γ=idqcγ=∑q+γ=i(∑α+β=q(aαbβ)⋅cγ)=∑α+β+γ=iaαbβcγ. Теперь покажем, что общую формулу коэффициента l(x) можно привести к такому же виду: pi=∑α+q=iaαrq=∑α+q=i(aα⋅∑β+γ=qbβcγ)=∑α+β+γ=iaαbβcγ. Из равенства коэффициентов следует равенство многочленов, что и доказывает ассоциативность.

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

  1. Сложить многочлены 3x4+2x3−4x2−8x+10 и 8x3−4x2−9x−10.

    Решение

    Воспользуемся определением суммы многочленов: (3x4+2x3−4x2−8x+10)+(8x3−4x2−9x−10)= =(3+0)x4+(2+8)x3+(−4+(−4))x2+(−8+(−9))x+(10−10)= =3x4+10x3−8x2−17x.

  2. Найти разность 7x7+10x6−20x5+10x4−13x3+8x2+11x+19 и 5x7−10x5+7x4+x3+11x2+20x+11.

    Решение

    Сложим первый многочлен с противоположным второму: 7x7+10x6−20x5+10x4−13x3+8x2+11x+19+ +(−5x7+10x5−7x4−x3−11x2−20x−11)= =(7−5)x7+(10+0)x6+(−20+10)x5+(10−7)x4+ +(−13−1)x3+(8−11)x2+(11−20)x+(19−11)= =2x7+10x6−10x5+3x4−14x3−3x2−9x+8.

  3. Найти произведение 2x2+5x−1 и 4x2−x+3.

    Решение

    Умножим два многочлена и приведём подобные: (2x2+5x−1)⋅(4x2−x+3)= =8x4−2x3+6x2+20x3−5x2+15x−4x2+x−3= =8x4+(20−2)x3+(6−5−4)x2+(15+1)x−3= =8x4+18x3−3x2+16x−3.

  4. Найти произведение −3x2+7x+9 и 6x2+2x+8.

    Решение

    На этот раз, воспользуемся общей формулой коэффициента из определения произведения многочленов. Тогда: u(x)=−3x2+7x+9,a2=−3,a1=7,a0=9, v(x)=6x2+2x+8,b2=6,b1=2,b0=8, p(x)=u(x)⋅v(x)=c4x4+c3x3+c2x2+c1x+c0. По определению, ci=∑α+β=iaαbβ, (i=0,1,2,3,4). Вычислим их. c0=∑α+β=0aαbβ=a0b0=9⋅8=72, c1=∑α+β=1aαbβ=a0b1+a1b0=9⋅2+7⋅8=74, c2=∑α+β=2aαbβ=a0b2+a1b1+a2b0=9⋅6+7⋅2+(−3)⋅8=44, c3=∑α+β=3aαbβ=a1b2+a2b1=7⋅6+(−3)⋅2=36, c4=∑α+β=4aαbβ=a2b2=−3⋅6=−18. Имеем: p(x)=u(x)⋅v(x)=−18x4+36x3+44x2+74x+72.

Смотрите также

  1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва: Наука, 1968. — 431с. (c. 130-134)
  2. К.Д. Фадеев Лекции по алгебре. — Москва: Наука, 1984. — 416с. (c. 54-55)
  3. А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 211-212)
  4. Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Операции над многочленами

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Операции над многочленами».

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Определение

Пусть G≠∅, »∗» — БАО на G. Тогда (G,∗) называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

  • 1. Ассоциативность. ∀a,b,c∈G   (a∗b)∗c=a∗(b∗c).
  • 2. Нейтральный элемент. ∃e∈G,∀a∈G a∗e=e∗a=a.
  • 3. Симметрический элемент. ∀a∈G,∃a‘∈Ga∗a‘=a‘∗a=e.

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности ∀a,b∈G a∗b=b∗a, то такая группа называется абелевой.

