Если функция $y=f(x)$ определена в некоторой $\delta$-окрестности точки $x_{0}$, а приращение $\Delta y$ функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ представимо в виде:
$$\Delta y = A\Delta x + \Delta x \varepsilon (\Delta x),$$ где $A=A(x_{0})$ не зависит от $\Delta x$, а $\varepsilon(x) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$, то функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x_{0}$, а произведение $A\Delta x$ называется её дифференциалом в точке $x_{0}$ и обозначается $df(x_{0})$ или $dy.$

Таким образом, $\Delta y=dy+o(\Delta x)$, при $\Delta x \rightarrow 0$, где $dy=A\Delta x$.

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Спасибо за участие!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   Дана функция $y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-2x$.
   При каких значениях $x$ производная ${y}'(x)=0$?

   • -1;0;
   • -2:1;
   • -3;4;
   • -1;0;
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   $${y}’=x^{2}+x-2$$ .
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

   Элементы сортировки

   • Дифференцируема всюду
   • Недифференцируема при $x=\frac{2k-1}{2}\pi$, $k$ - целое
   • Недифференцируема при $x=1$
   • Недифференцируема при $x=k\pi$, $k$ - целое

   • $y=\left | (x-1) (x-2)^{2}(x-3)^{3}\right |$

   • $y=\left | \cos x \right |$

   • $y=\left | \pi^{2}-x^{2} \right | \sin ^{2}x$

   • $y=\arcsin(\cos x)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   В каком случае формулировка теоремы написана правильно ?

   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)-\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   • Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки $x^{0}$ функция $f(x)$ может быть представлена в виде: $$f(x^{0})=f(x)+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}+x_{i}^{0}),$$ где функции $f_{j}(x)$ непрерывны в точке $x^{0}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5
   Рубрика: Математический анализ

   Выяснить, будет ли функция $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ дифференцируема в точке $(0,0)$?

   • Нет
   • Да
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   При каком условии функция $f(x)=x^{n}\sin \frac{1}{x}, (x\neq 0)$ и $f(0)=0$:

   Элементы сортировки

   • $n>0$
   • $n>1$
   • $n>2$

   • а) непрерывна при $x=0$

   • б) дифференцируема при $x=0$

   • в) имеет непрерывную производную при $x=0$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$, то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: $\alpha f(x)\pm\beta g(x)$, $f(x)g(x)$, $\frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)$;

Причём:

1. ${[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)$($\alpha$ и $\beta$ — некоторые константы);
2. ${[f(x)g(x)]}’ = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$;
3. ${[\frac {f(x)}{g(x)}]}’ =\frac{{f}'(x)g(x) — f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0)$;

Доказательство :

1. Достаточно доказательства для случая $y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);$
   $y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=$
   $=y(x + \Delta x) — y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) — \alpha f(x) — \beta g(x)=$
   $=\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) — \beta g(x) =$
   $=\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow$ $\frac{\Delta y}{\Delta x} =$ $=\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=$
   $\alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =$ $={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)$
   $\Rightarrow$ В общем случае: ${[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)$;
2. $y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) =$
   $= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) — f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] — f(x)g(x) =$
   $= \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow$
   $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g$
   При переходе к пределам получим следующее:
   $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0($в силу непрерывности дифференцируемой функции $g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);$
   $\Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$, что и требовалось доказать;
3. $y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow$
   $\Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} — \frac{f(x)}{g(x)}=$
   $= \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =$
   $\frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) — f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=$
   $\frac{\Delta f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}$
   $\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} — \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}$
   Перейдя к пределам получим:
   $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) — {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}$, что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

• $d(\alpha f+\beta g)=\alpha df + \beta dg;$
  Другими словами оператор дифференцирования является линейным оператором.
• $d(fg) = gdf + fdg;$
• $d(\frac{f}{g}), g \neq 0 = \frac{gdf — fdg}{g^2};$

Примеры:

Тест:

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Если чувствуете себя неуверенно в этой теме перечитайте материал.

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 4

   Установите соответствие между видом функции состоящей из двух дифференцируемых функций и формулой дифференцирования.

   Элементы сортировки

   • $$\alpha {f}'(x)$$
   • $${f}'(x) \pm {g}'(x)$$
   • $${f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$$
   • $$\frac{{f}'(x)g(x) - f(x){g}'(x)}{[g(x)]^{2}}$$

   • $$\alpha f(x)$$

   • $$f(x) \pm g(x)$$

   • $$f(x)g(x)$$

   • $$\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Выберите правильные тождества.

   • $${(\frac{\sin x}{x})}' = \frac{\cos x(x) - \sin x}{x^{2}}$$
   • $${(5x^{\frac{2}{3}})}' = 5x^{\frac{-1}{3}}$$
   • $${(\sin x \cos x)}' = \cos (2x)$$
   • $${(3\cos (-3x))}' = -9\sin(3x)$$
   • $${(\frac{1}{x} + \ln x)}' = \frac{x+1}{x^{2}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Установите соответствие между функциями и их дифференциалами в окрестности точки $x_{0}=2$.

   Элементы сортировки

   • $$df(2)=(2e^{2x}x^{2}+2xe^{2x})(x-2)$$
   • $$df(2)=3(x-2)(\frac{2-2\ln x}{4x^{2}})$$
   • $$df(2)=(x-2)[3-\frac{8}{x^3}]$$
   • $$df(2)=[{3x^2-6x^2-8x}{x^4}](x-2)$$

   • $$f(x)=e^{2x}x^{2}$$

   • $$f(x)=\frac{3\ln x}{2x}$$

   • $$f(x)=3x+\frac{4}{x^2}$$

   • $$f(x)=\frac{3x+4}{x^2}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 111-112.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Если функции $z=f(y)$ и $y=\varphi(x)$ дифференцируемы соответственно в точках $y_0$ и $x_0$, где $y_0=\varphi(x_0)$, то $z=f(\varphi(x))$ — дифференцируема в точке $x_0$, причём $z'(x_0)=f'(y_0)\cdot \varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0)$.

Доказательство

Читать далее «Дифференцируемость сложной функции»

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $\Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $\exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $y=f(x)$) дифференцируемо в точке $y_0=f(x_0)$, причём $\varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$

Доказательство:

$x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $f$ имеет обратную $x=\varphi(y)$, $y\epsilon [\alpha;\beta]$, $\varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=$
$\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2$

Примеры

1) Доказать, что:

$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$

График функции $y=arcsinx$. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

2) Доказать, что:

$( \textrm{arctg} x)’ = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R} &s=2$

Решение:

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, глава 3, §1, 94 (стр 196) 1962г.

Тест: дифференцируемость обратной функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Функция $f$ является монотонно возрастающей на $[a;b]$, если:

   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}> x_{1}\Rightarrow f(x_{2})> f(x_{1})$$
   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}> x_{1}\Rightarrow f(x_{2})< f(x_{1})$$
   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}\leq x_{1}\Rightarrow f(x_{2})\leq f(x_{1})$$
   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}< x_{1}\Rightarrow f(x_{2})> f(x_{1})$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Найдите производную обратной функции $y=\arccos(x^{2}-2)$ в точке $x_0=1$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Найдите производную обратной функции $y=3x^2-5x$ в точке $x_0 = 1$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   В теореме о дифференцируемости обратной функции является ли условие $\exists {f}'(x)\neq 0$ необходимым?

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно