Метка: интеграл

Замена переменной в интеграле Римана



Интеграл в смысле Римана
Функция $ f(x) $ называется интегрируемой по Риману на отрезке $ [a;b] $, если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка $ [a;b] $, вида $ \Delta x_{i}=x_{i+1} — x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}$, где $ a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b$, и любого выбора точек $ \ \xi _{i}\ $, таких, что $ \ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\:$ существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

  1. $ \varphi(t), f (x) \in C [a,b];$ (является непрерывной на $ [a,b]$)
  2. $ \varphi’ (t) \in C (\gamma ;\beta);$
  3. $ \forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;$
  4. $ \gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).$
    Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: $ (F(\varphi(t)))’=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t),$ то есть $ F(\varphi (t))$ является первообразной для $ f(\varphi (t))\varphi ‘(t) .$ Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

  1. $$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
  2. $$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
  3. Если функция $ f(x) $ чётная и непрерывная на $ [-a;a] ,$ то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция $ f(x) $ нечётная и непрерывная на $ [-a;a] ,$ то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: $ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx ,$ и в первом слагаемом произвести замену $ x=-t $ .(Самостоятельно)

Литература:

  1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
  3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
  4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.


Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
$\int dx$ $x+C$
$\int a^xdx$ $\frac{a^x}{\ln{a}}+C$
$\int e^xdx$ $e^x+C$
$\int x^adx$ $\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\int \frac{dx}{x}$ $\ln|{x}|+C$
$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}$ $\sqrt{x}+C$
$\int \cos xdx$ $ \sin x+C$
$\int \sin xdx$ $ -\cos x+C$
$\int \mathop{\rm sh} xdx$ $ \mathop{\rm ch} x+C$
$ \int\mathop{\rm ch} xdx$ $\mathop{\rm sh} x+C$
$\int \frac{dx}{\sin^2x}$ $ \mathop{\rm -ctg} x + C $
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}$ $ \mathop{\rm th} x+ C$
$\int \frac{dx}{\cos^2x}$ $ \mathop{\rm tg}x +C$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$ $\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x}$ $\mathop{\rm -cth}x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ $\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ $\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$ $\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}$ $\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

Решите примеры:

  1. $\int (2x-3)dx$
    Спойлер

    $x^2-3x+C$

    [свернуть]
  2. $\int \cos^2xdx$ 
    Спойлер

    $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C$

    [свернуть]
  3. $\int (2x-3)^2dx$
    Спойлер

    $\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C$

    [свернуть]

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Оценка модуля интеграла

Свойство 3 (оценка модуля интеграла)

Пусть $latex f \in R[a,b] (aнепрерывности функции $latex f$, тогда

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx> 0$.

Спойлер

$latex \square$ Пусть $latex x _{0} \in (a,b) :\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})> 0 $. Тогда

$latex \exists \; U_{\delta }(x_{0}):f(x)> \frac{f(x_{0})}{2}$,

следовательно

$latex \int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}\frac{f(x_{0})}{2} dx = \frac{f(x_{0})}{2}\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}dx =\frac{f(x_{0})}{2}\cdot 2\delta> 0$.

Так как имеют место неравенства

$latex \int\limits_{a}^{x_{0}-\delta} f(x) dx \geqslant 0, \int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx > 0 , \int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx \geqslant 0$

и

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = \int\limits_{a}^{x_{0}-\delta}f(x)dx +\int\limits_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)dx+\int\limits_{x_{0}+\delta}^{b}f(x)dx$,

то получим $latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx >0$.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Замечание

Условие непрерывности функции $latex f(x)$ в точке $latex x_{0}$, где $latex f(x_{0})>0$ существенно. Например, пусть

$latex f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, &0<x\leqslant 1, \\
1,&x=0.
\end{matrix}\right.$

Поскольку $latex \int\limits_{0}^{1}f(x)dx=0$, то неверно, что $latex \int\limits_{0}^{1}f(x)dx>0$.

Это можно проиллюстрировать на графикеexample_modular_integral_evaluation

Свойство 4 (оценка модуля интеграла)

Если $latex f\in R[a,b]$, то  $latex \left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$.

Спойлер

$latex \square$

$latex \left | \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \right | \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n}\left | f(\xi_{i}) \right |\Delta x_{i}$,

т.е.

$latex \left|\delta_{T}(f,\xi)\right|\leqslant\delta_{T} (\left|f\right|,\xi)$.

Переходя к пределу при ранге разбиения стремящемуся к нулю, получим

$latex \left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx$.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Замечание

Если $latex f(x)$ — интегрируема на отрезке с концами $latex [a,b]$, то

$latex \left | \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \right | \leqslant \left | \int\limits_{a}^{b} \left | f(x)dx \right |\right |$.

Литература
Смотрите так же

Свойство монотонности интеграла

Свойство 2 (свойство монотонности интеграла)

Если $latex f,g \in R[a,b] (a

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.

Спойлер

$latex \square$Пусть $latex \phi(x) \equiv f(x)-g(x)$, тогда $latex \phi \in R[a,b]$ и $latex \phi \geqslant 0$. По свойству интеграла от положительной функции

$latex \int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx \geqslant 0 $,

тогда получим что

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.

Что и требовалось доказать.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Пример

Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше $latex \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx$ или $latex \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx$

Спойлер

Заметим, что $latex \ln{x}\geqslant \ln{3}>\ln {e=1},\forall\;x\in[3,4]$ поэтому $latex \ln^{2}{x}>\ln{x},\;\forall\;x\in[3,4]$. Тогда, по свойству монотонности интеграла  $latex \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx < \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx$.

[свернуть]
Литература
Смотрите так же

Интеграл от положительной функции

Свойство 1 (интеграл от положительной функции)

 Если $latex f(x) \in R[a,b]$ и $latex f(x)\geqslant 0\;\forall\;x\in[a,b]\;(a<b)$, то и
$latex \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geqslant 0$.

Спойлер

$latex \square$Рассмотрим интегральную сумму Дарбу для данного интеграла

$latex \delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$.

Поскольку $latex f(\xi _{i})\geqslant 0$ и $latex \delta x_{i}\geqslant 0$, то и

$latex \delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i} \geqslant 0$,

тогда

$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\delta _{T}(\xi ,f) \geqslant 0$.

Что и требовалось доказать.$latex \blacksquare$

[свернуть]
Пример

Не вычисляя интеграла, определить его знак $latex \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx$.

Спойлер

Рассмотрим подынтегральную функцию $latex f(x)=x^{2}+3$. Поскольку $latex f(x)>0 , \; \forall \; x \in [1,2]$, то по свойству интеграла от положительной функции  $latex \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx > 0$.

[свернуть]
Литература
Смотрите так же