Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

В данной статье, используя термин «сложная функция», мы будем понимать композицию нескольких функций.

Теорема

Пусть функции [latex]{ \varphi }_{ i }(x)={ \varphi }_{ i }({ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },…,{ x }_{ n })\quad i=\overline { 1,m }[/latex] дифференцируемы в точке [latex]{ x }^{ \circ }=({ x }_{ 1 }^{ \circ },{ x }_{ 2 }^{ \circ },…,{ x }_{ n }^{ \circ })[/latex] . Пусть функция [latex]f({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },{ y }_{ 3 },…{ ,y }_{ m })[/latex] дифференцируема в точке [latex]{ y }^{ \circ }=({ \varphi }_{ 1 }({ x }^{ \circ }),{ \varphi }_{ 2 }({ x }^{ \circ }),…,{ \varphi }_{ m }({ x }^{ \circ }))[/latex].

Тогда сложная функция [latex]T(x)=f({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),…,{ \varphi }_{ m }(x))[/latex] дифференцируема в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] , причем при [latex]{ x\rightarrow x }^{ \circ }[/latex]
$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ })+o(p(x,{ x }^{ \circ }))}$
${A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n } \quad \quad \quad \quad (1)$

Спойлер

Функция [latex]f(y)[/latex] дифференцируема в точке [latex]{ y }^{ \circ }[/latex], а значит, по теореме о существовании частных производных найдутся функции [latex]{ { f }_{ j }( }y), j=\overline { 1,m }[/latex] непрерывные в точке [latex]{ y }^{ \circ }[/latex] и такие, что $f(y)-f({ y }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { f }_{ j }(y)({ y }_{ j }-{ y }_{ j }^{ \circ }), } \quad \quad { f }_{ j }({ y }^{ \circ })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ }) \quad \quad\quad \quad(2)$ Раз функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Используя это и теорему о непрерывности сложной функции, получим что функции: ${ \psi }_{ j }(x)={ f }_{ j }({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),…{ \varphi }_{ m }(x)),\quad \quad j=\overline { 1,m }\quad \quad\quad \quad(3)$

непрерывны в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] (т.к функции [latex]{\varphi}_{ i }(x)[/latex] непрерывны, и по теореме указанной выше, их композиция также даст непрерывную функцию) , при этом
${ \psi }_{ j }({ x }^{ \circ })={ f }_{ j }({ y }^{ \circ })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ })\quad \quad\quad \quad(4)$

Подставив в [latex](2)[/latex] [latex]{ y }_{ 1 }={ \varphi }_{ 1 }(x),…,{ y }_{ m }={ \varphi }_{ m }(x)[/latex] и воспользовавшись [latex](3)[/latex] получим:

$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \psi }_{ j }(x)({ \varphi }_{ j }(x)- } ({ \varphi }_{ j }({ x }^{ \circ }))\quad \quad\quad \quad(5)$

Но функции [latex]{ \varphi }_{ j }(x)[/latex] дифференцируемы в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] (по условию), поэтому найдутся такие непрерывные в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex] функции [latex]{ \varphi }_{ ij }(x)[/latex], что ${ \varphi }_{ j }(x)-{ \varphi }_{ j }({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \varphi }_{ ij }(x) } ({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ }),\quad \quad { \varphi }_{ ij }({ x }^{ \circ })=\frac { \partial { \varphi }_{ j } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })\quad \quad\quad \quad(6)$

${ i=\overline { 1,n } }\quad { j=\overline { 1,m } }$

Подставляя выражения [latex](6)[/latex] и [latex](5)[/latex] получаем

$T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { T }_{ i }(x)({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ }) } \quad \quad { T }_{ i }(x)=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi }_{ ij } } (x){ \psi }_{ j }(x)\quad \quad\quad \quad(7)$

Так как функции [latex]{ \psi }_{ j }(x)[/latex] и [latex]{ \varphi }_{ ij }(x)[/latex] непрерывны в точке [latex]{ x }^{ \circ }[/latex], то и [latex]{ T }_{ i }(x)[/latex] непрерывны в этой точке (как композиции непрерывных). А это означает, что сложная функция [latex]{ T }(x)[/latex] дифференцируема в [latex]{ x }^{ \circ }[/latex].

Дифференцируемая функция [latex]{ T }(x)[/latex] может быть записан в виде [latex](1)[/latex] с коэффициентами [latex]{ A }_{ i }[/latex], равными в силу [latex](6)[/latex] и [latex](4)[/latex]

${ A }_{ i }={ T }_{ i }({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi }_{ ij } } ({ x }^{ \circ }){ \psi }_{ j }({ x }^{ \circ })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ d{ y }_{ j } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ j } }{ d{ x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } } ({ x }^{ \circ })$

[свернуть]

Спойлер

Формула ${ A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum\limits _{ j=1 }\limits^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n }$ дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.

[свернуть]

Спойлер

Пусть дана функция

$f(x,y)=\sin x + \tan (x^ 2+y^ 2)$ .
Ее можно представить как композицию функций:

$z(u,v)=u+v\quad u(x,y)=\sin x \quad v(x,y)=\tan (x^ 2+y^ 2)$
Тогда дифференциал функции

$f$ имеет вид:

$df=\frac { dz }{ dx } +\frac { dz }{ dy } =\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dx } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dx } +\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dy } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dy }$
Вычислим частные производные:

$\frac { dz }{ du } =1; \quad \frac { du }{ dx } =-\cos x;$

$\frac { dz }{ dv } =1; \quad \frac { dv }{ dx } =\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } ;$

$\frac { du }{ dy } = 0; \quad \frac { dv }{ dy } =\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } +y };$
Получаем, что:

$df=-\cos x +\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } +\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } + y^{ 2 }) }.$

[свернуть]

Использованная литература

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.248-249

Дополнительная литература

Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, 1964г. стр.386-390;
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, 1988-1989г., стр. 253-256;

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Тест, на понимание темы «Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций»

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Виды отображений. Распознавание свойств отображений. Композиция отображений. Обратимость. Примеры

Материал лекций по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение»

Рассмотрим пример, в котором заданное соответствие не является отображением.

Задача №1
Условие задачи:
Задано $f(u) =\left | \frac{ u(u+1)(u+2)}{3} \right|$ , $U=\mathbb Z$ , $V=\mathbb N$ . Определить, будет ли $f: U \rightarrow V$ отображением.

Решение

Данное соответствие будет отображением, если $\forall u \in U$ существует образ. Казалось бы, каким бы ни было $u$ , произведение трех последовательных чисел всегда будет делиться на 3. Однако, при:

$\begin{matrix} u_1 = 0 & f(u_1) = 0 \\ u_2 = -1 & f(u_2) = 0 \\ u_3 = -2 & f(u_3) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Не все прообразы имеют образы, т.к. $0 \notin \mathbb N$

$\Rightarrow$ Данное соответствие не является отображением.

[свернуть]

Рассмотрим задачи, в которых определим вид отображения и исследуем его на обратимость.

Задача №2
Условие задачи:
Заданы $U = \mathbb Z$ , $V = \mathbb N$ , $f(u) = u^2+2$ , $f(u): U \rightarrow V$ . Определить вид этого отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Проверим, будет ли это отображение инъективным. Отображение инъективно, если для $\forall v \in V$ существует не более одного прообраза:

$\begin{matrix} u_1 = -1 & f(u_1) = 3 \\ u_2 = 1 & f(u_2) = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Один из образов имеет более одного прообраза. Отображение не инъективно.

Проверим, будет ли отображение сюръективно. Отображение сюръективно, если каждый элемент множества $V$ является образом.

$5 \in V$ , но $\nexists u \in U$ такого, что $f(u) = 5$ . Т.е. хотя бы один из элементов множества $V$ не является образом.

$\Rightarrow$ Отображение не сюръективно.

Таким образом получили, что данное отображение не инъективно и не сюръективно.

Теперь исследуем отображение на обратимость. Для этого воспользуемся критерием обратимости, согласно которому отображение обратимо $\Leftrightarrow$ когда оно биективно. Поскольку отображение не иъективно и не сюръективно, оно биективным не является, а, следовательно, не обратимо.

[свернуть]

Задача №3
Условие задачи:
Заданы $U=\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ , $V=\left[ -1; 1\right]$ , $f: U \rightarrow V$ , $f(u) = \sin{u}$ . Определить вид отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Определим вид отображения. Это отображение является инъективным, поскольку $\forall v \in V$ имеет не более одного прообраза. Это отображение также является сюръективным, поскольку $\forall v \in V$ является образом.

$\Rightarrow$ Отображение биективно.

Исследуем отображение на обратимость. Для этого, воспользуемся критерием обратимости. Поскольку отображение биективно, то, согласно критерию, оно обратимо. Действительно, для данного отображения существует обратное: $f^{-1}=\arcsin{u}$ .

[свернуть]

Задача №4
Условие задачи: Заданы $f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$ , $g: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$ , $f(u)=2u$ , $g(u)=\frac{u}{2}$ . Определить, обладает ли композиция этих отображений свойством коммутативности.

Решение

Проверим значение $(g \circ f)(u)$ :

$(g \circ f)(u)=g(f(u))=g(2u)=u$

Проверим значение $(f \circ g)(u)$ :

$(f \circ g)(u)=f(g(u))=f(\frac{u}{2})=u$

Получили, что $f \circ g = g \circ f$ . Следовательно, композиция этих отображений обладает свойством коммутативности.

[свернуть]

Литература

Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, ФИЗМАТЛИТ, 2001г., стр. 35-38

Виды отображений. Обратимость

Тест

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Отображение $f: U \rightarrow V$ является сюръективным, если:
- Каждый элемент множества $V$ имеет не более одного прообраза
- Каждый элемент множества $V$ служит образом
- Хотя бы один из элементов множества $V$ не служит образом
- Если существует хотя бы один элемент множества $V$ , имеющий два и более пообразов
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Согласно критерию обратимости отображение обратимо $\Leftrightarrow$ когда оно

Задание 3 из 4

3.

Количество баллов: 3

Заданы отображения $f: U \rightarrow V$ . Сопоставьте каждое отображение с его видом.

Элементы сортировки

$U=\left\{7,9,10,11,12\right\}$ , $V=\left\{0,1,2,3\right\}$ , $f(u)=u \bmod{4}$
$U=\mathbb Z$ , $V=\mathbb N$ , $f(u)=u^2+u+2$
$U=\mathbb R$ , $V=\mathbb N$ , $f(u)=u^2$

Сюръективно, не инъективно

Не сюръективно, не инъективно

Не является отображением

Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 3
Заданы отображения $U \rightarrow V$ . Отсортируйте их в следующем порядке:
1. Не сюръективное и не инъективное
2. Сюръективное, но не инъективное
3. Биективное
- $U=\mathbb R$ , $V=\mathbb R$ , $f(u)=\sin{u}$
- $U=\mathbb R$ , $V=\left[-1;1\right]$ , $f(u)=\sin{u}$
- $U=\mathbb R^{+}$ , $V=\mathbb R^{+}$ , $f(u)=u^2$

Композиция биективных отображений

Определение 1

Отображение $\large f:X \to Y$ называется биекцией и обозначается $\large f:X \leftrightarrow Y$ , если оно:

Переводит элементы множества X в разные элементы множества Y (т.е. выполняется взаимно однозначное отображение — инъекция):
- $\forall x_{1} \in X$ , $\forall x_{2} \in X$ , $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .
Любой элемент из Y имеет свой прообраз (т.е. выполняется сюръекция):
- $\forall y \in Y$ , $\exists$ $x \in X$ , $f(x)=y$ .

Пример:

Изобразим биективное отображение $\large f$ , где $f:A \to B$ :
Для композиции $g \circ f$ , где $f:A \to B,\quad g:B \to C$ , рисунок будет выглядеть так:

Определение 2

Единичным отображением $e_{X}:X \to X$ называется отображение, переводящие каждый элемент $x \in X$ в себя.

Теорема

Пусть $f: X \to Y$ , $h: Y \to Z$ — биективные отображения. Тогда биективна и их композиция $h \circ f$ , причем:

$(h \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ h^{-1}$
Доказательство:
Биективность $f$ влечёт существование и биективность $f^{-1}$ .
Из условия существования обратного отображения для биективных отображений следует:
$\left.\begin{aligned} f\circ f^{-1}=e_{Y} \\ f^{-1}\circ f=e_{X}\end{aligned}\right\} \Rightarrow {(f^{-1})}^{-1}=f$
Далее существуют отображения:
$f^{-1}: Y\to X \quad h^{-1}: Z \to Y$
$f^{-1}\circ h^{-1}:Z\to X$
Из равенств
$(h\circ f)(f^{-1}\circ h^{-1})=\big( (h\circ f)\circ f^{-1}\big)\circ h^{-1}=\big(h \circ (f\circ f^{-1})\big) \circ h^{-1}=$
$=h \circ h^{-1}=e_{Z}$
$(f^{-1} \circ h^{-1})\circ(h \circ f)= f^{-1}\circ \big(h^{-1} \circ (h \circ f) \big)=f^{-1}\circ \big((h^{-1}\circ h) \circ f\big)=$
$=f^{-1} \circ f=e_{X}$
вытекает, что $f^{-1}\circ h^{-1}$ — обратное отображение к $h \circ f$ .

$\blacksquare$

Список литературы:

Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. стр. 37-38 стр.
Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1 — М.: «Мир», 1977. — 40 стр.
Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 стр.

Тест на тему: «Композиция биективных отображений»

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Теорема

Использованная литература

Дополнительная литература

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Виды отображений. Обратимость

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

Определение 1

Пример:

Определение 2

Теорема

Список литературы:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.