Примеры

  • 1.) (Z,+),(Q∗,+),(R,+) — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
  • 2.) (Q∗,⋅),(R+,⋅),(R∗,⋅) — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
  • 3.) (C[−1;1],+) — множество непрерывных вещественных функций определенных на [−1;1].
  • 4.) (R2,+),(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
  • 5.) G2n, где n — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа C2n и диэдр Dn

    • grafik1grafik1

Простейшие следствия из аксиом

  • 1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть ∃e‘, так как e‘ — нейтральный элемент, то e‘e=e‘, но e тоже нейтральный элемент, а значит e‘e=e⟹e=e‘.

  • 2. ∀a∈G ∃!a‘,a‘a=e

Доказательство. Предположим противное. Пусть ∃a»,a»a=aa»=e,a‘a=aa‘=e,a‘aa»=(a‘a)a»=ea»=a», a‘(aa»)=a‘e=a‘⟹a‘=a»

  • 3. a∗x=b,(x∗b=a), решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

x0 — решение. ax0=b,a‘(ax0)=a‘b,(a‘a)x0=a‘b, ex0=a‘b,x0=a‘b

Существование.

x0=a‘b,a(a‘b)=(aa‘)b=eb=b

  • 4. (a‘)‘=a,∀a∈G

Доказательство. По третьей аксиоме a‘(a‘)‘=e,a‘a=e⟹
a‘(a‘)‘=a‘a⟹(a‘)‘=a.

  • 5. (ab)‘=b‘a‘

Доказательство.
(ab)(ab)‘=e,aa‘=e, bb‘=e⟹(aa‘)(bb‘)=(bb‘)(aa‘)=ee⟹(bb‘)(aa‘)=e⟹ (ab)(ab)‘=(bb‘)(aa‘)⟹ (ab)(ab)‘=(ab)b‘a‘⟹(ab)‘=b‘a‘

  • 6. ∀n∈Nan=aa..a⏟n

Доказательство.

База индукции.

a1=a.

Предположение индукции.

Пусть n=k,ak=aa..a⏟k.

Шаг индукции.

Пусть n=k+1,aka1=a(aa..a), ak+1=aa..a⏟k+1.

  • 7. ∀n,m∈N,anam=an+m

Доказательство.

am=aa..a⏟m,an=aa..a⏟n

anam=aa..a⏟n⋅aa..a⏟m⟹ anam=aa..a⏟n+m, aa..a⏟n+m=an+m⟹ an+m=anam

 

  • 8. ∀n,m∈N,(an)m=anm

 

Доказательство.

(an)m=(aa..a)m⏟n⟹ (an)m=(aa..a)⏟n⋅m⟹ (an)m=(aa..a)⏟n⋅(aa..a)⏟m

(aa..a)⏟n=an, (aa..a)⏟m=am⟹ (an)m=anam

 

  • 9. ∀n∈N,(an)‘=(a‘)n

 

Доказательство.

an(an)‘=e,(a‘)n=(a‘a‘..a‘)⏟n,

(aa..a)⏟n⋅(a‘a‘..a‘)⏟n=e⟹ an(a‘)n=e⟹ an(a‘)n=an(an)‘⟹ (a‘)n=(an)‘.
Литература

 

 

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.


Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Свойства замкнутых множеств

Теорема. Пусть (X,τ) — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

  1. Множества X и ∅ будут замкнутыми;
  2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
  3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

  1. Обозначим через (X,τ) произвольное топологическое пространство. В таком случае, X и ∅ являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как X∖∅=X — открытое множество и X∖X=∅ — также открытое множество.
  2. Обозначим через {Fα} систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем ⋂αFα=⋂α(X∖Gα)=X∖⋃αGα, так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество X∖⋃αGα — замкнуто.
  3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: ⋃kn=1Fn=⋃kn=1(X∖Gn)=X∖⋂kn=1Gn , так как пересечение конечного числа открытых множеств Gk будет открытым множество, то X∖⋂kn=1Gn — замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если X — произвольное множество и λ семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

  1. X,∅∈λ
  2. Пересечение множеств любой подсистемы в λ принадлежит λ
  3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в λ принадлежит λ

Предположим, что υ — семейство дополнений всех различных множеств из λ. В таком случае υ будет топологией на X, а λ — системой замкнутых множеств топологического пространства (X,υ).

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Таблица лучших: Свойства замкнутых множеств

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
/a. Тогда 

Открытые множества и их свойства

Открытые множества

Определение. Множество всех точек xпространства Rn, таких, что |x−x0|<ρ,ρ>0, называется открытым шаром с центром в точке x0 и радиусом ρ. Этот шар также называется ρ-окрестностью точки x0 и обозначается B(x0,ρ).

Определение. Зададим подмножество E пространства Rn. Точка x0 множества E называется внутренней точкой множества, если существует B(x0,ρ), содержащийся в E. Иными словами, x0 является внутренней точкой множества E, если она входит в E вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество E⊂Rn называется открытым, если любая его точка будет внутренней в E. Условимся также считать пустое множество ∅ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через A множество индексов, и каждому элементу α∈A поставим в соответствие множество Eα. Тогда {Eα}α∈A называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве Rn обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество ∅ и всё пространство Rn открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства {Gα}α∈A открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество ∅ является открытым по определению, а пространство Rn, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в Rn.
  2. Пусть E1,…,En – открытые множества,E=⋂ni=1Ei. Предположим, что x∈E. Тогда x∈Ei для любого i=1,…,n. Но все множества Ei являются открытыми, так что для любого i=1,…,n найдется открытый шар B(x,ρi)⊂Ei. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом B(x,ρ), где r=min(ρ1,…,ρn). Тогда E(x,ρ)⊂Ei при каждом i=1,…,n, а значит, B(x,ρ)⊂E, и тем самым доказано, что множество E открыто.
  3. Пусть E=⋃α∈AEα, где все множества Eα открыты. Докажем, что множество E также открыто. Предположим, что x∈E. Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств Eα0. Так как это множество Eα0 открыто, то найдется окрестность B(x,ρ)⊂Eα0⊂E. Таким образом, E – открытое множество.◻

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть Bk – открытый шар с центром в нуле и радиусом 1k(k=1,2,…). Тогда ⋂∞k=1Bk={0}. Но множество {0}, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Открытые множества и их свойства

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек xпространства mathbbRn, таких, что |x−x0|<rho,rho>0, называется открытым шаром с центром в точке x0 и радиусом rho. Этот шар также называется rho-окрестностью точки x0 и обозначается B(x0,rho).

Определение. Зададим подмножество E пространства mathbbRn. Точка x0 множества E называется внутренней точкой множества, если существует B(x0,rho), содержащийся в E. Иными словами, x0 является внутренней точкой множества E, если она входит в E вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество EsubsetmathbbRn называется открытым, если любая его точка будет внутренней в E. Условимся также считать пустое множество varnothing открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через A множество индексов, и каждому элементу alphainA поставим в соответствие множество Ealpha. Тогда leftEalpharightalphainA называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве mathbbRn обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество varnothing и всё пространство mathbbRn открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства leftGalpharightalphainA открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество varnothing является открытым по определению, а пространство mathbbRn, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в mathbbRn.
  2. Пусть E1,…,En – открытые множества,E=bigcapni=1. Предположи, что xinE. Тогда xinEi для любого i=1,…,n. Но все множества Ei являются открытыми, так что для любого i=1,…,n найдется открытый шар B(x,rhoi)subsetEi. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом B(x,rho), где r=min(rho1,…,rhon). Тогда E(x,rho)subsetEi при каждом i=1,…,n, а значит, B(x,rho)subsetE, и тем самым доказано, что множество E открыто.
  3. Пусть E=bigcupalphainAEalpha, где все множества Ealpha открыты. Докажем, что множество E также открыто. Предположим, что xinE. Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств Ealpha0. Так как это множество Ealpha0 открыто, то найдется окрестность B(x,rho)subsetEalpha0subsetE. Таким образом, E – открытое множество.

square

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть Bk – открытый шар с центром в нуле и радиусом frac1k(k=1,2,…). Тогда bigcapinftyk=1Bk=left0right. Но множество left0right, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных