локальный экстремум

. Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет в точке $x_{0} \in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right) < f\left(x_{0}\right)$ .

Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет в точке $x_{0} \in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный минимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right) > f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный экстремум объединяет понятия локального минимума и локального максимума.

Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0} \in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке,то $\text{d}f\left(x_{0}\right)=0.$ Равенство нулю дифференциала равносильно тому, что все частные производные равны нулю, т.е. $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right)=0.$

В одномерном случае это – теорема Ферма. Обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_{0}+th\right)$ , где $h$ – произвольный вектор. Функция $\phi$ определена при достаточно малых по модулю значениях $t$ . Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и ${\phi}’ \left(t\right) = \text{d}f \left(x_{0}+th\right)h$ .
Пусть $f$ имеет локальный максимум в точкеx $0$ . Значит, функция $\phi$ при $t = 0$ имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, ${\phi}’ \left(0\right)=0$ .
Итак, мы получили, что $df \left(x_{0}\right) = 0$ , т.е. дифференциал функции $f$ в точке $x_{0}$ равен нулю на любом векторе $h$ .

Определение
Точки, в которых дифференциал равен нулю, т.е. такие, в которых все частные производные равны нулю, называются . функции $f$ называются такие точки, в которых $f$ не дифференцируема, либо ее градиент равен нулю. Если точка стационарная, то из этого еще не следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пусть $f \left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}$ . Тогда $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3 \cdot x^{2}$ , $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3 \cdot y^{2}$ , так что $\left(0,0\right)$ – стационарная точка, но в этой точке у функции нет экстремума. Действительно, $f \left(0,0\right) = 0$ , но легко видеть, что в любой окрестности точки $\left(0,0\right)$ функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

У функции $f \left(x,y\right) = x^{2} − y^{2}$ начало координат – стационарная точка, но ясно, что экстремума в этой точке нет.

Пусть функция $f$ дважды непрерывно-дифференцируема на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Пусть $x_{0} \in E$ – стационарная точка и $\displaystyle Q_{x_{0}} \left(h\right) \equiv \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)h^{i}h^{j}.$ Тогда

если $Q_{x_{0}}$ – знакоопределенная квадратичная форма, то функция $f$ в точке $x_{0}$ имеет локальный экстремум, а именно, минимум, если форма положительноопределенная, и максимум, если форма отрицательноопределенная;
если квадратичная форма $Q_{x_{0}}$ неопределенная, то функция $f$ в точке $x_{0}$ не имеет экстремума.

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора (12.7 стр. 292). Учитывая, что частные производные первого порядка в точке $x_{0}$ равны нулю, получим $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)h^{i}h^{j},$ где $0<\theta<1$ . Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$ . В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290), $a_{ij}=a_{ji}$ . Обозначим $\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$ По предположению, все частные производные второго порядка непрерывны и поэтому $\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$ Получаем $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}\right].$ Обозначим $\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$ Тогда $|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$ , имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ . Окончательно получаем $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\epsilon \left(h\right)|h|^{2}\right]. \left(2\right)$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1), существует такое положительное число $\lambda$ , что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$ . Поэтому $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$ Так как $\lambda>0$ , а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ , то правая часть будет положительной при любом векторе $h$ достаточно малой длины.
Итак, мы пришли к тому, что в некоторой окрестности точки $x_{0}$ выполнено неравенство $f \left(x\right) >f \left(x_{0}\right)$ , если только $x \neq x_{0}$ (мы положили $x=x_{0}+h$ \right). Это означает, что в точке $x_{0}$ функция имеет строгий локальный минимум, и тем самым доказана первая часть нашей теоремы.
Предположим теперь, что $Q_{x_{0}}$ – неопределенная форма. Тогда найдутся векторы $h_{1}$ , $h_{2}$ , такие, что $Q_{x_{0}} \left(h_{1}\right)=\lambda_{1}>0$ , $Q_{x_{0}} \left(h_{2}\right)= \lambda_{2}<0$ . В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$ . Тогда получим $f \left(x_{0}+th_{1}\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \left[ t^{2} \lambda_{1} + t^{2} |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right] = \frac{1}{2} t^{2} \left[ \lambda_{1} + |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right].$ При достаточно малых $t>0$ правая часть положительна. Это означает, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения $f \left(x\right)$ , большие, чем $f \left(x_{0}\right)$ .
Аналогично получим, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения, меньшие, чем $f \left(x_{0}\right)$ . Это, вместе с предыдущим, означает, что в точке $x_{0}$ функция $f$ не имеет экстремума.

Рассмотрим частный случай этой теоремы для функции $f \left(x,y\right)$ двух переменных, определенной в некоторой окрестности точки $\left(x_{0},y_{0}\right)$ и имеющей в этой окрестности непрерывные частные производные первого и второго порядков. Предположим, что $\left(x_{0},y_{0}\right)$ – стационарная точка, и обозначим $\displaystyle a_{11}= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(x_{0} ,y_{0}\right), a_{12}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(x_{0}, y_{0}\right), a_{22}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(x_{0}, y_{0}\right).$ Тогда предыдущая теорема примет следующий вид.

Пусть $\Delta=a_{11} \cdot a_{22} − a_{12}^2$ . Тогда:

если $\Delta>0$ , то функция $f$ имеет в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ локальный экстремум, а именно, минимум, если $a_{11}>0$ , и максимум, если $a_{11}<0$ ;
если $\Delta<0$ , то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примеры решения задач

Алгоритм нахождения экстремума функции многих переменных:

Находим стационарные точки;
Находим дифференциал 2-ого порядка во всех стационарных точках
Пользуясь достаточным условием экстремума функции многих переменных, рассматриваем дифференциал 2-ого порядка в каждой стационарной точке

Исследовать функцию на экстремум $f \left(x,y\right) = x^{3} + 8 \cdot y^{3} + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ .

Решение

Найдем частные производные 1-го порядка: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y;$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x.$ Составим и решим систему: $\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^{2} — x = 0\end{cases}$ Из 2-го уравнения выразим $x=4 \cdot y^{2}$ — подставим в 1-ое уравнение: $\displaystyle \left(4 \cdot y^{2}\right)^{2}-2 \cdot y=0$ $16 \cdot y^{4} — 2 \cdot y = 0$ $8 \cdot y^{4} — y = 0$ $y \left(8 \cdot y^{3} -1\right)=0$ В результате получены 2 стационарные точки:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_{1} = \left(0, 0\right)$ ;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^{3} -1=0 \Rightarrow y^{3}=\frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow x=1, M_{2} = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6 \cdot x; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-6; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=48 \cdot y$
1) Для точки $M_{1}= \left(0,0\right)$ :
$\displaystyle A_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(0,0\right)=0; B_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(0,0\right)=-6; C_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(0,0\right)=0;$
$A_{1} \cdot B_{1} — C_{1}^{2} = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Для точки $M_{2}$ :
$\displaystyle A_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=6; B_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(1,\frac{1}{2}\right)=-6; C_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=24;$
$A_{2} \cdot B_{2} — C_{2}^{2} = 108>0$ , значит, в точке $M_{2}$ существует экстремум, и поскольку $A_{2}>0$ , то это минимум.
Ответ: Точка $\displaystyle M_{2} \left(1,\frac{1}{2}\right)$ является точкой минимума функции $f$ .
Исследовать функцию на экстремум $f=y^{2} + 2 \cdot x \cdot y — 4 \cdot x — 2 \cdot y — 3$ .

Решение

Найдём стационарные точки: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2 \cdot y — 4;$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$
Составим и решим систему: $\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2 \cdot y — 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x — 2 = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2\\y + x = 1\end{cases} \Rightarrow x = -1$
$M_{0} \left(-1, 2\right)$ – стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума: $\displaystyle A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(-1,2\right)=0; B=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(-1,2\right)=2; C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(-1,2\right)=2;$
$A \cdot B — C^{2} = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Ответ: экстремумы отсутствуют.

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Локальные экстремумы функций многих переменных».

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Исследовать функцию $f$ на экстремумы: $f=e^{x+y}(x^{2}-2 \cdot y^{2})$
- $(0,0)$ - локальный минимум
- $(0,0)$ - локальный максимум
- $(-4,2)$ - локальный максимум
- $(-4,2)$ - локальный минимум
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Существует ли экстремум у функции $f = 4 + \sqrt[3]{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Критическими точками функции f называются такие точки, в которых f ______________ ,либо ее градиент равен ____. (Ответ дайте через запятую.)
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Алгоритм нахождения экстремума:
- Нахождение $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$
- Нахождение стационарных точек
- Нахождение $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$
- Нахождение $\text{d}^{2}f$
- Проверка знакоопределённости квадратичной формы
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.8.2 стр. 293

См. Также:

Л. Д. Кудрявцев Курс математического анализа (1988-1989) том 2 §40. стр.299

Определение

Пусть $f$ — действительная функция на открытом множестве $E\subset\mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет локальный максимум в точке $x_{0}\in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x\in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x\in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right)<f\left(x_{0}\right)$ .

Аналогично определяется локальный минимум. Оба объединяются под общим названием локального экстремума.

Необходимые условия экстремума

Пусть $f$ — действительная функция на открытом множестве $E\subset\mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0}\in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

в терминах дифференциала

$df\left(x_{0}\right)=0$

или в терминах частных производных

$\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0$ .

Доказательство

В одномерном случае это — теорема Ферма. Обозначим $\varphi\left(t\right)=f\left(x_{0}+th\right)$ , где $h$ — произвольный вектор. Функция $\varphi$ определена на достаточно малых по модулю значениях $t$ . Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и ${\varphi}’\left(t\right)=df\left(x_{0}+th\right)h$ .

Пусть $f$ имеет локальный экстремум в точке $x_{0}$ . Значит, функция $\varphi$ при $t=0$ имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, ${\varphi}’\left(0\right)=0$ .

Мы получили, что $df\left(x_{0}\right)=0$ , т.е. дифференциал функции $f$ в точке $x_{0}$ равен нулю на любом векторе $h$ .

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Задание 1 из 3

1.

Количество баллов: 1

Вставить слово:

Элементы сортировки

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x\in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right)$ < $f\left(x_{0}\right)$ .
Пусть $f$ — действительная функция на открытом множестве $E\subset\mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0}\in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то $df\left(x_{0}\right)=0$
Пусть $f$ — действительная функция на открытом множестве $E\subset\mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0}\in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то $\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0$ .

Определение

Необходимые условия в терминах дифференциала

Необходимые условия в терминах частных производных

Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Пусть $f$ — действительная функция на открытом множестве $E\subset\mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0}\in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то :
- $df\left(x_{0}\right)=0$
- $\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0$
- $f\left(x\right)<f\left(x_{0}\right)$
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 1
Локальный экстремум это —
- Локальный минимум и локальный максимум
- Только локальный минимум
- Только локальный максимум

Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: локальный экстремум

12.8.2 Локальные экстремумы функций многих переменных

Примеры решения задач

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

Литература:

См. Также:

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Определение

Необходимые условия экстремума

в терминах дифференциала

или в терминах частных производных

Доказательство

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Средний результат
Ваш результат