локальный максимум

. Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет в точке $x_{0} \in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right) < f\left(x_{0}\right)$ .

Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет в точке $x_{0} \in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный минимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right) > f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный экстремум объединяет понятия локального минимума и локального максимума.

Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0} \in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке,то $\text{d}f\left(x_{0}\right)=0.$ Равенство нулю дифференциала равносильно тому, что все частные производные равны нулю, т.е. $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right)=0.$

В одномерном случае это – теорема Ферма. Обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_{0}+th\right)$ , где $h$ – произвольный вектор. Функция $\phi$ определена при достаточно малых по модулю значениях $t$ . Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и ${\phi}’ \left(t\right) = \text{d}f \left(x_{0}+th\right)h$ .
Пусть $f$ имеет локальный максимум в точкеx $0$ . Значит, функция $\phi$ при $t = 0$ имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, ${\phi}’ \left(0\right)=0$ .
Итак, мы получили, что $df \left(x_{0}\right) = 0$ , т.е. дифференциал функции $f$ в точке $x_{0}$ равен нулю на любом векторе $h$ .

Определение
Точки, в которых дифференциал равен нулю, т.е. такие, в которых все частные производные равны нулю, называются . функции $f$ называются такие точки, в которых $f$ не дифференцируема, либо ее градиент равен нулю. Если точка стационарная, то из этого еще не следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пусть $f \left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}$ . Тогда $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3 \cdot x^{2}$ , $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3 \cdot y^{2}$ , так что $\left(0,0\right)$ – стационарная точка, но в этой точке у функции нет экстремума. Действительно, $f \left(0,0\right) = 0$ , но легко видеть, что в любой окрестности точки $\left(0,0\right)$ функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

У функции $f \left(x,y\right) = x^{2} − y^{2}$ начало координат – стационарная точка, но ясно, что экстремума в этой точке нет.

Пусть функция $f$ дважды непрерывно-дифференцируема на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Пусть $x_{0} \in E$ – стационарная точка и $\displaystyle Q_{x_{0}} \left(h\right) \equiv \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)h^{i}h^{j}.$ Тогда

если $Q_{x_{0}}$ – знакоопределенная квадратичная форма, то функция $f$ в точке $x_{0}$ имеет локальный экстремум, а именно, минимум, если форма положительноопределенная, и максимум, если форма отрицательноопределенная;
если квадратичная форма $Q_{x_{0}}$ неопределенная, то функция $f$ в точке $x_{0}$ не имеет экстремума.

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора (12.7 стр. 292). Учитывая, что частные производные первого порядка в точке $x_{0}$ равны нулю, получим $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)h^{i}h^{j},$ где $0<\theta<1$ . Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$ . В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290), $a_{ij}=a_{ji}$ . Обозначим $\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$ По предположению, все частные производные второго порядка непрерывны и поэтому $\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$ Получаем $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}\right].$ Обозначим $\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$ Тогда $|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$ , имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ . Окончательно получаем $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\epsilon \left(h\right)|h|^{2}\right]. \left(2\right)$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1), существует такое положительное число $\lambda$ , что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$ . Поэтому $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$ Так как $\lambda>0$ , а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ , то правая часть будет положительной при любом векторе $h$ достаточно малой длины.
Итак, мы пришли к тому, что в некоторой окрестности точки $x_{0}$ выполнено неравенство $f \left(x\right) >f \left(x_{0}\right)$ , если только $x \neq x_{0}$ (мы положили $x=x_{0}+h$ \right). Это означает, что в точке $x_{0}$ функция имеет строгий локальный минимум, и тем самым доказана первая часть нашей теоремы.
Предположим теперь, что $Q_{x_{0}}$ – неопределенная форма. Тогда найдутся векторы $h_{1}$ , $h_{2}$ , такие, что $Q_{x_{0}} \left(h_{1}\right)=\lambda_{1}>0$ , $Q_{x_{0}} \left(h_{2}\right)= \lambda_{2}<0$ . В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$ . Тогда получим $f \left(x_{0}+th_{1}\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \left[ t^{2} \lambda_{1} + t^{2} |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right] = \frac{1}{2} t^{2} \left[ \lambda_{1} + |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right].$ При достаточно малых $t>0$ правая часть положительна. Это означает, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения $f \left(x\right)$ , большие, чем $f \left(x_{0}\right)$ .
Аналогично получим, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения, меньшие, чем $f \left(x_{0}\right)$ . Это, вместе с предыдущим, означает, что в точке $x_{0}$ функция $f$ не имеет экстремума.

Рассмотрим частный случай этой теоремы для функции $f \left(x,y\right)$ двух переменных, определенной в некоторой окрестности точки $\left(x_{0},y_{0}\right)$ и имеющей в этой окрестности непрерывные частные производные первого и второго порядков. Предположим, что $\left(x_{0},y_{0}\right)$ – стационарная точка, и обозначим $\displaystyle a_{11}= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(x_{0} ,y_{0}\right), a_{12}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(x_{0}, y_{0}\right), a_{22}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(x_{0}, y_{0}\right).$ Тогда предыдущая теорема примет следующий вид.

Пусть $\Delta=a_{11} \cdot a_{22} − a_{12}^2$ . Тогда:

если $\Delta>0$ , то функция $f$ имеет в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ локальный экстремум, а именно, минимум, если $a_{11}>0$ , и максимум, если $a_{11}<0$ ;
если $\Delta<0$ , то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примеры решения задач

Алгоритм нахождения экстремума функции многих переменных:

Находим стационарные точки;
Находим дифференциал 2-ого порядка во всех стационарных точках
Пользуясь достаточным условием экстремума функции многих переменных, рассматриваем дифференциал 2-ого порядка в каждой стационарной точке

Исследовать функцию на экстремум $f \left(x,y\right) = x^{3} + 8 \cdot y^{3} + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ .

Решение

Найдем частные производные 1-го порядка: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y;$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x.$ Составим и решим систему: $\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^{2} — x = 0\end{cases}$ Из 2-го уравнения выразим $x=4 \cdot y^{2}$ — подставим в 1-ое уравнение: $\displaystyle \left(4 \cdot y^{2}\right)^{2}-2 \cdot y=0$ $16 \cdot y^{4} — 2 \cdot y = 0$ $8 \cdot y^{4} — y = 0$ $y \left(8 \cdot y^{3} -1\right)=0$ В результате получены 2 стационарные точки:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_{1} = \left(0, 0\right)$ ;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^{3} -1=0 \Rightarrow y^{3}=\frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow x=1, M_{2} = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6 \cdot x; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-6; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=48 \cdot y$
1) Для точки $M_{1}= \left(0,0\right)$ :
$\displaystyle A_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(0,0\right)=0; B_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(0,0\right)=-6; C_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(0,0\right)=0;$
$A_{1} \cdot B_{1} — C_{1}^{2} = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Для точки $M_{2}$ :
$\displaystyle A_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=6; B_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(1,\frac{1}{2}\right)=-6; C_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=24;$
$A_{2} \cdot B_{2} — C_{2}^{2} = 108>0$ , значит, в точке $M_{2}$ существует экстремум, и поскольку $A_{2}>0$ , то это минимум.
Ответ: Точка $\displaystyle M_{2} \left(1,\frac{1}{2}\right)$ является точкой минимума функции $f$ .
Исследовать функцию на экстремум $f=y^{2} + 2 \cdot x \cdot y — 4 \cdot x — 2 \cdot y — 3$ .

Решение

Найдём стационарные точки: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2 \cdot y — 4;$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$
Составим и решим систему: $\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2 \cdot y — 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x — 2 = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2\\y + x = 1\end{cases} \Rightarrow x = -1$
$M_{0} \left(-1, 2\right)$ – стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума: $\displaystyle A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(-1,2\right)=0; B=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(-1,2\right)=2; C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(-1,2\right)=2;$
$A \cdot B — C^{2} = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Ответ: экстремумы отсутствуют.

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Локальные экстремумы функций многих переменных».

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Исследовать функцию $f$ на экстремумы: $f=e^{x+y}(x^{2}-2 \cdot y^{2})$
- $(0,0)$ - локальный минимум
- $(0,0)$ - локальный максимум
- $(-4,2)$ - локальный максимум
- $(-4,2)$ - локальный минимум
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Существует ли экстремум у функции $f = 4 + \sqrt[3]{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Критическими точками функции f называются такие точки, в которых f ______________ ,либо ее градиент равен ____. (Ответ дайте через запятую.)
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Алгоритм нахождения экстремума:
- Нахождение $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$
- Нахождение стационарных точек
- Нахождение $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$
- Нахождение $\text{d}^{2}f$
- Проверка знакоопределённости квадратичной формы
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.8.2 стр. 293

См. Также:

Л. Д. Кудрявцев Курс математического анализа (1988-1989) том 2 §40. стр.299

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$ , если выполняется условие: $\exists U_{\delta }(x_{0}) :$ $\forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq$ $f(x).$
Аналогично точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$ , если выполняется условие: $\exists U_{\delta }(x_{0}):$ $\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq$ $f(x).$

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $x_{0}$ — точка экстремума функции $f(x)$ , то она критическая.

Доказательство

По условию точка $x_{0}$ — точка экстремума функции $f(x)$ $\Rightarrow$ по теореме Ферма производная ${f}'(x_{0})=0$ $\Rightarrow$ точка $x_{0}$ является критической.

