Теорема Кронекера-Капелли. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. То есть, если в СЛАУ $r=\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$, где $\operatorname{rang}A$ — обозначает ранг матрицы системы, а $\operatorname{rang}\widetilde{A}$ — ранг расширенной матрицы, тогда данная матрица совместна, причём система имеет единственное решение, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$, где $n$ — число неизвестных, и бесконечное число решений, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$.

Следствие:

1. $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ единственное решение.
2. $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ бесконечное число решений.
3. Количество главных переменных равно рангу системы.

Определение. Пусть задана матрица $A.$ Тогда замена строк на столбцы, а столбцов — на строки называется транспонированием по отношению к $A.$ Так, если $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},$$ то транспонированная матрица будет выглядеть: $$A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$

Свойства транспонирования матриц

1. $\left ( A^{T} \right )^{T} = A$

Пусть задана матрица $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матрицы $A:$
$$A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$
Проведём повторное транспонирование матрицы $A^{T}$ и получаем: $$\left ( A^{T} \right )^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$
Следовательно, $\left ( A^{T} \right )^{T} = A,$ что и требовалось доказать.

2. $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$

Пусть задана матрица $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матрицы $A:$
$$A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$
Докажем, что $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}.$ Найдём $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T}$ $$\lambda \cdot \begin{pmatrix} a_{11}\cdot & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}\cdot \lambda & a_{12}\cdot \lambda & \cdots & a_{1n}\cdot \lambda\\ a_{21}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{2n}\cdot \lambda\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1}\cdot \lambda & a_{m2}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda \end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование и получаем: $$\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \begin{pmatrix} a_{11}\cdot \lambda & a_{21}\cdot \lambda & \cdots & a_{m1}\cdot \lambda\\ a_{12}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{m2}\cdot \lambda\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n}\cdot \lambda & a_{2n}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda \end{pmatrix}.$$
Найдём $\lambda \cdot A^{T}:$ $$\lambda \cdot A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11}\cdot \lambda & a_{21}\cdot \lambda & \cdots & a_{m1}\cdot \lambda\\ a_{12}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{m2}\cdot \lambda\\ \ldots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n}\cdot \lambda & a_{2n}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda \end{pmatrix}.$$
Следовательно, $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T},$ что и требовалось доказать.

3. $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$

Пусть $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матриц: $$A^{T}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \; B^{T}= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{m1}\\ b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}.$$
Найдём $\left ( A + B \right )^{T}$ и $A^{T} + B^{T}:$
$$A + B= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} &a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} + b_{m1} &a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}.$$
$$\left ( A + B \right )^{T}= \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{12} + b_{12} &a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n} + b_{1n} &a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}.$$
$$A^{T} + B^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{12} + b_{12} &a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{1n} + b_{1n} &a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}.$$
Получаем, что $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T},$ что и требовалось доказать.

4. $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$

Пусть $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матриц: $$A^{T} = C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{m1}\\ c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ c_{1n} & c_{2n} & \cdots & c_{mn} \end{pmatrix}, \; B^{T} = D = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{21} & \cdots & d_{m1}\\ d_{12} & d_{22} & \cdots & d_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ d_{1n} & d_{2n} & \cdots & d_{mn} \end{pmatrix}.$$
так, что $с_{ji} = a_{ij},$ $d_{\beta \alpha} = b_{\alpha \beta}$
$$AB = F = \begin{pmatrix} f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n}\\ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ f_{m1} & f_{m2} & \cdots & f_{mn} \end{pmatrix}.$$
$$A^{T}B^{T} = G = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{21} & \cdots & g_{m1}\\ g_{12} & g_{22} & \cdots & g_{m2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ g_{1n} & g_{2n} & \cdots & g_{mn} \end{pmatrix}.$$
Тогда, $$f_{ij} = \sum_{\alpha = 1}^{k} a_{i\alpha} b_{\alpha j},$$
$$g_{ji} = \sum_{\alpha = 1}^{k}d_{j\alpha} c_{\alpha i} = \sum_{\alpha = 1}^{k} b_{\alpha j} a_{i \alpha} = \sum_{\alpha = 1}^{k} = a_{i\alpha} b_{\alpha j} = f_{ij}.$$
Итак, $g_{ji} = f_{ij}$ при всех $i = 1, 2, …, m$ и $j = 1, 2, …, n,$ следовательно, $G = F^{T},$ т. е. $A^{T} B^{T}= \left ( A B \right )^{T}$.

Примеры решения задач

Пример 1

Дана матрица $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \\ 8 & 3 & 10 \end{pmatrix}.$ Составить матрицу $A^{T}.$

Решение
$A^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 6 \\ 1 & 4 & 9 \\ 8 & 3 & 10 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \\ 6 & 9 & 10 \end{pmatrix}.$
[свернуть]

Пример 2

Дана матрица $A = \begin{pmatrix} 11 & 0 & 9 \\ 7 & 23 & 0 \\ 1 & 11 & 4 \end{pmatrix}.$ Найти $\left ( 2 \cdot A \right )^{T}.$

Решение
Воспользуемся вторым свойством транспонирования матриц, где $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T},$ получим: $$2 \cdot A^{T} =2 \begin{pmatrix} 11 & 7 & 1 \\ 0 & 23 & 11 \\ 9 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 14 & 2 \\ 0 & 46 & 2 \\ 18 & 0 & 8 \end{pmatrix}.$$
[свернуть]

Пример 3

Даны две матрицы $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \\ 6 & 9 & 10 \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} 11 & 7 & 1 \\ 0 & 23 & 11 \\ 9 & 0 & 4 \end{pmatrix}.$
Найти $\left ( A + 3 \cdot B \right )^{T}.$



Решение
Найдём сумму матриц $A$ и $B:$
$$A + 3 \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \\ 6 & 9 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 21 & 3 \\ 0 & 69 & 33 \\ 27 & 0 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & 22 & 11 \\ 2 & 73 & 36 \\ 33 & 9 & 22 \end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование суммы матриц: $$\left ( A + 3 \cdot B \right )^{T} = \begin{pmatrix} 28 & 22 & 11 \\ 2 & 73 & 36 \\ 33 & 9 & 22 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} 28 & 2 & 11 \\ 22 & 73 & 99 \\ 11 & 36 & 22 \end{pmatrix}.$$
[свернуть]

Пример 4

Даны две матрицы $A = \begin{pmatrix} 5 & 11 & 16 & 12 & 56 \\ 4 & 3 & 45 & 10 & 22\\ 5 & 1 & 9 & 56 & 14 \\ 33 & 23 & 34 & 45 & 89 \end{pmatrix}$ и
$$B = \begin{pmatrix} 12 & 10 & 15 & 11\\ 3 & 2 & 20 & 22\\ 1 & 4 & 8 & 2\\ 5 & 11 & 3 & 4\\ 16 & 4 & 11 & 12 \end{pmatrix}.$$
Найти $\left ( A \cdot B \right )^{T}.$



Решение
Решим задачу двумя способами, используя 4 свойство.
• Метод №1. Найдём преобразование матриц $A$ и $B:$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 11 & 16 & 12 \\ 4 & 3 & 45 & 10 \\ 5 & 1 & 9 & 56 \\ 33 & 23 & 34 & 45 \\ 56 & 22 & 14 & 89 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 & 10 & 15 & 11 & 16\\ 3 & 2 & 20 & 22 & 0\\ 1 & 4 & 8 & 2 & 11\\ 5 & 11 & 0 & 4 & 12\\ \end{pmatrix} =$$
  $$= \begin{pmatrix} 538 & 430 & 1151 & 1579 & 2081 \\ 849 & 565 & 1066 & 2166 & 2450 \\ 127 & 77 & 336 & 590 & 434 \\ 216 & 183 & 738 & 518 & 920 \\ 547 & 475 & 943 & 1388 & 2206 \\ \end{pmatrix}.$$

  Проведём транспонирование матрицы:
  $$\left ( A \cdot B \right )^{T} = \begin{pmatrix} 538 & 849 & 127 & 216 & 547 \\ 430 & 565 & 77 & 183 & 475 \\ 1151 & 1066 & 336 & 738 & 943 \\ 1579 & 2166 & 590 & 518 & 1388 \\ 2081 & 2450 & 434 & 920 & 2206 \end{pmatrix}.$$

• Метод №2. Проведём транспонирование матриц $A$ и $B:$
  $$A^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 5 & 33\\ 11 & 3 & 1 & 23\\ 16 & 45 & 9 & 34\\ 12 & 10 & 56 & 45\\ 56 & 22 & 14 & 89 \end{pmatrix}.$$
  $$B^{T} = \begin{pmatrix} 12 & 3 & 1 & 5 & 16\\ 10 & 2 & 4 & 11 & 4\\ 15 & 20 & 8 & 3 & 11\\ 11 & 22 & 2 & 4 & 12 \end{pmatrix}.$$

  Найдём произведение $A^{T}$ и $B^{T}:$
  $$A^{T} \cdot B^{T} = \begin{pmatrix} 538 & 849 & 127 & 216 & 547 \\ 430 & 565 & 77 & 183 & 475 \\ 1151 & 1066 & 336 & 738 & 943 \\ 1579 & 2166 & 590 & 518 & 1388 \\ 2081 & 2450 & 434 & 920 & 2206 \end{pmatrix}.$$

Оба метода показали одинаковый ответ, что также подтверждает свойство №4.
[свернуть]

Пример 5

Дана транспонированная матрица $A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 22 & 21 \\ 2 & 11 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 20 & 31\\ 6 & 15 & 50 & 9 \end{pmatrix}.$ Найти первоначальную матрицу $A.$

Решение
Воспользуемся первым свойством транспонирования матриц, где $\left ( A^{T} \right )^{T} = A,$ получим:
$$\left ( A^{T} \right )^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 22 & 21 \\ 2 & 11 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 20 & 31\\ 6 & 15 & 50 & 9 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9 & 6 \\ 3 & 11 & 4 & 15\\ 22 & 1 & 20 & 40\\ 21 & 12 & 31 & 9 \end{pmatrix}.$$
[свернуть]

Смотрите также

• Конспект лекций по линейной алгебре, Белозёров Г.С. «Матрицы и определители»
• И.А. Мальцев Линейная Алгебра: Учебное пособие. 2010, Глава 3, §3.1 «Матрицы, линейные операторы», стр. 81
• Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. 1984, Глава 4, §1 «Матрицы и действия над ними», стр. 34

Операция транспонирования матриц и ее свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест предназначен для проверки ваших знаний на тему «Операция транспонирования матриц и ее свойства». Удачи !

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Дана транспонированная матрица $A^{T} =\begin{pmatrix} 5 & 11 & 10 \\ 3 & 28 & 17 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}.$ Найти первоначальную матрицу $A.$

   • 1. $A =\begin{pmatrix} 5 & 10 & 11 \\ 3 & 17 & 28 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$
   • 2. $A =\begin{pmatrix} 5 & 11 & 10 \\ 3 & 28 & 17 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$
   • 3. $A =\begin{pmatrix} 5 & 10 & 11 \\ 28 & 3 & 17 \\ 3 & 1 & 6 \end{pmatrix}$
   • 4. $A =\begin{pmatrix} 5 & 3 & 1\\ 11 & 28 & 3 \\ 10 & 17 & 6 \end{pmatrix}$
   Правильно
   

   Молодец!

   Неправильно
   

   Что-то пошло не так!
   $$A^{T} =\begin{pmatrix} 5 & 11 & 10 \\ 3 & 28 & 17 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}.$$
   $$A =\begin{pmatrix} 5 & 3 & 1\\ 11 & 28 & 3 \\ 10 & 17 & 6 \end{pmatrix}.$$
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Алгебра

   Транспонирование матрицы это

   • 1. замена диагональных элементов нулями;
   • 2. замена строк на столбцы, а столбцов — на строки;
   • 3. замена знаков столбцов на противоположные;
   • 4. перестановка местами двух строк.
   Правильно
   

   Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, но это не правильный ответ!
   Транспонирование матрицы это замена строк на столбцы, а столбцов — на строки.
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Алгебра

   Выберите все свойства транспонирования матриц.

   • 1. $\left ( A^{T} \right )^{T} = A$
   • 2. $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$
   • 3. $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$
   • 4. $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$
   • 5. $A^{T} = \left ( A^{T} \right )^{T}$
   • 6. $A^{T} + B^{T} = A + B$
   Правильно
   

   Так держать!

   Неправильно
   

   Ты был близко!

   Свойства транспонирования матриц:

   1. $\left ( A^{T} \right )^{T} = A$
   2. $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$
   3. $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$
   4. $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Дана матрица $A$. Составить матрицу $A^{T}.$

   Элементы сортировки

   • $$A^{T} = \begin{pmatrix} 11& 3 \\ 5 & 10 \\ 0 & 9 \\ \end{pmatrix}$$
   • $$A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 2 & 11 & 4 \\ 5 & 9 & 0 \end{pmatrix}$$
   • $$A^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0 \\ 12 & 20 & 33 \\ 0 & 17 & 1 \end{pmatrix}$$
   • $$A^{T} = \begin{pmatrix} 11& 23 \\ 122 & 50 \\ 44 & 9 \\ \end{pmatrix}$$

   • $A = \begin{pmatrix} 11 & 5 & 0 \\ 3 & 10 & 9 \\ \end{pmatrix}$

   • $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 6 & 11 & 9 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

   • $A = \begin{pmatrix} 5 & 12 & 10 \\ 4 & 20 & 17 \\ 0 & 33 & 1 \end{pmatrix}$

   • $4. A = \begin{pmatrix} 11 & 122 & 44 \\ 23 & 50 & 9 \\ \end{pmatrix}$

   Правильно
   

   Так держать!

   Неправильно
   

   Ты был близко!

Теорема. Пусть $M_{m\times n} \left ( P\right )$ — множество матриц размеров $m\times n$ над полем $P,$ «$+$» — операция сложения матриц. Тогда пара $\left ( M_{m\times n} \left ( P \right ),\,+\right )$ — абелева группа.

Литература

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.-400 с., стр. 23-26
3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с., стр. 242-244

Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно существенно облегчить их вычисление:

Свойство $1$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю начальной матрицы: $\det A = \det A^{T}$.

Свойство $2$

Транспозиция (замена) двух строк (столбцов) матрицы — меняет знак определителя $$\det A = \begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{j1} & … & a_{jn}\\ a_{i1} & … & a_{in} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix}.$$

Свойство $3$

Умножение всей строки (столбца) на некий элемент $\alpha$ является аналогичным умножению всего определителя на этот элемент. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю: $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\alpha a_{i 1} & \alpha a_{i 2} & \cdots & \alpha a_{i j} & \cdots & \alpha a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}= \alpha \cdot\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}.$$

Свойство $4$

Если все элементы $i$-той строки (столбца) матрицы определителя разбить в сумму двух строк: $$a_{i j}=b_{j}+c_{j}, \quad j=1, \ldots, n$$ то и саму матрицу можно будет разбить на две, у которых все строки (столбцы) кроме $i$-той — такие же как у первой матрицы, а $i$-тая строка состоит из $b_{j}$ в первой матрице определителя, и из элементов $c_{j}$ во втором.

Свойство $5$

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы есть произведение элементов ее главной диагонали $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.$$

Свойство $6$

Если в матрице определителя одна строка будет результатом ее сложения с другой строкой и умножения на число, определитель не изменится . $$\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{j 1} & a_{j 2} & a_{j 3} & \cdots & a_{j n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=$$ $$=\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k 1}+k a_{i 1} & a_{k 2}+k a_{i 2} & a_{k 3}+k a_{i 3} & \cdots & a_{k n}+k a_{i n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\cdot$$

Пример $1$

Вычислить определитель $$\det A=\begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\12 & 2 & 12 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix}.$$

Пример $2$

Вычислить определитель $$\det A =\begin{vmatrix}12& 5 & 1 & 5 & 19 \\0 & 8 & 2 & 12 & 9 \\0 & 0 & 4 & 27 & 41 \\0 & 0 & 0 & 5 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\end{vmatrix}$$

Пример $3$

Проверьте, будет ли определитель транспонированной матрицы равен исходной: $$\begin{Vmatrix}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{Vmatrix}.$$

Пример 4

Вычислите определитель треугольной матрицы: $$\begin{Vmatrix}3 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 \\1 & -2 & -2 \end{Vmatrix}.$$

Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.

Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка $$\begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$$ Выберем, например, $2$-й и $4$-й столбцы и $1$-ю и $3$-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор $2-$го порядка: $$\begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17.$$ Также мы можем выбрать любые строки и столбцы для получения миноров.

Определение Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы вычеркнем строки и столбцы матрицы, в которых лежит данный минор, то мы получим новую матрицу. Определитель новой матрицы называется дополнительным минором к исходному.

Пример 2 Возьмем определитель и его минор $2-$го порядка из первого примера. Дополнительным минором к нему будет $$\begin{vmatrix} 1 & -9 \\ -5 & -4 \end{vmatrix} = -4-45 = -49.$$

Определение Пусть дана матрица $A \in M_m(P).$ Выберем в ней минор $i-$го порядка, такой, что $i > 0$ и $i < m.$ Если мы умножим дополнительный к нему минор на число $(-1)^{S_1 + S_2}$, в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.

Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка $$\begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Выберем в нем, к примеру $1-$ю и $4-$ю строки, а также $2-$й и $5-$й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор $2-$го порядка $$\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$$ Дополнительным минором к нему будет $$\begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет $$\begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$$ где степени $-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в $1-$й и $4-$й строках и во $2-$м и в $5-$м столбцах.

Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.

Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$й порядок.

Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ($i$), что упрощает нам задачу.

Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.