Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$, но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  $$\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$$ Предположим, что вектор l=(\cos\alpha ,\cos\beta, \cos\gamma ) и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора l с помощью градиента : $$\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$$ и как мы говорили ранее, что в l-единственный вектор, следовательно мы имеем$$\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta $$ ($\delta$ — угол образованный вектором l и \nabla\varphi не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $$\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$$

(2)

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Градиент функции и его геометрический смысл: 1 комментарий

  1. Тема не раскрыта.
    Градиент выглядит так \mathrm{grad}\,\varphi — $\mathrm{grad}\,\varphi$ или так \nabla \varphi — $\nabla \varphi$.
    Синус и косинус — как \sin и \cos соответственно.
    Второй тест — бессмыслица. Что означает cos=0?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *