Задача из журнала «Квант» (1992 год, 8 выпуск)

Условие

Заряженная частица с кинетической энергией $W$ пролетает мимо длинного равномерно заряженного провода. Частица движется в плоскости, перпендикулярно проводу, и в результате отклоняется на небольшой угол $a$ от первоначального направления полета (смотреть рис.1). Найдите этот угол, если заряд частицы $e$, а заряд единицы длины провода $q$. На расстояние $R$ от длинного провода напряженность поля $E=\frac{q}{(2\pi\varepsilon_{0}R)}$.

Решение

В произвольной точке $A$ на расстояние $R$ от заряженного провода скорость частицы направлена под малым углом $\alpha$ к оси $X$, таким, что $$\alpha =\frac{\upsilon_{y}}{\upsilon_{x} }.$$

Здесь $\upsilon_{y}$ — вертикальная проекция скорости, а $\upsilon_{x}= \sqrt{2 \frac{W}{m}}$ — ее горизонтальная проекция.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $Y$ (рис.2):$$F_{y}dt=md\upsilon_{y}$$ где $$F_{y}=eE\cos\mu=\frac{eq\cos\mu}{2\pi\varepsilon_{0}R} $$

Малый промежуток времени $dt$ выразим из соотношения $\nu_{x}=\frac{dx}{dt}$:$$dt= \frac{dx}{\nu_{x}}=\frac{Rd\mu} {\mu_{x}\cos\mu}$$

За это время вертикальная проекция скорости изменится на величину $$d\nu_{y}=\frac{F}{m}dt=\frac{eq}{2\pi m\nu}d\mu$$

Полная проекция скорости вдоль оси $Y$ складывается их приращений: $$\nu_{y}=\int\limits^\frac{ \pi }{ 2 }_{ \frac{- \pi}{2}}d\nu_{y} = \frac{eq}{2\varepsilon_{o}m\nu_{x}}$$

Итак, искомый угол $\alpha$ получается таким:$$\alpha=\frac{\nu_{y}}{\nu_{x}}=\frac{ eq }{2\varepsilon_{o}m\nu_{x}^{2}}=\frac{eq}{4\varepsilon_{o}W} $$

В. Можаев

Задача из журнала «Квант» (1992 год, 5 выпуск)

Условие

На гладкий вертикальный стержень насажены тяжелая шайба массой $M$ и легкая шайба массой $m = \frac{M}{1000}$. Легкой шайбе сообщают скорость, равную $v$ и направленную так, как показано на рисунке. На какой высоте над подставкой может находится тяжелая шайба, не смещаясь заметно вверх или вниз? Каким будет период малых колебаний такого «поршня», если его сместить из этого равновесного положения? Все удары считать абсолютно упругими.

Решение

Понятно, что тяжелая шайба (тело) удерживается на некоторой высоте $H$ благодаря тому, что между ней и горизонтальной плоскостью «прыгает» легкая шайба (частица). В равновесном состоянии должно выполнятся условие $$Mg = 2mv\nu \approx 2mv \frac{v}{2H} = \frac{mv^2}{H},$$ где $\nu = \frac{v}{2H}$ — число ударов в секунду шайб друг о друга. Отсюда получаем $$H = \frac{mv^2}{Mg}.$$

Рассмотрим теперь случай, когда наш «поршень» смещен из равновесного положения. Пусть в некоторый момент тело движется вниз со скоростью $V \ll v$. Тогда после каждого удара частица увеличивает свою скорость на $2V$. Таким образом, за время $t$ тело, пройдя путь $Vt$, совершит работу $$A = \frac{1}{2}m(v + 2\nu Vt)^2 — \frac{1}{2}mv^2 \approx 2mv\nu Vt,$$ приводящую к тому, что скорость частицы теперь равна $v + 2\nu Vt$, а действующая на «поршень» сила — $$F = \frac{m}{H}(v + 2\nu Vt)^2 \approx Mg(1 + \frac{2Vt}{H}).$$ Для малых колебаний справедливо равенство $$F = — kx.$$ В нашем случае $$x = Vt \quad и \quad k = \frac{2Mg}{H},$$ откуда для периода колебаний получаем $$T = 2\pi \sqrt\frac{M}{k} = 2\pi\sqrt\frac{H}{2g} = 2\pi\frac{v}{g}\sqrt\frac{m}{2M}.$$

А.Андрианов, М.Цыпин

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 3 выпуск)

В.Барзов

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 4 выпуск)

Условие

Всякий депутат имеет свой (абсолютный) рейтинг. В начальный момент после избрания каждый депутат вошел в одну из фракций, в которой он может подсчитать свой относительный рейтинг. Возможен переход депутата из одной фракции в другую, если его относительный рейтинг при этом увеличивается. Пусть в каждый момент времени может происходить лишь один такой переход. Докажите, что спустя конечное время все рейтинговые переходы прекратятся.

Доказательство

Всякий $i$-й депутат имеет свой абсолютный рейтинг $R_{i}$. В начальный момент (после избрания) каждый $i$-й депутат вошел в одну из фракций, в которой он может подсчитать свой относительный рейтинг: $r_{i} = \frac{R_{i}}{S}$, где $S$ – сумма всех абсолютных рейтингов данной фракции.

Обозначим через $S_{i}\left(t\right)$, $S_{j}\left(t\right)$ суммы всех абсолютных рейтингов депутатов $i$ и $j$ фракций в момент $t$. Согласно условию переход $k$-го депутата (в момент $t$) из $i$-й фракции в $j$-ю реализуется, если и только если выполняется неравенство $\frac{R_{k}}{S_{i}\left(t\right)} < \frac{R_{k}}{S_{j}\left(t\right) + R_{k}}$ т.е $S_{i}\left(t\right) > S_{j}\left(t\right) + R_{k}$, или $$R_{k} + S_{j}\left(t\right) — S_{i}\left(t\right) < 0 \tag{*}$$Отметим, что здесь получаем $S_{i}\left(t+1\right) = S_i\left(t\right) — R_{k}$ и $S_{j}\left(t+1\right) = S_j\left(t\right) + R_{k}$.

Теперь рассмотрим функцию $L\left(t\right) = \sum S^{2}_{m}\left(t\right)$, где индекс $m$ пробегает все номера фракций. Покажем, что при реализации перехода $L\left(t\right)$ убывает. Действительно, пусть в момент $t$ происходит переход $k$-го депутата из фракции $i$-й во фракцию $j$-ю. Тогда получаем $$L\left(t+1\right) = \left(S_{i}\left(t\right) — R_{k}\right)^{2} + \left(S_{j}\left(t\right) + R_{k}\right)^{2} + \sum S^{2}_{n}\left(t+1\right)$$где $n$ отлично от $i$ и $j$. Раскрывая первые два квадрата и находим $$L\left(t+1\right) = S^{2}_{i}\left(t\right) + S^{2}_{j}\left(t\right) + 2R_{k}\left(R_k + S_{j}\left(t\right) — S_{i}\left(t\right)\right) + \sum S^{2}_{n}\left(t+1\right)$$С учетом неравенства $\left(*\right)$ устанавливаем $L\left(t+1\right) < L\left(t\right)$. Но функция $L$ может принимать лишь конечное число значений, поэтому ее убывание не может продолжаться сколь угодно долго.

В.Ильичев