Пусть заданы два линейных пространства над полем [latex]\mathbb{P}[/latex]: [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex]. Тогда изоморфизмом f (обозначается как [latex]A \cong B[/latex]) называется биекция из [latex]A[/latex] в [latex]B[/latex], удовлетворяющая следующим условиям:
1) [latex]f(a+b) = f(a) + f(b)[/latex]
2) [latex]f(\lambda\cdot a) = \lambda\cdot f(a) [/latex]
Изоморфными пространствами называются такие линейные пространства, между которыми можно установить изоморфизм.
Свойства изоморфизма:
1) [latex]f(0) = 0[/latex]
2)[latex]f(-a) = -f(a)[/latex]
3) [latex]f(\sum_{j=1}^{k}a_j a_j) = \sum_{j=1}^{k}a_j f(a_j)[/latex]
4) При изоморфном отображении линейно независимая система не может стать линейно зависимой. Обратное также верно.
5) Базис [latex]A[/latex] отображается в базис [latex]B[/latex].
6) Прямая сумма подпространств в [latex]A[/latex] отображается в прямую сумму образов этих подпространств в [latex]B[/latex].
По сути, изоморфизм является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом.
Теорема. Любые два конечномерные линейные пространства, имеющие одинаковую размерность и заданные над одним и тем же полем, изоморфны.
Зададим два линейных пространства [latex]X[/latex] и [latex]Y[/latex] над полем P, [latex]\textrm{dim} X = \textrm{dim} Y[/latex]. Пусть базис [latex]X[/latex] — [latex]e_1,e_2,\dots ,e_n [/latex]; Y — [latex]e’_1,e’_2,\dots , e’_n[/latex]. Возьмём в пространстве [latex]X[/latex] векторы x1=α1e1+α2e2+⋯+αnen
и x2=β1e1+βe2+⋯+βen
Тогда при изоморфизме [latex]X \cong Y[/latex] f(x1+x2)=f((α1+β1)e1+(α2+β2)e2+⋯+(αn+βn)en)==(α1+β1)e′1+(α2+β2)e′2+⋯+(αn+βn)e′n==(α1e′1+α2e′2+⋯+αne′n)+(β1e′1+β2e′2+⋯+βne′n)=f(x1)+f(x2).
(первое условие изоморфизма) и f(λx)=f((λα1)e1+(λα2)e2+⋯+(λαn)en)==(λα1)e′1+(λα2)e′2+⋯+(λαn)e′n==λ(α1e′1+α2e′2+⋯+αne′n)=λf(x)
(второе условие).
Следствие. Все линейные пространства над одним и тем же полем [latex]\mathbb{P}[/latex] одинаковой размерности [latex]n[/latex] изоморфны [latex]n[/latex]-мерному арифметическому линейному пространству [latex]\mathbb{R}^n[/latex] над полем [latex]\mathbb{P}[/latex].
Примеры
1. Привести пример отображения из [latex]\mathbb{R}[/latex] в [latex]\mathbb{\mathbb{N}_0}[/latex], которое является изоморфизмом.
Решение
Пусть [latex]x’ = 2x[/latex]. Тогда [latex]f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)[/latex] и [latex]f(\lambda a) = 2(\lambda a) = \lambda 2a = \lambda \cdot f(a)[/latex]. Значит, это отображение является изоморфизмом.
[свернуть]
2. Доказать первое свойство ([latex]f(0) = 0[/latex]).
Дано два конечномерных линейных пространства [latex] (X_1, \mathbb{P})[/latex] и [latex] (X_2, \mathbb{P})[/latex], заданных над одним полем [latex] \mathbb{P}[/latex](любое числовое поле)
[latex] X_1 \simeq X_2[/latex] (изоморфны), если:
[latex] \exists f: X_1 \to X_2[/latex] (т.е.[latex] \forall a\in X_1[/latex] сопоставляется вектор [latex] a`\in X`[/latex], образ вектора[latex] a[/latex], причём различные векторы из [latex] X[/latex] обладают различными образами и всякий вектор из [latex] X`[/latex] служит образом некоторого вектора из [latex] X[/latex]).
[latex] X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow [/latex] dim [latex] X_1 = [/latex] dim [latex]X_2.[/latex]
[свернуть]
ПРИМЕР
Любой геометрический радиус-вектор плоскости, представим в виде:
[latex] x = ix_1 + jx_2[/latex]
При этом, если [latex] x = ix_1 + jx_2[/latex], [latex] y = iy_1 + jy_2[/latex], то
[latex] x + y = (x_1 + y_1)i +(x_2 + y_2)j[/latex] и [latex] \alpha x = (\alpha x_1)i + (\alpha x_2)j[/latex].
В результате устанавливаем взаимно однозначное соответствие [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], соответствие между пространствами геометрических радиусов-векторов плоскости и двумерных арифметических векторов. Очевидно, оно будет изоморфизмом данных пространств, так как
если [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], [latex] y \Leftrightarrow (y_1, y_2)[/latex], то [latex] x + y \Leftrightarrow (x_1 + y_1, x_2 + y_2)[/latex] и [latex] \alpha x \Leftrightarrow ( \alpha x_1, \alpha x_2 )[/latex].
Задача
Даны пространства [latex] A = \mathbb{R}[/latex] и [latex] B = \mathbb{R}[/latex]. Установить между ними соответствие, которое:
будет являться изоморфизмом;
не будет являться изоморфизмом.
Решение
Первое, что мы делаем, это каждому числу [latex] a \in \mathbb{R}[/latex] ставим в соответсвие число [latex] b \in \mathbb{R}[/latex], придерживаясь правила: [latex] b= 2a[/latex]. Каждое [latex] b \in \mathbb{R}[/latex] будет отвечать единственному числу [latex] a= \frac{1}{2}b[/latex]. Отсюда следует, что утверждение [latex] b= 2a[/latex] устанавливает взаимно однозначное соответствие [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex]. Если [latex] a_1 \Leftrightarrow b_1[/latex] и [latex] a_2 \Leftrightarrow b_2[/latex], т.е. [latex] b_1 = 2a_1[/latex] и [latex] b_2= 2a_2[/latex] то [latex] (a_1+a_2) \Leftrightarrow (b_1+b_2)[/latex], так как [latex] b_1+b_2= 2a_1+2a_2 = 2(a_1+a_2)[/latex]. Если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= 2a[/latex], то [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для каждого действительного числа [latex] \lambda [/latex], так как [latex] \lambda b= \lambda 2a= 2 \lambda a[/latex]. Как результат, в данном соответствии [latex] b= 2a[/latex] сохраняются линейные операции, и оно является изоморфизмом.
Следующее взаимно однозначное соответствие, которое будем рассматривать [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex], устанавливается формулой [latex] b= a^3[/latex] (число сопоставляемое числу [latex] a= \sqrt[3]{b}[/latex]). Данное соответствие не будет являться изоморфизмом, потому что будет сохранять линейные операции. Как пример, если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= a^3[/latex], то [latex]{(2a)}^3= 8a^3= 8b[/latex]. Значит, [latex] 2a \Leftrightarrow 8b[/latex], возникает противоречие условию [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для [latex] \lambda = 2[/latex] .
Задача
Проверить, являются ли изоморфными пространства:
[latex] X_1= \{ f(x) \in R[x] | f(x) \quad\vdots\quad (x^2+1) \}[/latex] и [latex] X_2[/latex], натянутое на систему векторов [latex] <a_1, a_2, a_3>. a_1=(0,0,1,0,1)[/latex], [latex] a_2=(0,1,0,1,0)[/latex] и [latex] a_3=(1,0,1,0,0)[/latex].
Решение
Найдем базис [latex] X_1[/latex]
[latex] \forall f(x) \in X_1 \Leftrightarrow f(x)= [/latex] [latex](x^2+1)(ax^2+bx+c)=[/latex] [latex]ax^4+bx^3+ax^2+cx^2+bx+c=[/latex] [latex]a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1)[/latex], таким образом [latex]<x^4+x^2,x^3+x,x^2+1>[/latex] — базис.
Очевидно, что система [latex] <a_1,a_2,a_3>[/latex], на которую натянуто [latex] X_2[/latex] ЛНЗ (линейно независимая система), dim [latex] X_1 =[/latex] dim [latex] X_2= 3[/latex]. Следовательно по критерию изоморфности [latex] X_1 \simeq X_2[/latex].
Источники
Белозеров Г.С. Конспект лекций
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание пятое, 1974.Стр. 170
Изоморфизм линейных пространств
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест по теме: «Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Алгебра0%
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 1
Два конечномерных линейных пространства [latex] (X_1, \mathbb{P})[/latex] и [latex] (X_2, \mathbb{P})[/latex], заданных над одним полем [latex] \mathbb{P}[/latex](любое числовое поле)
[latex] X_1 \simeq X_2[/latex] (изоморфны), если:
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 1
По критерию изоморфности [latex] X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow [/latex]
