Свойство монотонности интеграла

Свойство 2 (свойство монотонности интеграла)

Если $latex f,g \in R[a,b] (a

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx.

Спойлер

\squareПусть \phi(x) \equiv f(x)-g(x), тогда \phi \in R[a,b] и \phi \geqslant 0. По свойству интеграла от положительной функции

\int\limits_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx \geqslant 0 ,

тогда получим что

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \int\limits_{a}^{b}g(x)dx.

Что и требовалось доказать.\blacksquare

[свернуть]
Пример

Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx или \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx

Спойлер

Заметим, что \ln{x}\geqslant \ln{3}>\ln {e=1},\forall\;x\in[3,4] поэтому \ln^{2}{x}>\ln{x},\;\forall\;x\in[3,4]. Тогда, по свойству монотонности интеграла  \int\limits_{3}^{4}\ln{x}dx < \int\limits_{3}^{4}\ln^{2}{x}dx.

[свернуть]
Литература
Смотрите так же

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *