Задача из журнала «Квант» (2001 год, 3 выпуск)

Условие

Час назад каждый брат в семье был в ссоре с одинаковым количеством сестер, а каждая сестра – с различным количеством братьев. Сейчас некоторые из них помирились, и каждая сестра в ссоре с одинаковым количеством братьев, а каждый брат – с различным количеством сестер. Сколько сестер и братьев в этой беспокойной семье?

Решение

Обозначим через $n$ количество братьев, через $m$ – количество сестер; пусть до примирения каждый брат был в ссоре с $k$ сестрами. Из условия задачи следует, что $n \leqslant 2$, $m \leqslant 3$ . Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.

$\textbf{1°}. m \leqslant n$.

Пронумеруем сестер по возрастанию количества ссор с братьями. Пусть первая сестра час назад была в ссоре с $a_1$ братьями, вторая – с $a_2$ братьями, $\ldots$,  $m$-я – с $a_m$ братьями, причем $$\begin{equation}\label{m1719_first} a_1\lt a_2\lt\ldots \lt a_m \leqslant n.\end{equation}$$ Поскольку после примирения каждая сестра оставалась в ссоре с одинаковым количеством братьев, то
$$\begin{equation}\label{m1719_second}1\leqslant a_1.\end{equation}$$ Из $(1)$ и $(2)$ следует утверждение $1°$.

$\textbf{2°}. k \lt m$.

Поскольку $a_i \lt n$ для всех $i \lt m$, то $$nk=\sum\limits_{i=1}^ma_i \lt nm,$$ откуда следует утверждение $2°$.

$\textbf{3°}. k \geqslant n − 1$.

Пронумеруем братьев по возрастанию количества ссор после примирения. Пусть первый брат после примирения остался в ссоре с $b_1$ сестрами, второй брат – с $b_2$ сестрами, $\ldots$, $n$-й брат – с $b_n$ сестрами, причем $$0\leqslant b_1 \lt b_2 \lt b_3 \lt \ldots \lt b_n \leqslant k.$$ Сначала получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ сверху, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}b_n \leqslant k,\\b_{n-1}\leqslant k-1,\\ \ldots \\b_1\leqslant k-(n-1);\end{cases}\end{equation*}$$ отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_third}\sum\limits_{i=1}^nb_i\leqslant kn-\frac {n(n-1)}{2}.\end{equation}$$ Аналогично получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ снизу, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}0 \leqslant b_1,\\1\leqslant b_2,\\ \ldots \\n-1\leqslant b_n;\end{cases}\end{equation*}$$ отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_forth}\frac{(n-1)n}{2}\leqslant \sum\limits_{i=1}^nb_i.\end{equation}$$ Объединяя неравенства $(3)$ и $(4)$, получаем $$\frac{(n-1)n}{2}\leqslant kn-\frac{n(n-1)}{2},$$ откуда получаем утверждение $3°$. Результаты $1°$, $2°$, $3°$ запишем в виде цепочки $$n\geqslant m\gt k \geqslant n-1,$$ откуда следует $n =m$, $k = n -1$. Для дальнейшего решения нам понадобятся следующие утверждения.

$\textbf{4°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.

Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}a_m\leqslant n,\\a_m-1\leqslant n-1,\\ \ldots \\a_1\leqslant n-(m-1),\end{cases}\end{equation*}$$ находим $$nk =\sum\limits_{i=1}^ma_i\leqslant nm-\frac{m(m-1)}{2}.$$ С учетом того, что $n =m$, отсюда и получаем утверждение $4°$.

$\textbf{5°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.

Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}1\leqslant a_1,\\2\leqslant a_2,\\ \ldots \\m\leqslant a_m,\end{cases}\end{equation*}$$ находим $$\frac{m(m+1)}{2}\leqslant\sum\limits_{i=1}^ma_i =nk.$$ С учетом того, что $n =m$, отсюда получаем утверждение $5°$.

Итак, $k = n -1 = \dfrac{n+1}{2}$, откуда $n =3$, $m =3$, $k =2$.

Ситуация до примирения и после примирения показана
на рисунках $1$ и $2$ соответственно (дугами обозначены ссоры).

Итак, в беспокойной семейке $3$ сестры и $3$ брата. Решение единственное.

И. Акулич, А. Жуков

Условие

В баллоне содержится очищенный газ, но неизвестно какой. Что бы поднять температуру этого газа на один градус при постоянном давлении требуется $958,4$ дж, а при постоянном объёме — $704,6$ дж. Что это за газ?

Решение

При нагревании газа при постоянном объёме затрачиваемая энергия идёт только на изменение внутренней энергии газа, а при нагревании при постоянном давлении — ещё и на совершение работы. Запишем закон сохранения энергии для обоих случаев: $$\begin{equation} mc_v\Delta t = \Delta W.\label{eq:ref1}\end{equation}$$
$$\begin{equation} mc_p\Delta t = \Delta W+A.\label{eq:ref2}\end{equation}$$

Здесь $c_p$ — теплоёмкость газа при постоянном давлении (т.е. количество тепла, которое необходимо для нагревания $1$ кг газа при постоянном давлении), $c_v$ — теплоёмкость газа при постоянном объёме, $\Delta t$ -изменение температуры, $\Delta W$ — изменение внутренней энергии газа, $m$ — масса газа, $A = p\Delta V$ — совершённая при расширении газа работа ($\Delta V$ — изменение объёма, $p$ — давление).

Так как при повышении температуры газа на одинаковое число градусов изменение его внутренней энергии одинаково как при нагревании при постоянном объёме, так и при нагревании при постоянном давлении, то можно записать: $c_pm\Delta t = c_vm\Delta t+p\Delta V$. С помощью уравнение газового состояния (уравнения Клапейрона — Менделеева) совершённую работу можно выразить через молекулярную массу газа $\mu$ и газовую постоянную $R$: $p\Delta V = \frac{m}{\mu}R\Delta t$. Подставляя это соотношение в уравнение $\eqref{eq:ref1}$, получим: $c_p = c_v+\frac{R}{\mu}$, откуда:
$$\mu = \frac{R}{c_p-c_v} \approx 32,7$$ кг/кмоль.

Неизвестный газ — кислород с очень не большой примесью более тяжёлого газа.

Условие

Из двух одинаковых кусков стальной проволоки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен $d$, другой $2d$. Первая пружина под действием груза растянулась на одну десятую своей длины. На какую часть своей длины растянется под действием того же груза вторая пружина?

Решение

Удлинение пружины равно $\Delta l = n\cdot 2d\cdot \sin\frac{\alpha}{2}$, где $n$ — число витков пружины, а $\alpha$ — угол, на который разворачиваются соседние витки пружины (Рис.). Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал и $\sin\frac{\alpha}{2} \approx\frac{\alpha}{2}$. Поэтому $\Delta l = nd\alpha$.
Угол $\alpha$ пропорционален моментам сил $F$, которые растягивают виток: $\alpha \simeq F\cdot d$. Сила $F$ равна весу груза, подвешенного к пружине, и одинакова в обоих случаях, поэтому $\Delta l\sim nd^2$.

Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. Таким образом, вторая пружина растянется на $\frac{2}{5}$ своей длины.

Многие, приславшие решение этой задачи, правильно нашли, что удлинение второй пружины в два раза больше чем первой, но забыли, что вторая пружина в двое короче, чем первая, поэтому относительное удлинение второй пружины равно не $\frac{1}{5}$, как получилось у них, а $\frac{2}{5}$.