дифференциалы высших порядков

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

$k$ -й дифференциал является однородным целым многочленом степени $k$ , или как говорят, является формой $k$ -й степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные $k$ -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (полиномиальные коэффициенты).

Объяснение

Пусть в области $D$ задана некоторая функция $u=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)$ , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Дифференциалом $du$ будем называть следующее выражение:

$du=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$ ,

где $dx_{1},…,dx_{n}$ — произвольные приращения независимых переменных $x_{1},…,x_{n}$ .

Предположим, что существуют непрерывные частные производные второго порядка для $u$ , то есть $du$ будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о дифференциале от этого дифференциала $d\left(du\right)$ , который называется дифференциалом второго порядка, и обозначается символом $d^{2}u$ .

Важно, что приращения $dx_{1},dx_{2},…,dx_{n}$ остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, будем иметь:

$d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}\right)$ $=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\right)dx_{1}+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right)dx_{2}+…+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)dx_{n}$ .

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, $d^{3}u$ , и т.д. Вообще, если дифференциал $\left(k-1\right)$ -го порядка, $d^{k-1}u$ , уже определен, то дифференциал $k$ -го порядка можно определить реккурентной формулой :

$d^{k}u=d\left(d^{k-1}u\right)$

Иными словами, если для функции $u$ существуют непрерывные частные производные всех порядков до $k$ -го порядка включительно, то $k$ -й дифференциал существует.

Пример

Спойлер

Рассмотрим вычисление дифференциалов в общем случае(до четвертого порядка):
Если $u=f\left(x,y\right)$ , то

$d^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}dx^{2}+2\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}dy^{2}$ ,

$d^{3}u=\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}dx^{3}+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}dxdy+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}dxdy+\frac{\partial^{3}u}{\partial y^{3}}dy^{3}$ ,

$d^{4}u=\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}dx^{4}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}dx^{3}dy+6\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}dx^{2}dy^{2}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x\partial y^{3}}dxdy^{3}+\frac{\partial^{4}u}{\partial y^{4}}dy^{4}$

и т.д.

[свернуть]

Свойства дифференциалов высших порядков

Дифференциал $n$ -го порядка независимой переменной при $n>1$ равен нулю

$d^{n}\left(x\right)=0$

Предположим, что существуют $d^{n}u$ и $d^{n}v$ . Тогда:

$d^{n}\left(Au+Bv\right)=Ad^{n}u+Bd^{n}v$

A, B — константы, следовательно

$d^{n}uv=\sum\limits_{k=1}\limits^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v$

Литература

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал $dU$ функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка $d^2U$ изначальной функции $U$ , который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка $d^3U$ изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию $U=f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ и предположим, что переменные $x$ и $y$ — независимые переменные. По определению

$dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y$ .

При вычислении $d^2U$ обратим внимание, что дифференциалы $dx$ и $dy$ независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

$d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x +$

$+ \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.$

Вычисляя аналогичным образом $d^3U$ , получим

$d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3$ .

Эти выражения $d^2U$ и $d^3U$ приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

$d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y)$ ,

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень $n$ , применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней $y \frac{\partial }{\partial x}$ и $\frac{\partial }{\partial y}$ будем считать указателями порядка производных по $x$ и $y$ от функции $f$ .

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция $z=f(x,y)$ имеет в точке $P_{0}(x_{0},y_{0})$ дифференциал

$dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,$ (*)

или

$dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$ . (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

$Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$ .

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала $dx$ .

Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции $z=f(x,y)$ в точке $P_{0}(x_{0},y_{0})$ , а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
$d(U+V)=dU+dV$
$d(UV)=UdV+VdU$
$d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},$ $\ \ V\neq$ $0$

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке

$x_{0}$

Пусть функция

$f(x)$ имеет производную во всех точках интервала

$(a,b)$ . Если

$f'(x)$ дифференцируема в точке

$x_{0}\in (a,b)$ , то ее производную называют производной второго порядка в точке

$x_{0}$ и обозначают

$f»(x_{0}),$

$f^{(2)}(x_{0}),$

$\frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}},$

$f_{xx}^{»}(x_{0}).$

Таким образом, по определению
$f^{»}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.$

$f»(x_{0})$

$f(x)= \sin{x}$

Спойлер

$f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}$
$f»(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}$

[свернуть]
$f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}$

Спойлер

$f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};$
$f»(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};$

[свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
$f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'$

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
$f»'(x)=(f»(x))’=(-\sin{x})’=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}$

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для $sinx$ и вывести общую формулу для этой функции:
$f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}$

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция

Если функция имеет на

$[a,b]$ производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на

$[a,b]$

Например, к таким функциям можно отнести $f(x)=e^{x}$ т.к. $f^{n}(x)=e^{x}$

$\alpha f+\beta g$ тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и $(\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.$
$fg$ тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
$(fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ (Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
$dy=f'(x)dx.$ Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Задание 1 из 4

1.
Вставьте пропущенное слово
- Дифференциалы первого порядка имеют (инвариантную) форму.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Найдите производную четвёртого порядка функции $f(x)=7x^{3}+2x$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Справедливо ли выражение: [latex]f»(x)
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Вставьте нужное слово
- Операция дифференцирования (ухудшает) свойства функций
Правильно

Неправильно

Литература

Метка: дифференциалы высших порядков

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

Объяснение

Пример

Свойства дифференциалов высших порядков

Литература

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Тест на тему: Дифференциал

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные и дифференциалы высших порядков

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Средний результат
Ваш результат