Пример:

Найти экстремум функции $f(x)=x^{3}-$ $6x^{2}+9x-4$ .
Найдем производную этой функции: ${f}’=3x^{2}-12x+9$ $\Rightarrow$ критические точки задаются уравнением $3x^{2}-12x+9 =0$ . Корни этого уравнения $x_{1}=3$ и $x_{2}=1$ .

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $f(3)=27-$ $54+27-4=-4$ и $f(1)=1-6+9-4=0$ $\Rightarrow$ в точке $x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x)=x^{3}$ . Построим график этой функции:

Производная данной функции в точке $x_{0}=0$ ${f}'(0)=0$ $\Rightarrow$ $x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , кроме, быть может, самой точки $x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

Если производная ${f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $x_{0}$ : $\forall x\in$ $(x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $0$ и $\forall x\in$ $(x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)>$ $0$ , то $x_{0}$ — точка строго минимума функции $f(x).$
Если производная ${f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $x_{0}$ : $\forall x\in$ $(x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $0$ и $\forall x\in$ $(x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)<$ $0$ , то $x_{0}$ — точка строго максимума функции $f(x).$

Доказательство

Пусть, например, ${f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $x_{0}$ на сегменте $\left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $f(x)-f(x_{0})$ $={f}'(\xi)(x-x_{0})$ , $\xi \in (x;x_{0})$ . Поскольку при переходе через точку $x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то ${f}'(\xi)<0$ и $x< x_{0}$ , то $x- x_{0}<0$ $f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $\left [ x_{0};x \right ]$ , получим
$f(x)-f(x_{0})>0$ $\Rightarrow$ $f(x_{0})< f(x)$ $\Rightarrow$ $x_{0}$ — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если $x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная ${f}’ (x)$ меняет знак при переходе через точку $x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $f(x)$ , она определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , ее первая производная ${f}'(x_{0})=0$ и пусть $\exists {f}»(x_{0})$ , тогда:

Если ${f}»(x_{0})>0$ , то точка $x_{0}$ — точка строгого минимума;
Если ${f}»(x_{0})<0$ , то точка $x_{0}$ — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда ${f}»(x_{0})>0$ . По скольку ${f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$ , т.к ${f}»(x_{0})>0$ , то ${f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. ${f}'(x_{0})=0$ , значит ${f}'(x_{0})<0$ на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и ${f}'(x_{0})>0$ на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ .
Таким образом функция $f(x)$ убывает на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $\Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если ${f}'(x)=0$ и ${f}»(x)=0$ , то функция $f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $\exists f^{(n)}(x_{0})$ , $n> 2$ и ${f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…$ $=f^{(n-1)}(x_{0})=0$ , $f^{(n)}(x_{0})\neq 0.$ Тогда:

Если n=2k (т.е n — четное), то x_{0} — точка экстремума:
- если $f^{(n)}(x_{0})<0$ , то $x_{0}$ — точка локального максимума;
- если $f^{(n)}(x_{0})>0$ , то $x_{0}$ — точка локального минимума;
Если $n=2k+1$ (т.е $n$ — нечетное), то $x_{0}$ — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $f(x)=f(x_{0})+$ $\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$ .
По скольку все производные до $(n-1)$ порядка включительно равны нулю получим: $f(x)-f(x_{0})=$ $\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.$ Запишем полученное выражение в виде: $f(x)-f(x_{0})=$ $\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-$ $x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ]$ . Выражение $[1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$ . Пусть $n=2k$ $\Rightarrow$ $(x-x_{0}) ^{n}> 0$ , $\text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=$ $\text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})$ . Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $x_{0}$ зависит от четности $n$ . Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

В.А.Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа» (часть 1) 4-е издание, 1982, стр. 295;
Лысенко З. М. Конспект по математическому анализу.
Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчечления» (том 1), 1962 год, стр. 278-286;

Экстремум функции

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Какая точка называется стационарной?
- Точка, в которой производная функции больше нуля.
- Точка, в которой производная функции не существует.
- Точка, в которой производная функции равна нулю.
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Верно ли то, что функция ${f}(x)=x^{2}$ имеет локальный минимум в точке $x_{0}=0$ ?
- Да.
- Нет.
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Выберите необходимые условия выполнения третьего достаточного условия строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух:
- $\exists f^{(n)},n> 2$
- $f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})$
- $f^{(n)}=0$
- $f^{(n)}\neq 0$
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Пусть дана функция $f(x)=x^{2}+4$ . В какой точке достигается экстремум?

Таблица лучших: Экстремум функции

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: локальный максимум

12.8.2 Локальные экстремумы функций многих переменных

Примеры решения задач

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

Литература:

См. Также:

Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Доказательство

Пример:

Замечания:

Пример:

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Доказательство

Замечания:

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Доказательство

Замечания:

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Доказательство

Список литературы:

Экстремум функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Экстремум функции

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат